книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы
.pdf§ 2. Макроскопические уравнения |
243 |
Усредняя столкновительный член (2.28) два раза по функ циям распределения /ц (г, v^; t) и /v (г, vv; t), получаем интеграл столкновений в виде, соответствующем разло жению Трэда:
(л |
d |
. |
1 |
д |
д |
Л |
* { 1~ * » - Ж + х У - г и Ж - - - ) х |
||||||
(л |
д |
I |
1 |
д |
д |
"I |
|
n |
|
h |
|
|
|
X bkj sym [(^gG)n- ft(( И ) Т I<h-i)^] |
(И )- (2.34) |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
Вычисление (2.34) проводится в следующем порядке. Член re-го порядка в интеграле столкновений опреде ляется как сумма всех членов с дифференциальным опера тором порядка п, причем каждый из этих членов умно жается на произведение двух коэффициентов Трэда. Чтобы иметь возможность применить эти дифференциальные опе
раторы, выразим операторы и аргументы через относи тельные СКОРОСТИ »*Vg и BVgG;
Теперь можно проинтегрировать по углу и по Н е полученный результат представляет собой сумму чле
нов, каждый из которых пропорционален либо самим коэф фициентам Трэда, либо их произведениям. Эти члены содержат множители, которые могут быть выражены в виде линейной комбинации так называемых термодинамиче ских коэффициентов переноса
9г|т _ |
j (Ybv) + 1 Q1(И ) ехР ( Yuv) Yuv^Ynv |
16*
244 Га . d. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
Цепочка уравнений переноса в приближении Грода
Выше мы показали, что столкновительные члены могут быть выражены через коэффициенты Трэда и термодина мические коэффициенты переноса. Используя соотноше ния (2.22), представим коэффициенты Трэда через момен ты. Тогда уравнение переноса, левая часть которого
тривиально записывается через |
моменты, преобразуется |
к цепочке уравнений, в которые, |
кроме моментов, входят |
еще термодинамические коэффициенты переноса.
В левой части уравнений цепочки, помимо коэффи циентов Трэда рассматриваемого порядка, могут содер жаться только коэффициенты следующего порядка. Что касается этих членов более высокого порядка, то при вы
полнении условия |
|
|
akU |
(2.38) |
|
«V™,i)fc/2- < 1 |
||
|
цепочка уравнений обрывается на уравнениях, содержа щих нечетные моменты выше третьего порядка.
В столкновительных членах, стоящих в правых частях цепочки уравнений, основной вклад дают коэффи циенты Трэда рассматриваемого порядка. Если выполнено условие (2.38), то вкладом, зависящим нелинейно от коэффициентов Трэда, можно пренебречь. Малым оказы вается также и дополнительный линейный вклад, если удовлетворяется условие
g l \ m = ql\m + l _ ql\m ^ q l\m_ |
(2 .3 9 ) |
Соотношение (2.39) представляет собой основное требо вание для обрыва правой части цепочки уравнений.
Условие (2.38) выполняется, если средние скорости частиц малы по сравнению со средними тепловыми скоро стями. В дальнейшем это условие будет считаться выпол ненным.
Неравенство (2.39) зависит от закона взаимодействия между частицами. Это легко видеть из соотношения
°ql\m \ — 4/ s
(2.40)
ql\m 2m -)-3 ’
§ 2. |
Макроскопические уравнения |
245 |
которое получено для закона взаимодействия вида |
||
|
Ф(г) = ± - £ . |
(2.41) |
Если s > 2 h s < |
— 2, то неравенство (2.39) |
выполняется |
достаточно хорошо. |
|
Двадцатимоментное приближение
Ограничиваясь в разложении Трэда членами третьего порядка, мы имеем двадцатимоментное приближение. В этом приближении обрыв левой части уравнений является корректным, если выполнено условие (2.38). Вопрос о том, можно ли ограничиться членами третьего порядка в правой части, зависит, как указывалось выше, от закона взаимодействия между частицами. В таком приближении получаются следующие двадцать моментов:
момент |
нулевого |
порядка — значение |
плотности; |
моменты |
первого порядка — три компоненты |
импульса; |
моменты второго порядка — шесть компонент тензора дав ления и моменты третьего порядка — десять компонент тензора потока энергии.
Тринадцатимоментпное приближение
Это приближение получается из двадцатимоментного, если пренебречь всеми компонентами тензора потока энергии, за исключением компонент, которые определяют плотность теплового потока. В тринадцатимоментном при ближении обрыв левой части цепочки уравнений не сле дует только из выполнения условия (2.38): здесь должны быть привлечены еще и дополнительные физические сообра жения.
Восъмимоменпгное приближение
Тринадцатимоментное приближение дает еще довольно сложную систему уравнений. Это приближение можно свести к восьмимоментному, если заменить тензор давле ний гидростатическим давлением. Такой переход является последовательным, если выполнено условие (2.38)
246 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
и закон взаимодействия между частицами имеет соответ ствующий вид.
Ниже приводится система уравнений для восьмимоментного приближения, которая еще очень сложна. Для простоты выбираем такую систему координат, в которой скорость перемещения массы равна нулю, а также пре небрегаем членами второго порядка малости на основании (2.38). Таким образом, мы имеем:
Уравнение непрерывности
|
|
|
|
|
|
^ |
+ + |
<в„> = 0. |
|
|
(2.42) |
|||
|
Уравнение переноса импульса |
|
|
|
|
|||||||||
д |
|
|
|
д |
|
|
* |
|
|
Wv-^(ivYo X |
|
|||
|
Рц(ёц) + ДД ■АД |
Рц(ёц) = Рц 2 |
|
|||||||||||
х {У 11 ((ёу)-(ём.»- |
|
„111 |
|
|
|
|
|
|||||||
6 (i/mM+ 0 v /" lv |
( + |
- £ |
) } • |
(243) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Уравнение переноса энергии |
|
|
|
|
|
||||||||
"2 ” |
Q t |
|
О Т |
* |
^ |
2~ |
|
ёц * Рц (ёц) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= Рц 2 |
rav^vYo |
„111 |
(0V— 0^). |
(2.44) |
|||||
|
|
|
|
|
mH+ mv |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
*-} |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение переноса теплового потока |
|
|
|||||||||||
д , |
. 5 |
д |
вц т |
|
|
|
|
|
|
|
||||
dt |
^ |
+ |
2 |
дг ' Шр. \ ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
— Рц 2 |
п *М )мУо { ( “У д ) |
Ч3 (+ГД + |
) (tev> —<ёц» |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
r j . |
Л/цу gh( - ^ + |
ibL) + |
|
||||
|
|
|
|
|
т ц + rnv |
L з |
™Ц |
|
|
Нч / |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
+ 3 |
m v |
■!7Ш ( h>1 ■ |
) ] } |
. (2.45) |
|||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
V |
- £ |
|
||||
|
|
|- ЗЛГ* v |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2т 1 |
|
- 2 |
тц т (Здш —■ 0 |
+ 1 тУ '1] , |
|||||||
|
Qg — ЪМ1v 1 |
2тц |
|
|||||||||||
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
(2.46) |
||
|
|
|
Зтц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
9 h ~ |
L |
Зт^ |
У '2— Т ( бд1'1 — ^ 9Ш- У ' 1)] |
* |
|||||||||
|
W m |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 2. Макроскопические уравнения |
247 |
где
_ Мцу9ц Л/цуву
— т гвц+ тц0у
Использование приближения Грэда для описания плазмы
До сих пор исследование носило общий характер, так как не конкретизировался закон взаимодействия между частицами, которым определяются коэффициенты qllm
О
и qllm. Рассмотрим теперь кулоновскую систему, в кото рой потенциал взаимодействия определяется кулоновским законом, т. е. формулой (2.41) с s — 1. Разумеется, сред ние скорости, обусловленные внешними полями и неод нородностями, должны быть малыми по сравнению с теп ловой скоростью. Вычисление термодинамических коэф фициентов переноса ql \m для случая s = 1 показывает, что величина их уменьшается с ростом номера очень мед ленно. Поэтому разложение столкновительных членов в ряды по моментам не является быстро сходящимся. Следовательно, применимость рассмотренного выше при ближения к кулоновской системе не очевидна.
Если тем не менее считать, что восьмимоментное при ближение применимо к полностью ионизованной плазме, то интересно сравнить соответствующие уравнения Грэда с уравнениями, которые использовались для описания полностью ионизованной плазмы [26, 27].
Ограничиваясь случаем ©+ = ©_ и используя соот ношение
(2.47)
находим из общего уравнения Грэда уравнения непрерыв ности для электронной и ионной компонент
(2.48)
Как показывает сравнение, уравнения, полученные в ра ботах [26, 27], совпадают с (2.48).
Приближение Грэда дает следующее уравнение энер гетического баланса для полного давления или соответ
248 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
ственно температуры:
~~Ж p + l F * h — в-*Р-<в-> — g+-p+(g+) = °, (2.49)
где величина h есть полная плотность теплового потока
h = h+ + h_. |
(2.50) |
Уравнение (2.49) и в этом случае совпадает с соответствую щим уравнением, используемым в указанной выше лите ратуре.
Из разложения Трэда и при условиях (2.47) и (2.23) получаем уравнение баланса импульса для двухкомпонент ной системы:
-^-Р-<&-> + -ЗГ£г гР---Рг-&-ь- = |
д . . |
д |
• |
||
dt Р+(g+) |
дг Р++ P+S+: |
||||
|
|
= — m-y0qm n_n+{(g_) — <g+)}— |
|
||
|
|
|
Vo |
, |
(2.51) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ ь = . _ 2Ц = |
Vo |
|
|
|
|
Ip - |
p+ / |
4 m_R2 X |
|
|
|
|
X [ q 2- n + + M +_ { 3e 1 - ^ |
} n~ M Q ~ |
|||
- |
[-X |
M U w-n l + |
(Ш+3-)1/2 |
2+ 3M+_gl!!n_n,] X |
|
|
|
|
X {(g_>—(g+)}. |
(2.52) |
Здесь введены следующие сокращенные обозначения:
g+_ = 3M+Y+'2 + 4 e a, |
|
|
|
||
72- = ^ |
e |
+ M+_{3gV-l - 4 |
c |
} , |
|
?2+ = (Ш+/ |
|
!2 ?Г+2 + Л7+_ { Зд«2 - |
4 |
д*!2 } , |
(2.53) |
/?2 = (27И+_)1/2 « в |
! |
+ -^ 3-)1/2 g™g+-«2 + |
|
||
+ |
{ 4AT2-<7t-1(7+'- + f (М+_)1/а д Ж |
} И+/г_. |
§ 2. Макроскопические уравнения |
249 |
С другой стороны, соответствующие уравнения, полу ченные Маэкером и Питерсом [26], имеют вид
_д_ |
|
P++ P+S+= |
||
dt Р- <g->+ f t P - — p-g- = — f t P+<g+>- f t |
||||
= — v;_re+re_{<g_)— <g+>} |
«ге+ге_ |
d q |
(2.54) |
|
n++ n_ dt |
||||
|
|
Отсюда видно, что обе системы уравнений содержат одни и те же основные члены. Однако коэффициенты при соот ветствующих членах сильно различаются даже своей за висимостью от отношения плотностей.
Квазистационарное приближение, построенное Трэ дом [6], приводит к следующему выражению для полной
плотности теплового потока:
h = — | ж {3M+-9+-п- + М 1-Я+-К + (?2- + ?2+)п+п-} ft® +
+ 3^ ь м |
зй - - ¥ м ^ - - } п- + |
х |
|
X {(g-) — (g+)}> |
(2.55) |
вто время как соответствующее соотношение, полученное
влитературе [26, 27], имеет вид
h= - ^ ^ 0 + a0^ f e ^ - > - < g +»- <2-56)
И в этих выражениях коэффициенты при соответствующих членах резко различаются. Кроме того, весьма жестким ограничением является требование квазистационарности. Заслуживает внимания также тот факт, что если учесть магнитные поля, то в (2.55) появятся дополнительные члены.
250 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
2.2. Вывод уравнений переноса из уравнений Больцмана; метод Чепмена — Энскога
Чепмен [28] и Энског [29, 30] получили систему мак роскопических уравнений из основного уравнения Больц мана с помощью другого приближенного метода. Вначале ради простоты рассмотрим предложенный ими метод для случая однокомпонентной системы. Чепмен и Энског исходили из следующих трех уравнений для первых пяти моментов функции распределения:
# + £ - < Р » > - 0 , |
(2.57) |
4 4 |
+ “4 ] " = - s - F- i - P ' |
<2-58> |
e [ £ |
+ " - w ] e = - Y " w - < i - T mr - s y m TF- |
(2'59) |
(Вывод этих уравнений и соответствующая терминология были приведены выше, в п. 2.1.) Далее они рассмотрели систему, для которой функция распределения может быть
представлена в |
виде |
|
|
|
/ |
(г, v; t) |
= f (г, v, р, и, 0 ). |
(2.60) |
|
При этом они использовали разложение |
|
|||
|
|
|
оо |
|
|
/ = |
S iviU |
(2.61) |
|
|
|
|
ц.=0 |
|
в котором функции <**>/ |
определяются методом последова |
|||
тельных приближений |
из |
функции М/ при v < |
р. |
Если можно найти функцию распределения / с точно стью до порядка s, то с такой же точностью можно вычис лить и тензор давлений р, и поток энергии q. Подстав-
ляя эти величины в (2.57), (2.58) и (2.59), получаем мак роскопические уравнения с точностью до <8+1)/.
§ 2. Макроскопические уравнения |
251 |
Приближенные решения для однокомпонентной системы
Для уточнения разложения (2.61) запишем оператор дифференцирования по времени в виде
00
- й - 2 £ - |
(2-82) |
V = 1 |
|
Действие операторов djdt на величины р, и и 0 опреде ляется следующим образом:
dt н : - * Г - ( Р и), |
|
|
|
|
|
||||
dt |
|
=0 |
( v > 0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
д0 |
|
|
d |
|
_ _ _ |
. <0)p |
|
||
u = — u- dr |
u + m F |
|
|||||||
dt |
P dr |
|
?> |
|
|||||
dt |
u = |
1 |
d |
.<v)p |
(V> 0 ) , |
|
|
|
|
|
p |
dr |
2 |
2 m |
|
|
2 m. (0) |
||
io |
|
|
d |
0 - |
A . < 0)q _ |
||||
dt |
0 = — u- dr |
3 T |
dr |
4 |
' 3 У |
|
|||
dv |
0 = |
2 |
m |
V - W4 |
|
?• sym |
du |
||
dt |
3 T |
3 p |
dr |
(2,63)
du
( v > 0).
Так как в силу соотношения (2.60) функция распределения / зависит от времени только через моменты р, и и 0 , дей ствие оператора djdt на / можно определить также в виде
ду (М-)^_ / д |
([!), \ |
| / д |
(ц),\ ду^ , / д (ц), \ dv |
1Г f-\~ap |
4~dT9 + \~fo |
' Г в Г и + Ш ' ) Ж и - |
|
|
|
|
(2.64) |
Подставляя (2.61) и (2.62) в уравнение Больцмана (2.1), получаем
(4г+-57+---)<<0,' + '1,/+ '- ')+
+ ( v i + ^ r - £ r ) ( mf + " ’i + - - - ) =
— I (<0)/ + (1)/ + • • • | <07 + (17 + . . . ) • (2.65)
252 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
Здесь использована сокращенная запись:
/ Г 7 Г 7 ) = J d v t j | v —Vl| x
X {(Г7 (v') <s7 К ) - <r7 (v) <s7 (V i) } dQ. (2.66)
Далее с помощью разложения (2.65) определяют функ ции М/, приравнивая члены, стоящие в левой части и име ющие определенную сумму индексов, членам, стоящим в правой части, сумма индексов которых на единицу больше суммы индексов соответствующих членов левой части этого уравнения. Такая процедура приводит к си стеме уравнений
/(«•>/!«•>/)=о,
|2-(07 + ( v- ^ + ^ F . A ) (07 = 2 1 (<г7 |<87). (2.67)
|
r+ s= l |
2 |
l r “ / + ( v 4 + i r . i ) <*-,V - S / г / г / ) . |
H -fv = n -1 |
r+s=n |
Решения этой системы интегродифференциальных урав нений не являются однозначными. Для однозначности решений должны выполняться условия
‘ 1 |
(2.68) |
v>dv = 0 для s> 0 . |
|
V2) |
|
Как следует отметить, эти условия не означают, что пер вые пять моментов не зависят от степени приближения s, с которой производятся вычисления. Скорее функция рас пределения <0)/ зависит от значения первых пяти момен тов, вычисленных из (2.57), (2.58) и (2.59) и зависящих
всвою очередь от порядка приближения s через величины
ри q.
2
Нулевое приближение
В этом приближении функция распределения находится из уравнения
/( (07Г7) = °) |
(2.69) |