Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 4316 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

§ 2. Решения	линейного уравнения Власова	153
сионное соотношение	тогда принимает вид

Эта фазовая скорость совпадает со скоростью звуковых волн, распространяющихся в системе частиц с массой т+ и тепловой энергией 0_ в предположении, что процесс изотермический. Поэтому волны, для которых {кХd -)<C

часто называют ионно-звуковыми волнами.

На первый взгляд может показаться удивительным то, что мы нашли структуру, подобную звуковой волне, поскольку в рассматриваемом приближении Власова от сутствуют столкновения или корреляции между частица ми. С другой стороны, можно привести физические соображения, согласно которым наличие ионно-звуковой скорости вполне возможно.

Колебания ионов по сравнению с колебаниями электро нов представляют собой медленный процесс. Поэтому электроны, участвующие в таких колебаниях, можно рас сматривать находящимися в равновесии с потенциалом Ф:

			р е в )
Следовательно, мы имеем
V п+_V п _ __		еЕ	(2.69)
п+	я_	0_	(2.69)

Подставляя (2.69) в уравнение движения свободного иона, нахогдим

(2.70)

Сравнивая это уравнение с основным уравнением рас пространения звука, легко понять, почему в данном слу

чае мы имеем «звуковое поведение» колебаний бесстолкновительной плазмы.

2.6. Произвольные распределения. Критерий Пенроуза

До сих пор нам удавалось избежать трудностей, воз никающих из-за наличия нуля в знаменателе дисперсион ного соотношения, так как мы ограничивались рассмот

154 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы

рением некоторых частных распределений. Теперь перей дем к рассмотрению распределений произвольного вида. Поскольку значение интеграла в дисперсионном соотно шении не определено для действительных значений ир, сосредоточим сначала внимание на комплексных фазовых скоростях. Это позволит нам сделать выводы относительно устойчивости систем с распределениями произвольного вида. Выясним, имеет ли дисперсионное соотношение (2.18) для однокомпонентной системы (v = 0) с размазан ным нейтрализующим фоном

^'2 — G {иг) —сор j ~Fo (и) du --	- j—оо
	J	(“—“р)2	(2.71)

решение, в котором 1ш (ир) > 0.

Экспоненциально возрастающие моды существуют, если функция G (ир) принимает действительное положительное значение где-либо в верхней полуплоскости комплексного переменного ир. Экспоненциальное возрастание является наиболее важным случаем неустойчивости. Поэтому мы выведем необходимый и достаточный критерий для суще ствования экспоненциально возрастающей неустойчивости и необходимое условие для устойчивости системы. Иссле дование, которое проводится ниже, справедливо только для совершенно гладких функций F0 (и) с соответствую щим поведением на бесконечности. На математическом языке это означает, что для действительных значений и

должны выполняться	следующие условия:
-j—ОО	-'-ОО
\| F'0(u)2d u < o о,	j \F’0(u)\du< оо, \F'0(u)\<.Mu
— ОО	оо

(2.72)

+ о о

f F"0{uf du < оо, \ f ; ( u) \ < m 2.

Из (2.71) и (2.72) следует, что G (ир) является голоморфной функцией в плоскости ир с разрезом вдоль действительной

ОСИ-

§ 2. Решения линейного уравнения Власова

155

Поведение этой функции на верхней границе разреза описывается следующим образом:

+°°
G (ир + ДО) = ъ>1 { & J	da + inF'0 (ир) } . (2.73)
—сю	^

При написании этого соотношения использована извест ная формула Племеля

					8 и		<2-74>
(через	& обозначено главное значение в смысле Коши).
Справедливость выражения (2.74) очевидна из следую
щего	равенства:
		-оо	)'		ф *	.	(2-75)
		-оо	\|*\|>Е		С±
где G± есть полуокружность малого радиуса в-> -0с цент
ром в нуле, проведенная				соответственно в		верхней или
в нижней		полуплоскости.		Отсюда	получаем
	-J-C O		- j - o o	О
	J	£&>** =*
	— оо		— оо	±ЗХ			(2.76)
							(2.76)
		+J	^	' - f d x + mHO).
		— ОО		—оо

Рассмотрим условия (2.72). Из ограниченности произ водной F'g (и) следует условие Липшица, накладываемое на F0 (и), что в свою очередь приводит к требованию ограниченности и непрерывности функции G (ир ДО). Ограниченность G (ир + ДО) нетрудно получить из (2.72):

+оо			-j-оо		и р + Д
— ОО			— ОО		u p —А
ир+Д			Up+ Д		и р + Д
^ Г	I ^ - d u	<	3> (		М 2 (и — ир)	du—
^ Г	I ^ - d u	<	3> (	и—ир	+ (	du—
J	и — Чр		J	и—ир	J
м,.-Д	И		t ip - Д		« р - Д

= 0 + 2ДМ %.


156	Гл.	3. Неравновесные	состояния кулоновской			системы
Таким образом, функция G (ир +					гО) ограничена, посколь
ку	А — произвольная,		но	фиксированная			величина.
Здесь следует остановиться на свойствах функции G (ир),
которые		обнаруживаются		при	изучении	отображения
G (ир +		£0) верхней границы действительной оси ир.
	Поскольку функция		G (*Я +		Ю) ограничена		и непре

рывна, это отображение должно иметь вид кривой с выде

ленным	направлением обхода.				Эта	кривая	начинается
и оканчивается			на нуле	в точке, где		G = 0,	потому что
<?(±оо)	= 0 .		G0 — любая		точка,	не лежащая		на
Далее,		если
G (41 +	Ю),	то	кривая	G (Н +	i0) обходит		вокруг	G0

столько раз против часовой стрелки, сколько раз G(up) принимает значение G0 в верхней полуплоскости. Это лег ко показать, применяя теорему Коши. Действительно,

Здесь N о — число нулей функции F (ир) = G (ир) — G0 в области, ограниченной контуром интегрирования. Поэтому

1 £	G' ( “p)	,	1	С	dG	2niM		(2.78)
2 т У	G(up) —G0	йиР ^ 2 n i j			G—G0 " 2ni
								_
Здесь	интеграл	ф {G — G0)_1 dG есть интеграл Стильтье-
са, а	М — целое число,			равное		числу	обходов контура

отображения вокруг G0. Таким образом, получаем М = N 0. Отсюда следует, что отображение любой точки верхней полуплоскости (нр-плоскости) должно находиться либо внутри G (IR + Ю), либо на самом контуре, поэтому внутренняя область, ограниченная контуром G (И + Ю), является отображением верхней полуплоскости. Следо вательно, G(up) принимает положительные значения в верхней полуплоскости тогда и только тогда, когда внутри контура G (01 + iO) содержится часть положи тельной действительной оси G. Это в свою очередь имеет место тогда и только тогда, если G (% + iO) пересекает положительную действительную ось G. Поскольку точка G (ир + Ю) перемещается вдоль контура (7(11 + Ю) про тив Часовой стрелки, то, пересекая действительную поло

§ 2. Решения линейного уравнения Власова

157

жительную ось G в своем самом крайнем правом положе нии, она движется снизу вверх.

Это эквивалентно такому изменению знака мнимой

части Im G (ир +		Ю) = ЮрЯ F'0 (ир),	которое соответству
ет минимуму функции Fо (и). Кроме того, действительная
часть	Re G (ир +	гО) в силу соотношения (2.73) может
быть	записана в	виде
	ReG(up + iO) = ( * l & [ - ^ - d u .			(2.79)
		J и	Up

Отсюда можно сформулировать критерий Пенроуза [3]: для существования экспоненциально возрастающих мод необходимо и достаточно, чтобы: а) функция распределе ния имела по крайней мере один минимум и б) в одном из этих минимумов удовлетворялось условие

J ^ * * > 0 .

(2.80)

Интересно отметить, что критерий Пенроуза имеет такой же вид и для существования экспоненциально затухающих мод. Это легко можно показать из комплексно-сопряжен ного дисперсионного соотношения

4 - =	\	-?Щг<1и,	(2.81)
Ь>1	J	и— и%	v '

— ОО

откуда следует, что ир является решением тогда и только


тогда, когда решением является также и ир.								отображение
[Следуя			изложению Пенроуза, найдем
G (11	— i0)		для нижней границы действительной оси ир.
Согласно			соотношению			Племеля,	получаем, что
G (К — Ю)			совпадает		с G (31	+ Ю). Однако		направление
обхода		контура G (31			— Ю) противоположно			обходу кон
тура G (51 + £0).				G (ир) является конформным					отображе
нием	и	поэтому		отображение любой			области		остается

с той же самой стороны от границы контура. Следователь но, и в этом случае нижняя полуплоскость отображается во внутреннюю область G (Л ± Ю). Исследование пересе чения G (Л — Ю) в самом крайнем правом положении

158Тл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы

сдействительной осью к2 снова приводит к соотношению (2.80), поскольку одновременно изменяется направление обхода G (1Я + Ю), а также знак мнимой части.]

Проиллюстрируем применение полученных результа тов на двух примерах.

Распределения с одним максимумом
Наиболее простым случаем	является распределение
с одним максимумом. Исходя из	первого критерия,	легко
получить результат Найквиста,	заключающийся в	том,

Ф и г . 12. Отображение верхней полуплоскости ир на плоскость fc2 для максвелловского распределения.

что функции распределения с одним максимумом не могут приводить к экспоненциально растущим колебаниям. На фиг. 12 показана кривая G (R. + Щ для максвеллов ской функции распределения F0 (и) ~ С ехр ( —ти2120). Отображение верхней полуплоскости представляется за штрихованной областью и не содержит положительных действительных значений. На фиг. 13 приведены такие возможные кривые G (Л + Ю), которые содержат внутри себя положительные действительные значения.

§ 3. Преобразование Фурье по времени

159

Ф н г. 13. Два примера отображения плоскости ир на плоскость к2 для неустойчивых распределений.

Устойчивость изотропного распределения

Рассмотрим произвольную изотропную функция рас пределения /о (у2), которая является результатом диффе ренцирования следующей функции:

F (и) = j /о (и2) б (и —k-v) dx =

=	/о (Vj_ +		u2) dv\_	(2.82)
о
т. е.	F' (и)	=	— 2лм/0(ц2).	(2.83)

Легко видеть, что	на	основании критерия		Пенроуза

(п. «а») такое изотропное распределение всегда устойчиво.

§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ПО ВРЕМЕНИ

Впредыдущем параграфе был изложен метод собствен ных решений для анализа линеаризованного уравнения Власова. Этот метод, который иногда называют разложе нием по нормальным модам, весьма удобен для решения начальной задачи, если набор собственных решений

является полным. Такие полные наборы собственных

160 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы

решений были найдены для некоторых частных функций распределения. В случае произвольных распределений исследовались лишь такие собственные решения, которые имеют комплексные частоту и фазовую скорость. В § 5 мы рассмотрим «моды Ван Кампена», которые дополняют комплексные решения до полного набора.

3.1. Воздействие внешних возмущений

Рассмотрим случай, когда возмущения задаются внеш ним потенциалом ФШ!еШн (г, t), приложенным в момент времени t = 0. Для t < 0 потенциал возмущения Фвне1Ш, = = 0; поэтому будем считать, что функция / также равна нулю при t <; 0. Это означает, что / есть так называемая «причинная функция». Такое предположение нарушает обратимый характер нашего исследования, хотя как было показано выше, само уравнение Власова является обра тимым. В соответствии с (2.5), (2.6) и (2.15) линеаризован

ное уравнение Власова		после преобразования	Фурье
в конфигурационном пространстве записывается			в виде
( 4 г + iku) / К	М ) =	^ ьг [ — \| ^ k) ] ф (*, t),
~	4яе С ~	~
Ф (k, t) = -jp- j /		(и, к, t) du + Фвнеш н-

Здесь Фвнешн соответствует внешнему возмущению. Прежде чем приступить к преобразованию Фурье

по времени, следует удостовериться, что интегралы в пре образовании Фурье существуют. Функции, которые пре образовываются, должны быть квадратично интегрируемы. Если плазма неустойчива, что является весьма распро страненным случаем, то функции экспоненциально воз растают во времени и вышеуказанное условие не может быть выполнено. Однако эту трудность довольно просто обойти. Пусть цт — максимальное значение инкремента нарастания некоторой функции Q в неустойчивой плазме. Рассмотрим преобразование Фурье функции

Q' (г, <) =s Q (г, t) e~ai\

(3.2)


		§	3. Преобразование		Фурье по времени		161
где	со* >	rjm.		Функция Q'	квадратично	интегрируема,
так	как	она		удовлетворяет	условию Q =	0 при	t < 0.
К функции			Q' поэтому можно применить действительное
разложение			Фурье. В результате получим

Q' (г, о)г) = —7=	[ £2 (г, t)	dt = Q (г, (о).
~у 2я J
Здесь	где со*	= const > т]т ,
со = сог + ico*,	где со*	= const > т]т ,
и

Q (г, t) =zikI s(r.®)*-tofd^=

го)^+°°
_ L	f	й (г, со) е~ш da.
V 2 n .	J
MDj -

(3.3)

(3.4)

(3.5)

Заметим, что в противоположность действительному пре образованию Фурье контур интегрирования в (3.5) сме щается на частоту со* в верхнюю ю-полуплоскость.

Применяя преобразование (3.3) к уравнению (3.1), находим х)

{— i(o-\-iku)J(u, к, (о) = i —■kn [			^	] Ф (к, со),
где				(3.6)
ф (*» = -p-	J / (и, к,	со) сгп +	Фвнешн (к, со).
Отсюда следует,	что
		dF0 (и, к)
/ ( “,* ,	с о )= ^ - ---- “ )			(3.7)
И		“ к
И
Ф (ft, со) =	+°°	[ (к, со)		(3.8)
Ф (ft, со) =	+°°			(3.8)
i — ~W j		^ ( “>£) ( “—х )		lrf“

*) Знаком as сверху обозначается двойное пространственновременное преобразование Фурье.

Н-01291

162 Гл. 3. Неравновесные состояния Нулоновской системы

Отметим, что знаменатели выражений (3.7) и (3.8) не вызы вают никаких осложнений, поскольку со — комплексная величина.

Для устойчивой плазмы можно рассмотреть предел сог = + 0. Учитывая соотношение (2.74), тогда получаем

(3.9)

В принципе задача решена. Так как потенциал возмуще

ний Фвнеш н (&,	ю) задан, то из (3.8) можно найти Ф (к,	со)
и, подставляя	эту функцию в (3.7), можно вычислить воз
мущенную функцию распределения.		ли
Знаменатель выражения (3.9) представляет собой

нейный отклик системы на внешнее возмущение, который в случае многокомпонентной плазмы записывается в сле

дующей обобщенной	форме:
+°°
е (к, со) = 1 - 2	j F 'vК Ь)

+ *яб (““ т) du. (3.10)

Величина е (к, со) тесно связана с диэлектрической про ницаемостью плазмы. В этом легко убедиться для случая изотропной и однородной плазмы, для которой уравнение Пуассона имеет вид

		^ (^) ДФ ~	4я8/1ВцрщН	(3.11)
ИЛИ
Ф (к	Col =	н1(>шн	м) _ Фвнешн Vе, со)	(3.12)
' ’	'	к 2е. (со)	е (со)

Сравнивая (3.12) с (3.9), находим, что е {к, со) есть ди электрическая проницаемость плазмы, в которой распро страняется одиночная волна с волновым вектором к

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 4316 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ