книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

136 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы

Это весьма удивительный факт, поскольку при выводе соотношений (1.13) и (1.14) мы пренебрегали только взаимодействием между отдельными частицами, а не кол­ лективным взаимодействием всех частиц. Уравнение (1.15) означает, что функция распределения /(1>остается посто­ янной вдоль траектории частицы.

2. Без ограничения общности можно представить функ­ цию распределения /(1) в виде функционала /(1)(^4V. Под­ ставляя этот функционал в уравнение Власова, полу­ чаем

если взаимодействие между частицами пренебрежимо мало и они движутся в консервативном внешнем поле, то любая функция от гамильтониана является решением уравнения Власова.

3. Легко найти производную функции Н по времени, если предположить, что /(1) удовлетворяет периодическим граничным условиям в произвольно большом, но ограни­ ченном объеме р-пространства:

^ = т г “ М /',’1п,° ’* ' гу=

= ji^ L in /< 1>drdv+ j ^ - d r d \ = 0. (1.17)

Отсюда следует, что функция Н, а вместе с ней и энтропия S — —хвН являются постоянными. Уравнение Власова и его решения обратимы во времени, что легко показать, заменяя в соотношениях (1.13) и (1.14) время t на —t

искорость v на — v.

4.Если распределение /О является положительно

определенным в начальный момент времени, оно остается положительно определенным и для всех остальных момен­ тов времени.

Допустим, что /(И принимает отрицательные значения, тогда должна существовать точка (г0, v0), в которой в мо­ мент времени t0функция /(1)в первый раз становится нулем.

Поскольку в окрестности этой точки функция /(1>положи­ тельна, в самой точке должны выполняться следующие соотношения:

dV/<!>

О для всех v < a ,

dqt ... dqj

(1.18)

( A q . ^ y y ^ A Y 1’ > 0 ,

где

С другой стороны, уравнение Власова может быть записа­ но в операторной форме

откуда получаем производные по времени более высокого порядка

причем следует отметить, что оператор d/dq действует так­ же на с (q, t). Однако соответствующие слагаемые не дают вклада благодаря первому соотношению (1.18). Из соотно­ шений (1.21) и (1.18) следует, что daf lVdta — положитель­ но определенная функция.

5. Любая функция вида

является решением уравнения Власова при условии, что выполняется соотношение (Е) = 0. Это соотношение безу­ словно справедливо в линейной теории Ландау, где имеет

Поскольку в дальнейшем нам придется иметь дело с боль­ шим числом различных функций, невозможно для каждой из них ввести свое обозначение. Удобнее характеризовать различные функции их независимыми переменными, за ис­ ключением фурье-преобразования, которое отмечается символом

Подставляя (2.1) в (1.28) и применяя хорошо известную процедуру вычислений (метод разделения переменных), получаем функцию, характеризующую пространственную зависимость функции распределения

Чтобы обеспечить ограниченность / (г) при всех значениях г, необходимо выбрать постоянную разделения X чисто мнимой величиной, т. е.

где к — действительная величина. Известно, что решения в виде нормальных мод позволяют к любому явлению в про­ странстве координат г применить фурье-анализ:

Фурье-преобразование в (1.28) дает следующие диффе­

Уравнение для поля Е можно также получить непосредСтвенщ» из (1.14) и (1.25), используя теорему свертки

140 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы

из фурье-анализа и соотношение

Очевидно, что составляющая скорости, перпендику­ лярная волновому вектору к,

входит в уравнения (2.5) и (2.6) только как параметр. Обыч­ но эта составляющая не представляет особого интереса, а поэтому все величины в (2.5) и (2.6) удобно преобразовать согласно выражению

Здесь через и обозначена компонента скорости, параллель­ ная вектору к. В результате получаем

Чтобы найти собственные значения задачи, восполь­ зуемся соотношением

которое приводит к

где ир — комплексная фазовая скорость, равная

Здесь и в дальнейшем для простоты записи мы не всегда будем отмечать зависимость от величины к. Фазовая ско­ рость, вообще говоря, является комплексной величиной вследствие комплексности частоты со. Причина этого заключается в том, что уравнение (2.12) не является само­ сопряженным. Из уравнения (2.12) непосредственно нахо­

дим функцию распределения / (и), поскольку интеграл в правой части этого соотношения представляет собой постоянную величину, определяемую нормировкой самой

142Гл. 3. Неравновесные собтОяниА Кулондвской системы

Впоследующих параграфах мы обсудим физичес­ кий смысл соотношения (2.18) для различных важных примеров.

2.2. Моноэнергетические пучки частиц с заданным направ­ лением скорости

Рассмотрим систему пучков заряженных частиц, кото­

рые движутся в направлении вектора к с различными, но строго определенными скоростями:

Будем считать, что ни один из этих пучков не обладает тепловым разбросом скоростей. Подставляя (2.19) в (2.18) и используя соотношения (2.1.3) *), получаем

для функции Дирака (2.19) всюду, за исключением области, в которой скорость пучка приближается к фазо­ вой скорости ир. Чтобы удостовериться в этом, целесооб­ разно рассмотреть функцию Дирака как предел соответ­ ствующей истинной функции.

1. Uy = 0. Этот случай, когда скорости пучков всех заряженных частиц равны нулю, является особенно про­ стым, но до некоторой степени представляет лишь теорети­ ческий интерес. Дисперсионное соотношение в этом случае принимает вид

Все частицы осциллируют с одной и той же частотой соро> которую можно назвать плазменной частотой системы, причем со не зависит от к. Поэтому групповая скорость

_ Зсо

(2.22)

х) Для ссылок на формулы другой главы здесь и далее употреб­ ляется запись тремя числами: первое обозначает номер главы, второе — параграф и третье — порядковый номер формулы. —

Прим. ред.