книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы
.pdfГлава 1
Равновесные состояния кулоновской системы
§ 1. ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Измерения некоторой величины F (р, г), являющейся функцией переменных р и г рассматриваемой нами систе мы, приводят к понятию наблюдаемого среднего этой вели чины
t'+T
(^)т = 4" [ F{p, r)dt , |
(1.1) |
г
где т — интервал измерений, а ? — время начала изме рений.
Чтобы выяснить смысл понятия наблюдаемого среднего ( )х, целесообразно рассмотреть эволюцию изучаемой системы в Г-пространстве, т. е. фазовом пространстве, образованном совокупностью координат и сопряженных импульсов всех частиц системы. В этом пространстве исследуемая система представляется отдельной точкой, а ее развитие во времени — линией, называемой «фазовой траекторией».
Прямой, хотя и наивный, метод состоял бы в расчете фазовой траектории путем решения уравнений Гамильто на, описывающих поведение нашей механической системы при заданной совокупности начальных условий. Невоз можность подобной процедуры ясна из очевидных прин ципиальных и практических соображений. Вместо этого мы воспользуемся методом, развитым Гиббсом [2]. Рас смотрим ансамбль систем, обладающих тождественными свойствами. Любой из таких виртуальных гиббсовых ансамблей представится системой точек, которая может быть описана с помощью функции плотности распределе ния f N (р, г, t) в Г-пространстве. Предполагая, что эта функция распределения для рассматриваемого ансамбля
24 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
Гиббса, находящегося в равновесии, известна и задана функцией /$’ (р, г), мы, следуя Гиббсу, постулируем, что
среднее по ансамблю
(F)s = j F (р, г) /$ ’ (р, г) dp dr |
(1.2) |
совпадает с наблюдаемым средним, полученным из изме рений, т. е.
(F)s = (F)x. |
(1.3) |
Очевидно, что данный постулат предполагает следую щие три допущения.
1. |
Наблюдаемое среднее совпадает со средним по вре |
|
мени, |
определяемым формулой |
|
|
(F)t = lim (F)x. |
(1.4) |
|
Т-+оо |
|
2. Среднее по времени (F)t совпадает со средним по |
||
ансамблю (F)a. |
рассчитано |
|
3. |
Среднее по ансамблю может быть |
|
с помощью функции распределения, усредненной по круп ным ячейкам Г-пространства.
Эти допущения сыграли важную роль в историческом развитии статистической физики и известны в литературе под названиями типа «эргодической гипотезы», «необра тимости» или «парадокса Лиувилля».
Принимая постулат Гиббса, мы сводим задачу к нахож дению средней функции распределения /$’ для виртуаль ного ансамбля равновесных систем.
1.1.Теорема Лиувилля
Составляющие элементы ансамбля Гиббса не могут ни взаимодействовать друг с другом, ни разрушаться, ни вновь возникать. Следовательно,' для любой функции распределения должно выполняться простое уравнение непрерывности
j (/ivvr)-dar = — |
j /jvdp dr, где vr = ( J ) , (1.5) |
§ 1. Исходные положения |
25 |
или |
|
vr -Vr/w + /wVr .vr + - ^ = 0. |
(1.6) |
Используя канонические уравнения классической меха ники в виде
|
|
Vr .V r= 0 , |
(1.7) |
|
из уравнения (1.6) |
находим |
N ■ dfNdt ~b {/iv> Щ — 0» (1-8) |
||
dt |
— dt |
'-Vr - v r/. |
||
dfN |
dfN |
— |
, |
|
где мы использовали скобки Пуассона { |
}. Соотношение |
|||
(1.8) представляет собой формулировку теоремы Лиувилля. Теперь можно высказать утверждение: стационарная функция распределения в Г-пространстве в любом случае может выражаться лишь через инварианты движения. Доказательство такого утверждения для любой функ ции распределения, удовлетворяющей уравнению Лиувил ля, непосредственно следует из этого уравнения: из га мильтонова формализма известно, что всегда можно найти такое каноническое преобразование, что новые координаты
и импульсы R, Р будут константами:
dR(r, р, t) _ |
dP (г, р, t) _ |
п |
/Л |
|
dt |
~ |
dt |
U‘ |
|
В этих новых переменных уравнение Лиувилля записыва ется в виде
4 - f » <R’ р -о |
dfN |
dR |
dR |
dfN |
dP . |
dfN _ |
dfN ___ _ |
dt |
OP |
dt ' |
dt |
dt |
|
|
|
|
( 1. 10) |
Отсюда видно, что f N есть функция только инвариантов движения R и Р.
Для консервативной системы таким инвариантом является функция Гамильтона Я, хотя, разумеется, не только она. В зависимости от физической ситуации могут оказаться важными и другие инварианты движения. Одна ко, следуя Гиббсу, мы ограничимся рассмотрением лишь таких функций распределения, которые зависят только от гамильтониана,
26Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
1.2.Статистические ансамбли
Использовав условие нормировки
j f (N (Р, г) dp dr = 1, |
(1.11) |
Гиббс ввел определения следующих статистических ансамблей.
Микроканонический ансамбль — совокупность консер вативных систем в Г-пространстве с заданными энергией Е, числом частиц N и внешними термодинамическими пара метрами а. Соответствующая ему функция распределения
в фазовом пространстве есть |
|
/Я >=-±-6[Я (р,г, а ) - Я ], |
(1.12) |
где Q — нормировочный коэффициент. |
систем в |
Канонический ансамбль — совокупность |
Г-пространстве с заданными значениями статистического параметра (модуля распределения) 0 , числа частиц N и внешних параметров а. Соответствующая этому ансамб лю функция распределения в фазовом пространстве есть
Здесь Z — статистический интеграл (статистическая сум ма), который, согласно условию нормировки (1.11), име ет вид
г ~ ' д т Ь хр [ ~ Я(|У - А ]Д р * - d -м)
Вывод термодинамических соотношений с помощью данной функции распределения и сравнение с термодина мической шкалой температур показывают, что параметр 0 связан с термодинамической температурой Т соотношением
© = х вТ, |
(1.15) |
где Хв — постоянная Больцмана. |
систем |
Макроканонический ансамбль — совокупность |
в Г-пространстве с заданными значениями двух статисти ческих параметров 0 и т' и внешними параметрами а.
§ 1. Исходные положения |
27 |
Соответствующая функция распределения в фазовом про странстве для него выражается формулой
fW |
■exp |
[Я (р, г, a) — m'N] |
(1.16) |
|
0 |
||||
|
h3NN\Za |
|
Здесь результирующий статистический интеграл макроканонического распределения Zg определяется с помощью модифицированного условия нормировки, учитывающего суммирование по всем частицам ансамбля,
г , = 2 h3NN\ (е х р ( |
И- m' N |
j dpdr. (1.17) |
0 |
||
N —0 |
|
|
Параметр 0 связан с температурой Т соотношением (1.15). Аналогичным образом можно убедиться, что параметр т! тождествен химическому потенциалу р.
Очевидно также, что выполняется соотношение
оо
Ze = 2 Z(A, ©, a) exp [ —g—J • |
(1.18) |
N = 0 |
|
Интересно обсудить, какие физические системы соот |
|
ветствуют перечисленным ансамблям. |
пред |
Микроканонический ансамбль по определению |
|
ставляет собой виртуальный ансамбль систем с постоян ными энергией и числом частиц. Он используется для опи сания термодинамически замкнутых систем.
Канонический ансамбль описывает системы с постоян ным числом частиц, но с переменной энергией. Вариация энергии определяется статистическим параметром 0. Физи ческий смысл этой вариации энергии можно понять из рассмотрения подсистемы какой-либо микроканонической системы со многими степенями свободы. Такой анализ показывает, что распределение канонического ансамбля
аналогично распределению для |
выделенной |
подсистемы |
и обмен энергией соответствует |
системе, |
находящейся |
в тепловом контакте с термостатом, температура которого
определена параметром 0 .
Макроканонический ансамбль характеризуется вариа циями энергии, определяемыми параметром 0 , а также вариациями числа частиц, определяемыми параметром т' .
28 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
Снова, обращаясь к рассмотрению некоторой подсистемы для микроканонической системы со многими степенями сво боды, можно показать, что макроканонический ансамбль описывает такие системы, которые находятся в кон такте с большим термостатом, характеризуемым пара метром 0 , и большим резервуаром частиц, характеризуе мым параметром т'. Таким образом, этот ансамбль соот ветствует термодинамически незамкнутым системам.
Функции распределения, описываемые с помощью пере численных статистических ансамблей, совместно с посту латом Гиббса, позволяют рассчитать микроскопические и макроскопические свойства физических систем, находя щихся в равновесии. Вначале мы изучим макроскопические свойства систем, в частности связь между статистической суммой (или интегралом) и термодинамическими потен циалами. После этого обратимся к исследованию их
микроскопических характеристик.
§2. МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
2.1.Соотношения между термодинамическими потенциала ми и статистической суммой для канонического ансамбля
Дифференциал свободной энергии Гельмгольца опре деляется соотношением
dF = d U - TdS - SdT. |
(2.1) |
Совместно с первым и вторым законами термодинамики, записанными в форме
dQ = dU — А •da — р dN,
(2.2)
dS = - ^ -,
соотношение (2.1) преобразуется к виду
dF= ~ V_dT + A-da + iidN. |
(2.3) |
Здесь через а снова обозначена экстенсивная обобщенная координата, а через А — сопряженная ей интенсивная переменная — обобщенная сила.
Рассмотрим теперь дифференциал функции ( —0 In Z). Это выражение является функцией параметров 0, а
§ 2. Макроскопические свойства |
29 |
и числа частиц N. Для получения полного дифференциала применим соотношение
dZ |
az |
dZ = ^ - i N + ^ d» + ^ r . ^ |
|
as |
da |
dZ JAT , |
1 |
d N d N + m h 3N И ж
1 |
dH |
da j X |
d@- 0 |
da |
|
X exp( — |
) dp dr, (2.4) |
|
которое есть следствие (1.14). Используя выражения для
и = (И)= m *3Nz j И exp ( — -§-) dp dr |
(2.5) |
и |
|
A =( T ) = ^ k i f 4 ( - J |
(2.6) |
полученные согласно определению среднего значения по формуле (1.2), находим
d( — 01nZ) = (— 01nZ — [7)сИп@ + А-йа +
+ ^ ( - 0 1 n Z)dN. (2.7)
Теперь, предполагая по-прежнему справедливость соот ношения
0 = ХвТ, |
(2.8) |
которое может быть доказано на основе определения термодинамической температурной шкалы, видим, что с точностью до констант, не представляющих интереса,
F = —0 In Z. |
(2.9) |
Это соотношение связывает статистическую сумму для канонического ансамбля с термодинамическими потенциа лами. Имея выражение для свободной энергии Гельм гольца, все остальные термодинамические характеристики можно найти путем простого дифференцирования. Исполь-
30 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
зуя соотношение (2.3) и полагая а = V, получаем
сdF
Ь ~~ |
дТ N,v= ~dT(@ln Z) к |
y’ |
|
|
||
Р ~ |
dF |
|
|
|
|
|
dV |
|
|
|
|
( 2 . 10) |
|
|
dF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т, V = — Ш ln Z) к у’ |
|
|
|||
U = F + T S = - S l n Z + T dT |
|
1In Z ) |jv, V = |
||||
|
|
|
|
02 |
d |
In Z |W, V |
|
|
|
|
Xjj |
dT |
|
|
dU |
0 2 |
|
)L |
|
|
С у — |
dT N,V |
dT \ y.B dT In Z |
|
|
||
|
|
|
||||
2.2. Соотношения между термодинамическими потенциала ми и статистической суммой для макроканонического ансамбля
В данном случае наиболее целесообразно рассмотреть величину pV, которая является термодинамическим потен циалом относительно переменных Т, V = а и р. Диффе ренциал этой величины имеет вид
|
d(pV) = ^ ( p V |
+ U |
- ii N ) + N d li + pdV, |
(2.11) |
||
что легко получить из формулы |
|
|||||
F |
dF_ |
v + — |
N = |
- p V + N\i = U - T S . |
(2. 12) |
|
dV |
||||||
|
N v ^ dN |
|
|
|
||
Левая часть формулы (2.12) представляет собой следствие теоремы Эйлера, справедливой при условии, что свобод ная энергия Гельмгольца есть однородная линейная функ ция V и N. Это предположение правильно в рамках при менимости теоремы Ван-Хова.
Обратимся теперь к выражению для дифференциала величины (0 In Zg), рассматриваемой как функции пара метров 0 , in' и а. Согласно определению (1.2), средние энергию и величину обобщенной силы для макроканони-
|
§ 2. |
Макроскопические свойства |
31 |
|
ческой системы запишем в виде |
|
|||
U = m ~ 2 |
z |
|
|
(2.13) |
N = 0 |
8 |
|
|
|
И |
|
|
|
|
А= < ^ - > = 2 |
^ |
H — m'N |
|
|
е |
|
|||
|
лг=о |
|
* |
(2.14) |
|
|
|
|
|
Кроме того, поскольку N — переменная величина, |
среднее |
|||
число частиц есть |
|
|
|
|
<А> = 2 |
, 1 . * |
■ j f r e x p ( ~ ^ - f ^ - ) d , d r . |
(2.15) |
|
N=0 |
8 |
|
|
|
Используя приведенные формулы и выражение *для диф ференциала
dZa |
dZe |
, dZe |
dZ8 = ~aiTde + - w |
dm + - a T ‘d& = |
|
|
1 |
dH «daj exp ( — Я Qm - ) riprfr, |
(2.16) |
||||
находим |
в |
da ' |
J |
V |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d (0 In Zg) = |
10 In Zg + |
V — m' |
(N)J d in 0 + |
|
|||
|
|
|
|
|
+ (N) dm' — A-da. , |
(2.17) |
|
Применяя |
далее |
соотношения |
|
|
|||
|
|
0 |
= хв Т, |
тп' |
= р,, |
(2.18) |
|
справедливость которых может быть доказана из термоди намических определений этих величин, и сравнивая выра жения (2.17) и (2.11), получаем
p V = 0 In Zg. |
(2.19) |
32 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
Представляющие интерес остальные термодинамические величины, как видно из соотношения (2.11), могут быть найдены путем простого дифференцирования. В результате мы имеем
с |
d(PV) |
|
a |
(0 In Zg) |
и.v |
|
|
дТ |
и, V |
дТ |
|
||
У |
d(pV) |
|
д |
(©In Zg) |
|
|
dV |
й, т |
av |
й, т ’ |
|
||
AF— d(pV) |
Т, V |
д |
(0 ln Zg) |
Т, V’ |
(2.20) |
|
|
|
др. |
||||
U =\iN + S T - PV =
= Н'-^г l n 1г- yJrT ~W~ |
ln,v— |
F ^ r ( 0 In Zg) й. т
Поскольку все макроскопические термодинамические свойства рассматриваемой системы могут быть выражены через ее статистическую сумму (или интеграл), проблема определения этих макроскопических характеристик, таким образом, сводится к вычислению соответствующей стати стической суммы (интеграла).
§3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА ДЛЯ КУЛОНОВСКОЙ СИСТЕМЫ
3.1.Постановка задачи
Впредыдущем параграфе мы показали, что при расчете термодинамических характеристик различных систем цен тральную роль играет вычисление статистической суммы.
Без потери общности в настоящем параграфе мы можем ограничиться рассмотрением статистической суммы кано нического ансамбля, так как статистическая сумма макроканонического ансамбля может быть выражена через статистическую сумму канонического ансамбля. Кроме того, оказывается достаточным рассмотреть кулоновскую
систему, |
состоящую из |
равного числа |
N |
электронов |
и однократно заряженных ионов. На |
примере такой |
|||
системы |
обнаруживаются |
все характерные |
трудности, |
|