книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы
.pdf§ 5. Решение уравнения Власова методом Ван Кампена 183
В противоположность ветствующей энергии вклада при t —*■оо.
электрическому полю и соот эта функция не дает нулевого Преобразование Фурье— Лапласа
/ (и, к, р), помимо полюсов образа Фурье— Лапласа Ф, имеет еще один полюс на мнимой оси, который возникает из-за осциллирующего члена А (и, к) ехр ( — ikut), не испытывающего затухания.
Особенно заслуживает внимания тот факт, что частота этого явления зависит от скорости и. Если проинтегриро
вать / по и в произвольных пределах, то вновь появится затухание как результат перемешивания фаз, соответствую щих членам с различными скоростями и.
Любые попытки более детально изложить энергети ческую проблему приводят к нелинейной теории (см. рабо ту [9] и приведенные в ней ссылки на литературу).
§ 5. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА МЕТОДОМ ВАН КАМПЕНА
В настоящем параграфе мы рассмотрим другой метод решения уравнения Власова. Этот метод был разработан Ван Кампеном [10], который разрешил проблему, связан ную с наличием полюса при и — ир в дисперсионном соот ношении (2.14) с помощью теории обобщенных функ ций [И].
Будем исходить из преобразованного по Фурье линеа ризованного уравнения Власова в отсутствие внешнего
возмущения [см. (3.6)]: |
|
\ u - j f \ l { u , k , & ) - ^ - F ' 0{u) j J(u, к, <a)du= 0. |
(5.1) |
— оо
Рассмотрим теперь задачу нахождения нормальных мод решений этого уравнения с действительным значением со/к = v, т. е. задачу, которую Ландау обошел путем введения аналитического продолжения. Чтобы решить эту задачу на собственные значения для действитель ных v, запишем v как индекс, опуская зависимость от к. Уравнение (5.1) является однородным, так что функция
/ (и, к, со) определяется только с точностью до произ вольного множителя. Поэтому можно наложить допол-
184 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
нительное условие нормировки |
|
+°° _ |
|
j Jv (u)du= 1, |
(5.2) |
—со
благодаря которому (5.1) преобразуется в уравнение
~ |
со?. |
(5.3) |
( u - v ) f v (u) = -^-F'0{u). |
||
Заметим, что решение этого уравнения не может быть написано в виде
~ |
£0?. |
К (и) |
•] |
(5.4) |
/v (и) |
|
. |
Кроме того, следует установить однозначное правило, определяющее вклад от сингулярности. Необходимо также отметить, что для решения задачи достаточно определить /v (и) как обобщенную функцию в смысле Шварца, поскольку измеряемые величины являются усредненными, вычисленными путем интегрирования по Д, (и).
Используя результаты функционального анализа, приходим к следующему соотношению:
^ |
СО2 |
\ |
(5.5) |
f ^ u ) = - ^ F ' 0(u)&1I—;r + A(v)8(u — v), |
|||
где второй член в правой части представляет собой про извольное решение соответствующего однородного урав нения
(и — v)7v (и) = 0. |
(5.6) |
Из условия нормировки получаем
A(v) = i - $ - & j |
(5.7) |
— оо
В результате находим
Ту (и) = ^ |
® ^ |
(«) б ( и - v), |
(5.8) |
§ 5. Решение уравнения Власова методом Ван Кампена 185
Здесь мы ввели сокращенные обозначения et и —е2 для действительной и мнимой частей диэлектрической про ницаемости (3.10), которая теперь может быть записана в пределе v; = ± 0 следующим образом:
в± (k, v) = et (к, v) |
ie2 {к, v), |
|
2 |
+ ° ° |
(5.9) |
|
j - ^ d u , |
— оо
to?,
ez (k, V) = n 1j?-F'0(v).
В решении (5.8) содержится удивительный результат, что для любого v и для любого значения волнового числа
к можно найти собственную функцию Д (и). Спектр соб ственных значений уравнения Власова включает всю дей ствительную ось. А это означает, что не существует дисперсионного соотношения v = v (к).
5.1. Присоединенное уравнение Власова
Для решения начальной задачи мы должны разло жить заданное начальное возмущение по собственным функциям:
+°° |
_ |
|
/ (и, £ = 0) = j |
К (v)fv (u)dv. |
(5.10) |
Так как уравнение Власова не является эрмитовым, необходимо ввести систему функций (и), ортого
нальных модам Ван Кампена Д (и): |
|
||
+00 _ |
_ |
|
|
j |
%{u)J\,{u)du = C{v) 8(v —v'). |
(5.11) |
|
—оо |
|
|
|
Это позволяет |
с |
определить коэффициенты |
разложения |
в соответствии |
формулой |
|
|
|
|
-^оо |
(5.12) |
K(v) |
С(v) J T(ui t —0) 7*, (и) du. |
||
оо
186 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
Отсюда следует, что необходимо рассматривать также и присоединенное уравнение Власова. В общем случае оператор L+, присоединенный к линейному оператору L, определяется из уравнения
J[/ib /2- / 2L V i]^ = 0. |
(5.13) |
Из этого уравнения мы получаем, что собственные функ ции L и L+ ортогональны:
j [ / ^ 2/2— |
|
= |
— ^i) \ f { h d x = 0. |
(5.14) |
|
Оператор Власова содержит интегральный оператор |
|
||||
|
|
|
4 -0 0 |
dl. |
|
|
|
/ = Ь(х) |
j |
(5.15) |
|
|
|
|
— 00 |
____ |
|
Из равенства |
|
|
|
|
|
-|-оо |
|
|
|
-роо |
|
j |
fi(x)b(x)dx |
j |
/2 (l) dl = |
|
|
— OO |
|
— OO |
|
|
|
|
- j-00 |
-f-O O |
|
|
|
= |
j |
U{x)dx j |
ь (S) /i (6) |
(5.16) |
|
—OO —OO
можно легко получить оператор, присоединенный к интегральному оператору (5.15), т. е.
+ ° ° |
|
/* = j b(g)d£. |
(5.17) |
— 00 |
|
Таким образом, присоединенное уравнение Власова запи сывается в виде
^ |
(0* |
+ ° ° |
^ |
|
|
2 |
|
|
|
(и- v ) / » |
- - ^ |
) F'a(u)fl(u)du = 0. |
(5.18) |
|
|
|
— 00 |
|
|
Это уравнение является однородным и относится к тому же типу, что и (5.1); поэтому его можно решить тем же
методом, как и (5.1). В частности, на функцию fl (и) можно наложить произвольное условие нормировки,
§ 5. Решение уравнения Власова методом Ван Кампена 187
которое удобно выбрать следующим образом:
(5.19)
—оо
Используя приведенную выше аргументацию, решение уравнения (5.18) запишем в виде
П (“) = &Ь У + в (V) б (и - V ), |
(5.20) |
где В (v) определяется из условия нормировки как |
|
|
(5.21) |
Соотношение ортогональности (5.11) может быть доказано в самом общем виде с помощью уравнения (5.14). Опре деление величин С (v) отложим пока до того момента, когда будет доказана полнота набора мод Ван Кампена. Непосредственное вычисление С (v) провести весьма труд но, поскольку необходимо тщательно следить за тем,
чтобы не |
допустить изменения порядка интегрирования |
|||
в членах, |
содержащих |
произведение |
главных |
частей. |
5.2. Полнота набора мод Ван Кампена |
|
|
||
Разложение (5.10) по |
собственным |
функциям |
можно |
|
выполнять только тогда, когда набор функций Д, (и) является полным. Другими словами, эту задачу можно сформулировать следующим образом: при каких усло виях уравнение (5.10) имеет решение для любого задан
ного начального возмущения / (и, t — 0)?
Будем считать, что начальное возмущение, опреде ленное только на действительной оси и, можно разбить на две части: «плюс-функцию» и «минус-функцию». Плюсфункция имеет аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость комплексного переменного, а минус-функ ция — в нижнюю полуплоскость. Такое разложение будет
единственным при условии, что /+ (оо) = 0. Тогда функ-
188 Гл. 3. Неравновесные |
состояния |
кулоновской |
системы |
|
|||
ция |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Ш в » = \ |
h {z) |
для Zj > |
О, |
(5.22) |
||
2лi |
для гг< |
О |
|||||
—Iо u~ z |
l |
f-(z) |
|
||||
определяет аналитические функции в соответствующих
полуплоскостях, если |
/ (и) |
— интегрируемая |
функция. |
На основании формулы Племеля в пределе |
zt = ± О |
||
имеем |
|
|
|
|
i |
i=i;id x ± ^ ( u ) . |
(5.23) |
|
—оо |
|
|
Отсюда получаем |
|
|
|
и |
Т й |
7- |
(5.24) |
— ОО
Теперь наложим на F0 (и) условия, которые накладыва лись на эту функцию при выводе критерия Пенроуза.
Подставляя в (5.10) выражение (5.8) для функции fv (и), получаем эквивалентное соотношение
7 (и, t = 0) = * (и) К (и) - |
+°° |
dv |
|
J |
(5.25) |
||
|
— ОО |
|
|
или, пользуясь разложением (5.24) для К(и) и f{u, |
t = 0), |
||
находим |
|
|
|
f+- 7 - = ^ { K +- K _ ) - i e i (K+ + K_). |
|
(5.26) |
|
Отсюда и из (5.9) имеем |
|
|
|
7+- 7 . = е+К+-е_К_. |
|
(5.27) |
|
Уравнение (5.27) представляет собой соотношение для
функции (вК —/), состоящей из двух функций, анали тических на действительной оси и не имеющих скачка на ней, Единстренной функцией, удовлетворяющей ука
§ 5. Решение уравнения Власова методом Ван Кампена 189
занным условиям, является константа; в нашем случае эта константа равна нулю, т. е.
е(и)К(и) —/(и)->- 0 при | ц | —V оо . |
(5.28) |
Отсюда мы имеем |
|
s±K± = J±. |
(5.29) |
Рассмотренный метод допустим тогда и только тогда,
когда величина К ± = /±/е± представляет собой плюс(ми- нус)-функцию. А для этого необходимо и достаточно,
чтобы |
выполнялось неравенство |
е+ (z) Ф 0 при |
Z; |
0. |
|
Кроме |
того, из соотношения |
е_ (z) = е* (z) = |
е+ (z*) |
||
получаем также неравенство е_ (z)=^= 0 для гг ^ |
0. |
Из ана |
|||
лиза |
контуров G (R ± г0), проводившегося |
при |
выводе |
||
критерия Пенроуза, ясно, что полученные неравенства эквивалентны условию устойчивости распределения F0 (и) в нулевом порядке. Таким образом, можно сформули ровать теорему: устойчивость функции F0 (и) означает полноту системы собственных функций Ван Кампена
/v (и) для действительных значений v.
На следующем примере мы покажем, каким образом можно обобщить предыдущий метод, включая неустойчи вые состояния. Для этого к непрерывному спектру дей ствительных значений следует добавить набор дискретных собственных значений, являющихся нулями функции е± (z) соответственно для z; > 0 и Zf<10. Тогда отвечаю щие им нормированные собственные функции равны
(5-30)
Присоединенные собственные функции при этом записы ваются следующим образом:
(5.31)
Эти функции нормируются в соответствии с (5.19). Нако нец, условие ортогональности изменяется вследствие добавления суммы по дискретному спектру:
-\-оо |
„ |
„ |
~ |
~ |
|
j |
^ (Ul) ^ |
dv + 2 ду h (Ul) % |
= 6 (“i - u*)• |
||
—00 |
|
|
3 |
|
|
(5.32)
190 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
Рассмотрим опять только устойчивые состояния и най дем нормировочную постоянную С (v), вычисляя К {у) с помощью (5.12) и сравнивая с полученным выражением
(5-зз)
Подставляя сюда вместо /+ (и) выражения (5.20) и (5.21), путем простых преобразований находим
—ОО
+ ei (v) б (и - v)]<ft*= с {v)n&2(v) [7+ (v) е_ (v) — |
(v) е+ (v)] . |
|||
|
|
|
|
(5.34) |
Это соотношение можно переписать в виде |
|
|||
к м |
лв+(V) е- (V) |
Г f+ |
f- (v) 1 |
(5.35) |
|
C (v) e2 (v) |
L e+ (v) |
e _ ( v ) J ’ |
|
откуда, сравнивая с (5.33), окончательно получаем |
||||
|
C (V) = ” 's f(ff'2 |
• |
(5-36) |
|
5.3. Реш ение начальной задачи методом разложения по собственным функциям. Сравнение с решением Л андау
Любое начальное возмущение вида (5.10) развивается во времени, согласно соотношению
+°° |
_ |
|
7 (к, и, t)= j |
К (y)%{u)e~ihvtdv, |
(5.37) |
— ОО
поскольку для мод Ван Кампена временная зависимость соответствует нормальным колебаниям.
Наибольший интерес представляет временная зави симость потенциала, который, согласно (3.27), содержит только функцию распределения первого порядка, про интегрированную по скорости и. Учитывая условие нор
§ 5. Решение уравнения Власова методом Ван Кампена 191
мировки мод Ван Кампена, получаем функцию
|
-J-00 |
|
Н-00 |
|
|
h(k, |
t)= j f{k, |
и, t)du = |
^ K(v)e~ih4tdv |
(5.38) |
|
или, подставляя сюда вместо К (v) выражение (5.33), |
|||||
НК 0 = 7— 00 |
[ ^ |
- Ш |
*’■ |
(5'39> |
|
Для £ >> 0 |
контур интегрирования от |
+оо до |
—оо |
||
можно замкнуть в нижнюю v-полуплоскость. В нижней
полуплоскости функция /_/е_ является регулярной, поэто му для t > 0 мы имеем
+ 0 0 |
|
h(k, t)= j e - M ^ d v . |
(5.40) |
Для функции h (k , t) Ландау получил следующее выра жение [см. (4.2)]:
+°° _
|
0 +ioo |
| |
J (и, k, t — 0){p-\-iku)~1 du |
|
|
М М )= ,4 |
( |
« • ' - -------гзтд -------- dp- |
(5.«) |
||
|
С —гоо |
|
|
|
|
После подстановки р — — т |
|
|
|||
|
|
|
+Г |
7 К к, f= 0)du |
|
|
|
° о + г а |
J |
г (fe n — ш ) |
|
^ ’ 0 |
= 4 |
J |
e~iaf~°° |
e+(fe, 0))------ d<B- |
(5-42) |
|
|
— o o + i a |
|
|
|
Напомним, что для устойчивой плазмы можно положить ст = + 0. Тогда, вводя новую переменную (о = к (v + Ю), получаем
|
+ о о |
-ifcvt |
/ (u, fe, i —0) |
|
h(k, 0 = 4 |
|
(5.43) |
||
|
еJ+ (*, v) [1 |
ife (u—v — iO) |
||
|
|
—0< |
|
|
Учитывая (5.22), легко видеть, что последнее выраже ние совпадает с выражением (5.40). Это свидетельствует
192Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
ополной эквивалентности решения начальной задачи методом Ландау и методом Ван Кампена. Нет никакого противоречия также и в том, что моды Ван Кампена являются незатухающими и не удовлетворяют дисперси онному соотношению, в то время как колебания Ландау затухают, ибо в устойчивой плазме любая физическая функция распределения представляет собой суперпозицию собственных функций Ван Кампена, а поэтому она зату хает благодаря «перемешиванию фаз».
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.Власов A. A., Journ. Phys. USSR, 9, 25 (1945).
2.Власов А. А., Теория многих частиц, ГИТТЛ, М., 1950.
3.Penrose О., Phys. Fluids, 3, 258 (1960).
4. Denavit J., |
Phys. Fluids, 8, 471 (1965). |
5. Ландау Л. |
Д. , ЖЭТФ, 16, 574 (1946). |
6.Fried В. D., Conte S. D., The Plasma Dispersion Function, Acade mic Press, New York, 1961.
7.Hayes J ., Phys. Fluids, 4, 1387 (1961).
8.Hayes J., Nuovo Cimento, 30, 1048 (1963).
9.Einaudi F., Sudan B. N., Plasma Phys., 11, 359 (1969).
10.Van Kampen N. G., Physica, Utrecht, 21, 949 (1955); 23, 647 (1957).
11.Мусхелишвили H. И., Сингулярные интегральные уравнения, изд-во «Наука», М., 1968.
12.Jackson J. D., Journ. Nucl. Energy, Part C, 1, 171 (1960).
13.Saenz A. W., Rep. NRL-6125, U. S. Naval Res. Lab., Baltimore, Maryland, 1964.
14.Saenz A. W., Journ. Math. Phys., 6, 859 (1965).
Дополнительная литература
Case К. M., Zweifel P. F Linear Transport Theory, AddisonWesley, Reading, Massachusetts, 1967.
Magneto-Fluid and Plasma Dynamics (ed. H. Grad), Proc. Symp. Appl. Math. (Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island), 18 (1967).
Jackson J . D . , Classical Electrodynamics, W iley, New York, 1962. Montgomery D., Tidman D ., Plasma Kinetic Theory, McGraw-
Hill, New York, 1964.
Roos B. W., Analytic Functions and Distributions in Physics and Engineering, Wiley, New York, 1969.
Stix T. H., The Theory of Plasma Waves, McGraw-Hill, New York, 1962 (см. перевод: T. X. Стикс, Теория плазменных волн, Госатомиздат, М., 1965).
Wu Т. Y., Kinetic Equations of Gases and Plasmas, AddisonWesley, Reading, Massachusetts, 1966.