книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы
.pdf§ 5. Флуктуационно-диссипационная теорема |
113 |
Здесь скобками {. . ., . . .} обозначены скобки Пуассона. Если потребовать, чтобы значения внешних параметров обращались в нуль при t = + ос, то суммарная дисси
пация энергии, согласно теореме Парсеваля, равна
-f-oo -foo
j ( 4 r ) * = |
- S |
J <-®s) Asdt — |
|
— oo |
S |
— oo |
|
|
|
+°° |
~ |
|
|
= — 2 j |
(5.5) |
Свяжем теперь диссипацию энергии со спектром флук туаций, используя выражение (5.5) и формулу Кубо [22]. Чтобы вывести формулу Кубо, обратимся сначала к урав нению Лиувилля
- Ц г = - Un , |
Щ = - {fN, Н0) - 2 {fN, Bs) А,. |
(5.6) |
|
S |
|
Вводя оператор Лиувилля |
|
|
|
iX0 = { ...,H o h |
(5.7) |
мы получим следующее уравнение: |
|
|
^ ~ |
+ iX0fN= J 1{Bs, f N) As {t). |
(5.8) |
• |
S |
|
Преобразуя это линейное дифференциальное уравнение первого порядка в эквивалентное интегральное уравнение, находим
|
h = № + 2 |
J е - ' Я ° х { В . , fN}A s (t -T)dx. |
(5.9) |
|
s |
О |
|
Здесь |
предполагается, |
что fN(t— — оо) = /#’ есть |
равно |
весное |
распределение, определяемое формулой |
/$’ = |
|
= ехр ( — H0/@)/ZN\h3N.
Уравнение (5.9) можно решить с помощью метода итерации. В рамках поставленной задачи мы ограничимся линейными по {Л8} членами. Это означает, что в правой части этого уравнения функция fN заменяется на /$ \
8 - 0 1 2 9 1
114 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
Вспоминая, |
что d/jv = |
—(i/®)f(N)dH0, a |
{BS, H 0}= BS, |
||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
fN = |
± |
2 |
j e-*ZoyfBsA. {t - |
1) dx. |
(5.10) |
|
|
s |
0 |
|
|
Поскольку |
величина |
e~lJSox коммутирует |
с /$ ’ |
и сдви |
|
гает значения всех переменных pft(£), гh(t) по времени,
преобразуя их к |
pft(i — т), гh (t— т), окончательно имеем |
|
|
00 |
|
fN (0 = In — 3 |
I |
(Pfe (t —Т), rh (t — г)) Л8 (t — т) dr. |
s |
О |
(5.11) |
|
|
|
Согласно этой формуле, среднее по ансамблю от произ вольной функции координат В определяется выражением
оо
(R)(t) = (R)о - - | - 2 J <Д (Р*(0. rfc (0) X
зО
X Bs (Ph (t—т), rft(£—x)))o^s(i —T)dT. (5.12)
Здесь величины с индексом «О» соответствуют равновесно му состоянию. Выражение (5.12) и есть искомая формула
Кубо.
Чтобы сформулировать флуктуационно-диссипацион- ную теорему, положим R = Bs. Тогда
ОО
{Bs) (t) = — 4 - 2 j Ф , (Pfc (t), th (*)) X
s' l)
X B S' (ph(f — т), г 4 « -т )))04,. (t — x)dx. (5.13)
Рассмотрим теперь параметры s, s' в качестве характери стик некоторой системы точек г, г' пространства и заменим соответствующую сумму интегралом. Заметим, что пере менные г, г' не следует путать с координатами частиц
Рй, rk.
Определяя автокорреляционную функцию по простран ству и времени для стационарной и однородной системы
§ 5. Флуктуационно-диссипационная теорема |
115 |
с помощью формулы |
|
P(r —г', т) = (Б(г; |
рk (t), rh(t))B(r'; ph(t — x), rk (t — x)))0, |
получаем |
(5.14) |
|
|
|
00 |
(B)(r,t)= — i - j |
dr' j p(r —r', x)A(rf, t — x)dx. (5.15) |
|
0 |
Используя теорему о свертке, мы можем ввести понятие
«обобщенной проводимости» С (к, |
со), согласно |
формуле |
(Б) (к, со) = — к2С(к, |
о) А (к, со). |
(5.16) |
Из соотношения (5.5), если применить теорему Парсеваля к переменным г, к, получаем выражение для дисси пации энергии
И7 = j dk j к2С (к, со) А (к, со) А* (к, со) dco=
= j dk | A2 Re [С (к, со)] | А (к, со) |2dco. (5.17)
Таким образом, величина Re [С (k, со)] является основным параметром, определяющим диссипацию энергии. Из (5.15) и (5.16) следует, что
оо |
|
|
|
|
|
@к2С (к, со) = j dt j |
giuc-ik.rp (Г) t) dT, |
(5.18) |
|||
о |
|
|
|
|
t), |
откуда, учитывая свойство симметрии |
Р(г, |
—£) = Р (г, |
|||
находим |
|
|
|
|
|
+°° |
(г, |
t) dr = |
|
~ |
со). |
2®к2Re \С (к, со)] = J dt J |
(2я)2 р (к, |
||||
— оо
(5.19)
Это соотношение и представляет собой формулировку
флуктуационно-диссипационной теоремы, связывающей параметр диссипации Re [С (к, со)] с равновесным спект
ром флуктуаций функции отклика Bs.
8*
116 Рл. 1 . Равновесные состояния кулоновской системы
5 .2. Флуктуационно-диссипационная теорема для куло новской системы
Рассмотрим возмущение кулоновской системы, обус
ловленное внешним потенциалом Ф ВНеш (г, t). Тогда |
|
Я — Я 0 = j dr 2 егб(г — гг)Фвпеш(г, t), |
(5.20) |
г |
|
и обобщенные параметры, введенные выше, можно свести к следующим частным случаям:
А (г, t) = Фвнеш(г , t) , В (г, гй) = 2 егб ( г — г г). |
(5 .2 1 ) |
i |
|
Используя |
тождество |
(d/dt) б (г — г;) = — (d/dr) ■б (г — г;) v£, |
||
находим |
|
|
|
|
|
(В) (к, |
со) = — ik-T(к, со), |
(5.22) |
|
так что соотношение (5.16) примет вид |
|
|||
7ц (к, со) = |
С (к, со) ( — гкФВНеш (к, |
со)) = |
|
|
|
|
= С (к, |
со) Е\\ внеш (к, со). |
(5.23) |
Здесь через j обозначена плотность электрического тока, связанная с внутренним электрическим полем Е посред ством формулы j = стЕ, где а — проводимость. Поскольку это внутреннее поле в свою очередь связано с помощью комплексной диэлектрической проницаемости с внешним полем формулой еЕ = Е ВНеш> для обобщенной проводи мости получаем соотношение вида
■с <к- “> - Л г |г - |
<5'24> |
Если система состоит лишь из электронов с заряда ми (—е), автокорреляционная функция определяется вы ражением
Р ( г , t) = е2 (и ( г , t) п (0, 0) >0, |
(5 .2 5 ) |
Литература |
117 |
где п — значение микроскопической плотности. По ана логии с вычислениями, приведенными в § 4 гл. 6, находим
Р (k, со) = lim Г (2Гу2- 1 (In (к, со) р)0 =
Т, Vi-oo L 1 v |
J |
|
= |
lim [ (2^p—] (о2 ( | n (к, со) |2)0. |
(5.26) |
Итак, формулировка флуктуационно-диссипационной тео ремы для кулоновской системы сводится к соотношению
0 |
к2 |
о (к, со) |
(2я)4 е2 |
<| та (к, со) |2)0. |
(5.27) |
со2 |
е(к, со) |
TV |
Используя выражение ь = 1 + 4яга/со [см. формулу (2.35) в гл. 6], можно также придать соотношению (5.27) иную форму:
lim |
(2я)*е2 |
<! та (к, со)|2) о = 0 - ^ |
_______ Рг______ |
(5.28) |
|
TV |
|
Р? + (Р1 + 4я/со)2 |
|
Здесь рг и pi обозначают действительную и мнимую части удельного сопротивления р = 1/а. Выражение (5.28) свя зывает фурье-компоненту спектра флуктуаций плотности с характерным параметром, определяющим диссипацию,— удельным сопротивлением р.
|
|
ЦИТИРОВАННАЯ |
ЛИТЕРАТУРА |
|
|
|||||
1. |
Gibbs J. W., |
Elementary Principles in |
Statistical |
Mechanics, |
||||||
|
Dover, New York, 1902 (см. перевод: Дж. Гиббс, Основные |
|||||||||
2. |
принципы |
статистической механики, |
Гостехиздат, М., |
1946). |
||||||
Ecker G. and Kroll |
W„ |
Zs. Naturforsch., |
А21, 2012, |
2033 |
(1966). |
|||||
3. |
Kirkwood J. G., Journ. Chem. Phys., 2, 767 (1934). |
W iley, New |
||||||||
4. |
Mayer J. E., Mayer M. G., Statistical Mechanics, |
|||||||||
|
York, 1940 (см. перевод: Дж. Майер, M . Гепперт-Майер, Ста |
|||||||||
5. |
тистическая механика, ИЛ, М., 1952). |
|
|
|
||||||
Mayer J. Е., Journ. Chem. Phys., 18, 1426 (1950). |
|
|
||||||||
6 . |
Meeron, E., Journ. Chem. Phys., 28, 630 (1958). |
|
|
|||||||
7- |
Friedman |
H. |
L., |
Ionic Solution |
Theory, W iley (Interscience), |
|||||
|
New York, 1962, |
p. |
147. |
22, |
213 (1959). |
|
|
|||
8 . АЫ R., Progr. Theor. |
Phys., |
|
|
|||||||
9.Morita T., Progr. Theor. Phys., 20, 920 (1958).
10.Meeron E., Journ. Math. Phys., 1, 192 (1960).
11.De Witt H. E., Phys. Rev., 140, 466 (1965).
118 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
12. Born М., Green Н. S ., Ргос. Roy. Soc. Ser., А188, 10 (1946).
13.Mozer В ., Baranger M., Phys. Rev., 115, 521 (1959); 118, 696 (1960).
14.Holtsmark J., Ann. Phys. (Leipzig), 58, 577 (1919).
15.Ecker G., Mailer K. G., Zs. Phys., 153, 317 (1958).
16.Engelmann F., Zs. Phys., 169, 126 (1962).
17. Pfenning II., Trefftz E., Zs. Naturforsch., A21, 697 (1966).
18.Ecker G., Fischer K. G., Forschungsber. NRW, № 1949 (1968).
19.Chandrasekhar S., Rev. Mod. Phys., 15, 1 (1943).
20.Коган В. И., Селидовкин А. Д., Beitr. Plasmaphys., 9, 199 (1969).
21.Bostoker N., Nucl. Fusion, 1, 101 (1960).
22.Kubo R., Journ. Phys. Soc. Jap., 20, 439 (1957).
Дополнительная литература |
|
|
|
||||
К |
§ |
1] |
|
|
|
|
|
Ehrenfest P., Ehrenfest T |
The |
Conceptual Foundations of the |
|||||
Statistical |
Approach |
in Mechanics, Leipzig, 1911 (Engl. Transl.: |
|||||
Cornell Univ. Press, Ithaca, New York, 1959). |
в |
||||||
Manster A., Prinzipien |
der |
statistischen Mechanik |
|||||
книге |
Handbuch der |
Physik (ed. S. Fliigge), Yol. III/2, Springer, |
|||||
Berlin, |
1959. |
|
|
|
|
||
Tolman R., The Principles of Statistical Mechanics, Freeman, San |
|||||||
Francisco, |
California, |
1938. |
|
|
|
||
К |
§ |
2 |
|
|
|
|
|
Hill |
T. L., An Introduction to Statistical Thermodynamics, Addi- |
||||||
son-Wesley, Reading, Massachusetts (1960). |
|
||||||
Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Статистическая физика, изд-во |
|||||||
«Наука», М., 1964. |
Topics on statistical mechanics of interacting |
||||||
Montroll Е. W., |
|||||||
particles |
в |
книге La |
theorie des gaz neutres et ionises (eds. C. De |
||||
W itt and J, |
F. Detoeuf), Hermann, Paris, 1960. |
|
|||||
К |
§ |
3 |
|
|
|
|
|
Ebeling W., Ann. Phys. (Leipzig), 19, 104 (1967). |
3, |
||||||
Ebeling W., Hoffmann H. J., Kelbg G., Beitr. Plamaphys., |
|||||||
233 (1967).
Kelbg G., Ann. Phys. (Leipzig), 14, 394 (1964).
Kelbg G., Extensions of the Debye—Hiickel lim iting law; Appli cation to ionic solutions and plasmas в книге Chemical Physics of Ionic Solutions (eds. В. E. Conway and R. G. Barradas). W iley, New York, 1966.
К § 4
The Equilibrium Theory of Classical Fluids, (eds. H. L. Frisch, J. L. Lebowitz), Benjamin, New York, 1964.
Graboske H. C., Jr., Harwood D. J., De Witt H. E., Phys. Rev., A3, 1419 (1971).
|
Литература |
119 |
||
Giindel Я ., Beitr. Plasmaphys., 10, 455 (1970). |
||||
Hirt |
C. W., Phys. Fluids, 8 , |
693 |
(1965). |
|
Hirt |
C. W., Phys. Fluids, 10, |
565 |
(1967). |
(1935). |
Kirkwood J. C., Journ. Chem. Phys., 3, 300 |
||||
Kirkwood J. C., Boggs E. M., Journ. Chem. Phys., 10, 394 (1942). Matsuda K., Phys. Fluids, 11, 328 (1968).
Meeron E., Journ. Chem. Phys., 27, 1238 (1957). Meeron E., Phys. Fluids, 1, 139 (1958).
Meeron E., Rodemich E. R., Phys. Fluids, 1, 246 (1958). O'Neil T., Rostoker N., Phys. Fluids, 8 , 1109 (1965).
Onsager L., Chem. Rev., 13, 73 (1943).
Веденов А. А., Термодинамика плазмы, в сб. «Вопросы теории плазмы», т. 1, М., 1963, стр. 273.
Алямовский В. Я ., ЖЭТФ. 42, 1536 (1962). Broyles A. A., Zs. Phys., 151, 187 (1958). Ecker G., Zs. Phys., 148, 593 (1957). Hooper C. F., Phys. Rev., 149, 77 (1966). Hooper C. F., Phys. Rev., 165, 215 (1968). Jackson J. L., Phys. Fluids, 3, 927 (1960).
Kelbg G., Ann. Phys. (Leipzig), 13, 385 (1964).
Weise K „ |
Zs. Phys., 183, 36 (1965). |
|||
Weise |
K., |
Zs. Phys., |
212, |
458 (1968). |
К § |
5 |
|
|
|
Calien H. B., Welton |
T. A., |
Phys. Rev., 83, 34 (1951). |
||
Kubo |
R., |
Some aspects of |
the statistical mechanical theory of |
|
irreversible processes, в книге Lectures in Theoretical Physics (eds. W. E. Brittin, L. G. Dunham), Vol. I,' W iley (Interscience), New York, 1959.
Lax M., Rev. Mod. Phys., 32, 25 (1960).
Nyquist Я ., Phys. Rev., 32, 110 (1928).
Takahashi H., Journ. Phys. Soc. Jap., 20, 439 (1952). Taylor J. B., Phys. Fluids, 3, 792 (1960).
Thompson W. B., Hubbard J., Rev. Mod. Phys., 32, 714 (1960).
Глава 2
Неравновесные состояния кулоновской системы. Общее описание.
§ 1. ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ
1.1.Уравнения Климонтовича
Вданном параграфе мы рассмотрим истинную плот ность распределения однокомпонентной системы в ц-про- странстве. Очевидно, эта величина должна отличаться от соответствующей средней плотности распределения по ансамблю Гиббса.
Вклад г-й частицы в полную плотность распределения для нашей системы представим с помощью функций Дира ка в виде
Fi (Г, Р) = 5 (Г — Г; (it)) 6 (р — рг (t)). |
(1.1) |
Тогда полная плотность распределения всех частиц сорта к равна
^ <й)= X |
6 (г— М *)Ж р — Рг(0)- |
(1.2) |
i(h) |
|
|
Здесь через г (&) обозначены все частицы, принадлежащие к данному сорту к.
Прежде чем сформулировать законы движения для плотности распределения Fu напомним некоторые прави ла, которым подчиняются функции Дирака. Функция Дирака не является обычной функцией, она принадлежит к группе «распределений Шварца». Соотношения, которые приводятся ниже, основываются частично на определении функции Дирак» и частично на теории распределений Шварца. В тех случаях, когда соотношения не содержат интегрирования, их следует понимать символически. Итак, мы имеем
§ |
1 . Точные уравнения |
для |
плотн. распр, однокомп. системы 121 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ о о |
|
|
|
|
6(х) = 0 для |
х ^ О , |
|
j |
6 (x )d x = l, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
— 00 |
|
|
|
|
—[-00 |
|
|
|
-f-oo |
|
|
|
|
|
|
j /(x) 8(x)dx = f (0), |
j |
f(x) 6(x — a)dx = f(a), |
|
||||||
|
— oo |
|
|
|
—oo |
|
|
|
|
|
|
x6 (x) = 0, |
f (x) 8 (x — a) = f (a) 8(x — a), |
|
|||||||
|
8 ( — я) = 6 (ж), |
8 (ax) —~ ^ |
■ для |
а ф 0, |
(1.3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
I |
a I |
|
|
|
|
6 (a2- |
a2) = |
|
|
(*+ a) |
дЛя |
a > 0, |
|
||
|
+ o o |
8 (a — x) 8 (x — b)dx = |
|
|
|
|||||
|
j |
8(a — b), |
|
|||||||
|
— OO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—[“ OO |
|
|
|
|
oo |
|
|
|
||
j |
/ (x) 8' (x) dx = [f (x) 8 (x)]±“ - |
j |
/' (*) 6 (x) dx= |
(0), |
||||||
— OO |
|
|
|
|
— oo |
|
|
|
||
|
+ o o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j / (x) 8<n> (x) dx = (— !)” /<"> (0).
Производная функции Ft по времени определяется следующим образом:
Если через Е} обозначить поле, действующее со стороны частицы / на частицу i, то из законов классической механи ки находим
122 Гл. 2. Неравновесные состояния. Общее описание
поскольку Е) не зависит от импульса частицы и имеет вид
Используя свойства функции Дирака (1.3), получаем
ЩР, = |
- |
е, |
( J L |
) б (г - г,) б (р - |
ft) = |
|
= |
— |
ej j |
dr' j |
dp' (-^ - |r J_r/| ) 6 (г |
Гг) б (p |
рг) X |
|
|
X 6 (r' — t j) 6 (p' — pj) = — ej j dr' j dp' X |
||||
|
|
|
x |
F*(r’ p’ W |
r', P'’ |
*>• (4 8) |
Таким образом, в результате подстановки (1.8) в (1.6) имеем
dFj , р dFt dt ^ mj dr
dr
J- ± - 4 ) F i 2 i'F-e}} = 0. (1.9) i
Следует заметить, что в уравнении (1.9) учитывается только кулоновское взаимодействие внутри системы и пренебрегается внешними полями. Если же имеются такие поля Евнеш, то в правую часть уравнения (1.6), а также
впоследующие формулы необходимо добавить соответ ствующее слагаемое. Индексом i в (1.9) можно обозначить любую частицу рассматриваемой системы. Поэтому (1.9)
вдействительности представляет собой систему совмест ных дифференциальных уравнений, порядок которой
определяется |
числом частиц в данной |
системе. |
|
В уравнениях (1.9) суммирование производится по |
|||
плотностям |
распределений всех частиц |
одного |
и того |
же сорта к. Если использовать определение (1.2), |
то в ре |
||