книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

а также выражение (3.25), можно уравнение (3.21) пере­ писать в следующем виде:

— оо

Разделив первое уравнение на i (ки — со) и проинтегри­ ровав по и от —оо до +оо, а также используя второе

уравнение (3.27), мы получим потенциал Ф (к, со), выраженный через заданное его начальное значение. При

этом можно также найти / (и, к, со) из первого уравнения (3.27). Обратное преобразование по пространству и вре­ мени дает искомые функции. Таким образом в принципе задача решена.

!) Знаком •— сверху здесь и в дальнейшем обозначается изобра­ жение Лапласа.

166 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы

Прежде чем перейти к оценкам, сделаем еще одно заме­ чание. Вводя обозначения

Здесь £2 (и, г, р) является теперь изображением Лапла­ са для функции £2 (и, г, <). Конечно, мы должны отме­ тить, что контур интегрирования обратного преобра­ зования в p-плоскости отличается от соответствующего контура в ш-плоскости. Действительно, р = рТ + ipt, где Pi изменяется от —оо до +°°> а рг — постоянная величина, которая больше максимального инкремента нарастания rim.

§ 4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА МЕТОДОМ ЛАНДАУ

4.1. Решение Ландау Подставляя (3.28) и (3.29) в (3.27) и исключая функ­

цию f(u, к, р), находим выражение для потенциала

+оо

l

(4.2)

168 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы

из-за наличия разрывов в подынтегральном выраженииОднако значение интеграла вдоль указанного контура интегрирования (от а — ioo до о + too) не зависит от значений подынтегрального выражения вне этого кон­ тура. Следовательно, если можно найти аналитическое продолжение подынтегрального выражения в области, расположенной слева от пути интегрирования, то для вычисления интеграла (4.2) можно применить теорию вычетов.

Как числитель, так и знаменатель подынтегрального выражения (4.2) представляют собой комплексные инте­ гралы. Из теоремы Коши следует, что такие интегралы ста­ новятся аналитическими, если изменить путь интегри­ рования так, как это показано на фиг. 14, когда рТ изме­ няется от положительных значений к отрицательным. Таким образом, знаменатель подынтегрального выраже­ ния (4.2) для различных значений рг можно представить в виде

Аналогично строится аналитическое продолжение числи­ теля подынтегрального выражения (4.2).

р-полуплоскости х). Эти нули являются изолированными,

х) Заметим, что при таком аналитическом продолжении функция D (к, р) может иметь нули, хотя предполагалось, что знаменатель в первоначальном виде никаких нулей не имеет,

Племеля [12]. Допустим, что функция g (и) удовлетворяет всем требованиям, которые предъявлялись к функ­ ции F0 (и)\ тогда интеграл

определяет регулярную функцию в верхней z-полушюско- сти (конечно, также и в нижней полуплоскости). Эта функция может быть аналитически продолжена соответ­ ственно в другую полуплоскость путем разложения в сте­ пенной ряд:

оо

Из (4.8) для значения z0, лежащего в верхней полуплоско­ сти, находим

—00 — оо

Отсюда производная /г-го порядка может быть записана по индукции в виде

На основании формулы Племеля (2.74) для z0 = х0 + iy0 можно получить

+0 0

Отсюда следует, что при х0 = х и у0 = О

172 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы

Поскольку сингулярные точки подынтегрального выра­ жения находятся в области вне круга сходимости этого ряда, существенного вклада от них в интеграл ожидать не следует. Это позволяет представить главное значение в виде

Это решение совпадает с формулой (2.58). В самом деле, приближение (4.15) приводит нас обратно к мнимой оси р (т. е. к действительной оси ир). Более того, пренебрежение сингулярностью сводит уравнение (4.15) к дисперсионно­ му уравнению, полученному для случая кусочно-гладкой функции распределения с провалами. Так же как и ранее, здесь мы ограничились рассмотрением малых значений к. Для того чтобы найти соответствующее выражение для рг, продифференцируем выражение (4.22) по к. Простые вычис­ ления приводят к следующему результату:

^ 2 v CO2