книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы
.pdf§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы 103
Рассмотрим один из таких членов. Структура этого чле на, определяемая функциями sgt, в соответствии с исполь зуемым методом предполагает разбиение s элементов на подгруппы. В пределах каждой подгруппы элементы имеют прямые или косвенные связи. Связи между самими под группами отсутствуют. Проведем суммирование по всем членам,содержащим одинаковые наборы s элементов в подгруппах. Затем введем новую корреляционную функцию
V |
|
Ъ = 3 1 Г ^ . |
(4-144) |
В этом выражении произведения под знаком суммы рас пространяются на любые возможные комбинации диаграмм связей для v частиц внутри подгруппы. Например, в частном случае v = 3 такие диаграммы имеют вид
А Л L Д. (4.145)
Вкладподобной подгруппы в искомую спектральную функцию теперь имеет вид произведения функций *gi
и полностью определяется набором чисел v, причем через vh обозначено число подгрупп, каждая из которых содер жит h частиц. Таким образом, числа vh должны удовлетво рять тривиальному условию нормировки
2 vhh = s. |
(4.146) |
л = 1
Распространим теперь суммирование на все группы,
имеющие одинаковую структуру v, но отличающиеся распределением s элементов внутри этих подгрупп. Каж
дая из таких подгрупп дает одинаковый вклад в Н е- Следовательно, суммирование по рассматриваемым груп пам сведется к умножению на коэффициент
CM— 1 - * ------■ |
(4-147) |
Л=1
104 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
Здесь в числителе содержатся все возможные перестанов ки s элементов, а в знаменателе с помощью первого мно жителя исключаются перестановки тех подгрупп, которые не должны учитываться, поскольку они представляют собой перестановку целиком всей подгруппы. Второй множитель знаменателя исключает перестановки внутри отдельной подгруппы. Напомним, что
|
|
p i = 4 " - |
|
|
<4-148) |
|
Используя сокращенную запись |
|
|
|
|||
(1) = |
j |
• • • j* |
.. . ehsgh drt . . . dvh |
(4.149) |
||
и приближенное равенство |
|
|
|
|
||
|
|
т |
N 3 |
|
|
(4.150) |
|
|
(N— s)\ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
получаем для спектральной |
функции |
W E(|) |
следующее |
|||
выражение: |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
We (1) = |
2 |
[ 2 |
С (*) |
• • • S^ s] |
• |
(4-151) |
|
s—0 |
|
|
|
|
|
Здесь внутри квадратных скобок суммируются все комби нации s элементов по подгруппам vh, состоящим из h частиц каждая и удовлетворяющим условию (4.146).
Подставив выражение (4.147) для коэффициента С(s) и перегруппировав члены с учетом условия (4.146), найдем,
что при постоянной плотности |
п = N IV в пределе при |
N — оо и V —►оо |
|
*■№ >=.11 3 |
<4-152> |
Л=1гд=0 |
|
Поскольку в выражении (4.152) мы распространили произведение по индексу h от единицы до бесконечности, в нем содержатся члены, не входящие в исходное выраже ние (4.151). Однако относительный вклад этих дополни тельных (неправильно учитываемых) членов равен нулю
§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы 105
при N -у оо. Итак, получаем
оо
# E(l)= ex p { S ^ T ^ ( I ) } . |
(4.153) |
h = 1 |
|
Здесь, следуя Баранже и Мозеру [13], в последних двух соотношениях мы использовали аппроксимацию
для 8 = 1 , 2, 3, . . . . |
(4.154) |
С помощью формулы (4.153) рассматриваемая нами задача сводится теперь к вычислению величин опре деляемых формулой (4.149). Последнее, однако, представ ляет собой непреодолимую трудность, ибо нам неизвестны
корреляционные функции gh при h > 2. Поэтому мы огра ничимся приближением типа
WE (1) = exp \пШ, {1) + \ п Щ 2(|)] , |
(4.155) |
надеясь лишь на то, что рассматриваемое разложение достаточно быстро сходится, так что членами более высо ких порядков можно будет пренебречь.
Теория Холыпсмарка
В работе Хольтсмарка [14], в которой впервые было приведено вычисление распределения микрополей, пол ностью пренебрегалось всеми корреляциями. В нашем
подходе это означает, |
что |
надо определить лишь член |
шл\), положив член |
$ 2(1) |
тождественно равным нулю. |
В таком приближении спектральная функция |
имеет вид |
РЙЕ (|) = ехр{п j [e-icl-E)— i] dr} . |
(4.156) |
Пусть поле задано соотношением Е = —ег/r3. Тогда, введя полярные координаты, нетрудно вычислить инте грал, входящий в выражение (4.156),
2 л Л оо
j f f { e x p c o s # ] — l} r2drsin#d#dcp =
0 0 0 |
r |
= - — (2jte|)3/2. (4.157)
106 Га . 1. Равновесные состояния кулоновской системы
В предположении изотропности системы распределение для абсолютного значения напряженности электрического поля можно записать в виде
оо
W (Е) = 4nE*W (Е) = Щ- j sin {IE) х
о
X exp £ — |
(2яе£)3/*j \ d\. |
(4.158) |
Отсюда, переходя к безразмерной величине |
|
|
Р= - # - , где |
Ео = -р-, |
(4.159) |
|
'о |
|
и используя сокращенную запись v = \ Е 0, получаем формулу для распределения относительной величины напряженности электрического поля Р:
|
ОО |
= |
J ysini;exp[ —( у ) '*]dv- (4-160) |
|
о |
Это распределение для малых и больших значений Р
имеет следующие асимптотические разложения: |
|
||||
ИЧР) ~ ж Р 2 |
при |
Р-> 0 |
(4.161) |
||
ИЧР)~ |
3 |
р—5/г |
при |
Р оо. |
(4.162) |
2 |
Н |
||||
В общем случае интеграл в (4.160) должен рассчитываться численными методами.
Теория, развитая Хольтсмарком, является хорошим приближением в предельных случаях высоких температур и (или) малых плотностей. Поэтому при таких условиях любая теория, учитывающая парное взаимодействие, так же должна приводить к распределению Хольтсмарка.
Следует сделать одно замечание относительно расходи мости второго момента (Е2> для распределения (4.158). В противоположность широко распространенному мне нию, данную расходимость нельзя устранить за счет кван товомеханических поправок. Эта расходимость, как пока зал Энгельманн [16], обусловлена нефизическим предпо ложением о точечных зарядах и представляет собой принципиальный недостаток теории, применяемой для вычисления микрополей.
§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы 107
Приближение экранировки частиц
Эккер и Мюллер [15] впервые попытались учесть корре ляции для низкочастотной компоненты электрического поля, создаваемого ионами. Авторы использовали модель некоррелированного распределения ионов с экранирован ным полем. В этом приближении эффективные поля опре деляются выражением
Е = -^-г(1 + Хнг) е-киг. |
(4.163) |
Естественно, что вследствие более сложной зависимости Е от г в формуле (4.163) вычисления становятся более труд ными.
Подставляя выражение для поля (4.163) в (4.156) и используя обозначения
у = 1къ, я = иг)Г, |
(4.164) |
находим спектральную функцию распределения в виде
оо
^ ЕШ = ехр{ - 3 6 J /_sinj/E---- |
I |
|
|
|
|
' |
уВ |
|
|
|
|
Ei |
|
|
|
|
|
|
( 1 + д : ) 6 / г е - 3ж/2 |
d E |
\ |
. . |
|
Х |
1 + [1+*12 |
Р /2 |
/ ‘ |
^ |
|
Нижний предел в интеграле учитывает ограничения, налагаемые условиями применимости теории приближе ния парных корреляций, что в свою очередь ограничивает рамки применимости результатов тем, что число частиц в дебаевской сфере 6 должно подчиняться следующему условию:
6 = 6 (яге)Va г3/а > 1- |
(4.166) |
Распределение микрополей, вычисленное Хольтсмарком, и результаты, полученные в приближении экрани ровки частиц [15], приведены на фиг. 5. Как и предпола галось, результаты Хольтсмарка соответствуют случаю
6 = оо.
108 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
Влияние корреляций, учитываемое этой теорией через эффективное поле, создаваемое ионами, весьма заметно возрастает по мере того, как система приближается к кри тической плотности при уменьшении величины б.
В случае низкочастотных микроскопических полей, создаваемых ионами, введение эффективного поля, которое учитывает электронную экранировку, представляется
Ф и г . |
5. |
Распределение Хольтсмарка для микрополей в плазме |
(6 = о о ) |
и распределения, в которых учтены корреляционные по |
|
правки, |
вычисленные в приближении экранированных частиц. |
|
вполне оправданным. Однако не столь очевидно, что эф фективная ионная экранировка учитывает как раз корре ляции именно тех ионов, которые в действительности содержатся в члене выражения (4.155). Именно эти соображения и лежат в основе метода групповых разло жений Баранже и Мозера [13].
Учет корреляций ионов совместно с дебаевской экранировкой
Исследуя плазму, Баранже и Мозер [13] определили низкочастотную компоненту как среднее по времени поле, причем усреднение проводилось по интервалу, достаточно большому по сравнению со временем релаксации электрон ных флуктуаций, но малому по сравнению с характерным
§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы 109
временем ионных флуктуаций. Разность между определяе мой таким образом низкочастотной компонентой микропо ля и истинным его распределением должна, очевидно, представлять высокочастотную компоненту. Она может быть найдена с помощью соответствующих спектральных разложений истинного поля и его низкочастотной компо ненты.
Без какого-либо обоснования Барашке и Мозер в каче стве низкочастотного эффективного поля ввели экрани рованное кулоновское поле
Ej = |
(1 + х 0_гг) exp ( — хв_гг). |
(4.167) |
|
1 i |
|
Основой для подобного допущения может служить прове
денный |
нами анализ уравнения Больцмана — Пуассона |
|
на стр. |
93. При вычислении |
Барашке и Мозер предпо |
ложили, что функцию парной корреляции можно предста вить в виде
(4.168)
Здесь параметр хв учитывает экранирующий вклад как
ионов, так и электронов: |
|
*d = Kd- + иЬ+» |
(4.169) |
Из проведенного выше тщательного анализа зависимости парных корреляций от характера рассматриваемой s-кон фигурации, следует, что предположение о виде корреля ционной функции (4.168) не очень обоснованно.
Чтобы вычислить Баранже и Мозер разложили подынтегральное выражение по сферическим гармоникам. Если ввести полярные координаты и использовать соотношения ортогональности, а также хорошо извест ную теорему сложения для сферических функций, то интегрирование по углам выполняется элементарно. В результате остается бесконечная сумма двойных инте гралов, содержащих радиальную часть, причем аналити ческое вычисление даже простейшего из этих членов невозможно. К счастью, результаты расчетов на вычисли тельной машине показывают хорошую сходимость данного
р
Ф и г . 6 . Распределение микрополей, учитывающее корреляции
частиц в рамках приближения Баранже и Мозера.
|
Р |
|
|
|
|
|
Ф и г . 7. |
Сравнение распределений, полученных для микрополей |
|||||
|
в разном приближении. |
|
|
|
||
Сплошная |
кривая — распределение |
Хольтсмарка; |
штрих-пунктирная |
|||
кривая — нескорректированные результаты |
вычислений |
Баранже |
и |
Мозера; |
||
пунктирная |
кривая — скорректированные |
результаты |
Баранже |
и |
Мозера; |
|
штриховая |
кривая — распределение, |
полученное Эккером и Мюллером. |
||||
§ S. Флуктуационно-диссипационная теорема |
111 |
разложения, что позволяет получить удовлетворительное приближение уже при учете лишь первых трех членов.
Не входя в подробности численных расчетов, для изложения которых здесь нет места, приведем лишь окон чательные результаты (фиг. 6). Наряду с результатами, полученными в приближении Баранже и Мозера, на фиг. 6 представлено также распределение Хольтсмарка. Следует заметить, что приведенные кривые в действитель ности не являются теми зависимостями, которые были вычислены самими авторами, а скорректированы с учетом ошибки, допущенной при их численных расчетах [17].
На фиг. 7 для одного из значений числа частиц в де баевской сфере (б 5) представлены результаты прибли женного расчета Эккера и Мюллера и вычислений Баран же и Мозера. Обе теории дают заметные поправки к рас пределению Хольтсмарка. По сравнению с этой поправкой различие результатов обеих теорий по существу незначи тельно.
Следует также отметить, что в обоих подходах исполь зовалась модель экранированных частиц, предложенная Эккером и Фишером [18]. Однако строгого обоснования подобной модели до сих пор еще не дано.
§ 5. ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА
5.1. Вывод теоремы для общ его случая
В предыдущем параграфе мы рассмотрели распределе ние полной вероятности электрического микрополя для системы, находящейся в равновесном состоянии. Однако при изучении динамики поведения кулоновской системы, близкой к равновесию, особенно важное значение имеет другая величина, а именно распределение условной вероят ности W (Ef/Ej+x). Данная величина определяет плотность вероятности обнаружить в заданной точке значение поля Е*+х в момент времени t -f- т, если известно значение поля Е* в момент времени t. Вычислить Н (Ег/Е<+х) чрезвычайно трудно, и поэтому данная проблема до сих пор еще не решена. Решить ее пытались Чандрасекар [19] и Коган и Селидовкин [20]. Более успешными оказались попытки Ростокера [21] вычислить автокорреляционную
112 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
функцию для электрического поля, определяющего харак теристики явлений переноса в плазме. Автокорреляцион ная функция связана с распределением условной вероят ности электрического поля:
<Е() (Е/+т>= j dE j dE'E)(E'W (E/E', т). |
(5.1) |
В настоящем параграфе мы выведем флуктуационнодиссипацйонную теорему, которая в дальнейшем может послужить основой при вычислении автокорреляционной функции. Рассмотрим задачу в общем виде. Проанализиру ем поведение какой-либо системы, находящейся под воз действием внешних сил, определяемых набором обобщен ных внешних параметров A s (t), которые зависят только от времени и не связаны с фазовыми координатами г4, . . .
. ..., рдг исследуемой системы. Тогда в приближении «линейного отклика» гамильтониан системы можно запи сать следующим образом:
Н (Ра, rfe, t)= Я 0 (рй, rh) + 2 B s (рй, rft) A s (t). (5.2)
S
Здесь через Н 0 обозначен гамильтониан невозмущенной системы; коэффициенты В зависят только от фазовых коор динат Рй, rfe и не содержат явно времени t.
Сначала исследуем вопрос о том, каким образом дисси пация энергии данной системы может быть выражена через введенные выше величины. Диссипация в заданный момент времени определяется уравнением
( т г ) “ < Т Г > = ( с т г ) + 2 < ^ - в ^ - > ■ (5 -3 )
S
где угловые скобки означают усреднение по ансамблю. Применяя теорему Лиувилля и используя канонические уравнения движения, найдем, что в линейном приближе нии
<4г> = 2 |
<№. В . А .)) + 4 - 2 (В ,А .) = |
& |
S |
|
= - 2 < В ,> Л . + - * - 2 < Д‘4 ‘>- (5.4) |
$ |
S |