книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости
.pdf§ 3.6. Термореологически простые материалы |
137 |
|
G j t ) И J J t ) , |
Т — Т 0, |
|
где а = 1 , 2. Будем считать, что температурное поле ме няется всюду однородно, т. е. не зависит от координат, и обозначим соответствующие функции релаксации через
§(t, Т), где Т — абсолютная температура. Отсюда
= |
(3.58) |
Изменим независимую переменную в Ga (t) таким обра зом, чтобы
° а (0 = М 1о§0- |
(З-59) |
Основной постулат для термореологически простых ма териалов состоит в соотношении
3 a {t,T) = La [logt + $(T)\, |
(3.60) |
где функция сдвига ф(Т) подчиняется условиям
ф (Г0) = 0, |
d ^ { T ) jd T > 0. |
(3.61) |
Смысл (3.60) заключается в том, что изменения темпера туры заставляют сдвигаться вправо или влево график функции релаксации, построенный в зависимости от log t. Введем замену переменной в функции сдвига, по ложив
Ф (Л |
=1 о g% (T). |
(3.62) |
Соотношения (3.61) требуют, чтобы |
|
|
Х(Т0) = 1, |
d%( T ) ld T > 0 . |
(3.63) |
С учетом замены переменной (3.62) условие (3.60) при нимает вид
|
3 a {t,T) = La [log(i%(T))}. |
(3.64) |
||
Теперь, вспоминая уравнение |
(3.59), можно записать |
|||
(3.64) |
в форме |
|
|
|
|
а д Г ) = Оа (6), |
(3.65), |
||
где |
|
|
|
|
|
l |
= t%(T). |
|
(3.66) |
Таким |
образом,можно |
получить |
функцию |
релаксации |
138 |
|
Гл. 3. |
Термовязкоупругость |
|
S a (t, Т) |
-при |
любой |
температуре непосредственно из |
|
функции |
релаксации |
Ga (t) |
при исходной температуре |
|
Т0, заменив в |
(3.66) t |
на g1). |
Функция сдвига %(Т), опре |
|
деляемая из (3.66), характеризует основные свойства материала и в общем случае должна определяться из
экспериментов 2\ Кроме того, одна и |
та |
же функция |
сдвига %(Т) должна применяться как к |
G\, |
так и к G2, |
а также к ф в уравнении (3.48), если другие механиче ские свойства, которые можно вывести из этих, удовле творяют постулату, определяющему термореологически простой материал.
Подобные выводы можно сформулировать и в опи сании зависимости от температуры функции ползучести и комплексных модулей. Действительно, для зависящих
от температуры |
функций релаксации, определяемых че |
рез Ga (i) при |
g = fy (T ), при использовании (1.58) и |
(1.59), как можно видеть, соответствующая зависимость комплексного модуля от температуры задается как G*a [ і(оо/зс(У’) ) ] - Иначе говоря, комплексный модуль при различных температурах получается из комплексного модуля G* (іа ) при исходной температуре путем замены
ш на а/%(Т). Подобная же процедура сдвига может быть установлена и для функций ползучести.
Такой сдвиг данных, характеризующих механические свойства, параллельно осям времени или частоты имеет несколько интересных физических следствий. Вспомним (см. § 1.6), что асимптотические значения комплексного модуля при частотах, равных нулю и бесконечности,
И Зависимость (3.65) |
иногда принимают в развернутой форме |
$ a (t, Т) = (po7'o/pT)Ga (і), |
где ро и Т0 — начальные плотность и тем |
пература. Поскольку переменная £ связана со сдвигом данных вдоль оси времени, такая форма разложения для дает также сдвиг дан
ных вдоль оси Ga , вызванных изменениями температуры и плотно
сти. Как правило, эти последние эффекты малы по сравнению со сдвигом вдоль оси времени и здесь не рассматриваются. Дальнейшая информация относительно этих эффектов содержится в книге Ферри
[3.8].
2> Эмпирический вид функции сдвига %(Т) совпадает с законом Вильямса — Лангьела — Ферри. Вывод этого выражения и наложен ные на него ограничения см. в книге Ферри [3.8].
§ 3.6. Термореологически простые материалы |
139 |
в точности равны упругому модулю. Эти асимптотиче ские значения не меняются для термореологически про стого материала при гипотезе сдвига. Следовательно, гипотеза сдвига не влияет на предельный случай упру гого поведения вязкоупругого материала; она оказыва ет влияние на промежуточное поведение и на времена релаксации.
Постулат о термореологически простом поведении иногда называют также принципом температурно-вре менной суперпозиции, или методом приведенных пере менных.
Состояния с непостоянной температурой
Представляет интерес распространение только что приведенных результатов, полученных для случая зави симости механических свойств от постоянных температур ных состояний, на случай модели материала с не постоянными неоднородными температурными состоя ниями. Причиной, побудившей к проведению такого ис следования, являются возможности приложений к реше нию краевых задач термовязкоупругости. Однако это вносит кажущееся противоречие с результатами § 3.1. Следствием из теории первого порядка является то, что механические свойства зависят только от однородного поля исходной температуры Го, а зависимостью от ин финитезимальных температурных изменений пренебре гают. В данном случае предлагается ввести зависимость от абсолютной температуры. В действительности же здесь нет противоречия: это просто означает, что иссле дуемые эффекты выходят за рамки теории первого по рядка, и, следовательно, связанная теория термовязко упругости, которая учитывает зависимость механических свойств от температуры, должна быть непременно нели нейной.
Таким образом, возникает необходимость развивать общую нелинейную теорию термовязкоупругости, в кото рой наряду с сохранением обычной линеаризации соот ношения между напряжениями и деформациями вводит ся некоторая общая нелинейная зависимость от темпе ратуры. Этого можно достичь с помощью непротиворе-
140 |
Гл. 3. Термовязкоупругость |
чивой системы допущений о малости некоторых величин. Общую теорию такого типа дали Кроше и Нахди [3.4, 3.5]. Руководствуясь их работой, мы выведем здесь част ные результаты, касающиеся определяющего соотноше ния между напряжениями и деформациями без рас смотрения других переменных поля, таких, как энергия, энтропия и поток тепла, которые неизбежно должны фи гурировать в общей теории. Поступая таким образом, мы распространяем несвязанную теорию линейной тер мовязкоупругости на случай учета зависимости механи ческих свойств от температуры. История непостоянной неоднородной температуры считается известной.
Отправной точкой вывода является построение обще го нелинейного функционала, который выражает зави симость мгновенного значения напряжений от мгновен ных значений и историй деформаций и температуры. Он определяется формулой
2 (0 = Г(Е (t - s), Т(і - s), Е (0, Т (0). |
(3.67) |
s = 0 |
|
где T(t) — абсолютная температура, Е(^) — нелинейная мера деформаций, определяемая в виде
Е = E kl = 1!i(xk,Kxk, L ^k l )’ |
(3.68) |
причем Xi —Xi (t, XK), где Xi — координаты точки в де формированном состоянии, а Хк — координаты той же точки в исходном состоянии; 2 (t) означает напряжения, отвечающие нелинейной теории; здесь в качестве 2 (t)
берется тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа, опре деленный в работе [3.4]. Изотермическое определяющее соотношение, соответствующее (3.67), возьмем в виде
2 (ОІГ(0=Т. = |
<Е 0 - s). Е (0). |
(3.69) |
где Т0— некоторая фиксированная исходная темпера тура.
Допустим, что функциональное соотношение (3.67) можно обратить таким образом, что существует следу ющий функционал:
§ 3.6. Термореологически простые материалы |
141 |
Е (t) = e' (2 (і — s), Т (t — s), 2 (О, т(*)). (3.70)
s = 0
Для материала, находящегося в свободном от напряже ний состоянии, но с непостоянной историей температуры, можно записать
E(Ols=0 = l' ( 0 ,T ( t - s ) ,0 ,T ( t ) ) , |
(3.71) |
s=0 |
|
что можно выразить в виде отдельного функционала, за висящего только от температуры,
оо
Т(і)). (3.72)
При допущениях, принятых в общей теории, Кроше и Нахди [3.4] показали, что функционал в (3.72) должен выражать деформацию при нулевом напряжении как функцию мгновенной температуры, поэтому (3.72) сво- / дится к виду
со |
(3.73) |
s " ( T ( t - s ) , T(t)) = a(T (t)). |
|
s = 0 |
|
Такое поведение, при котором деформация в состоянии, свободном от напряжений, представляется как функция мгновенной температуры, отличается от самого общего типа поведения, допускаемого условиями инфинитези мальной теории, приведенными в § 3.1. Эти условия до пускают, чтобы деформация при нулевом напряжении была функцией истории температуры. В этом смысле описанный тип поведения представляет собой частный
случай поведения, допускаемого в § 3.1. |
|
|
|
Теперь разложим выражение (3.70) для |
Е (0 |
на две |
|
части |
|
|
|
г7 { Z ( t s ) , Т (t—s), 2 (0 , Т (0) = в" (T (f~ s), |
T(t)) + |
||
s= 0 |
s = 0 |
|
|
+ |
8 (2 (t—s), T (t—s), 2 (0 , |
П О ), |
(3.74) |
|
s = 0 |
|
|
где в соответствии с (3.72) нужно принять |
|
|
|
I |
(0,T (t — S ),0 ,n 0 ) = 0- |
|
(3.75) |
s«=0
'142 Гл. 3. Термовязкоупругость
Подставляя в равенство (3.74) выражения (3.70) и (3.73) для в' и в", получаем
оо
Е (0 — a(t) = в (2 (t—s), Г (t — s), S (t) 7(0). (3.76)
s— 0
Чтобы покончить с предварительными соображения* ми, нужно затронуть еще один вопрос. Введем модифицированный масштаб времени, который зависит от исто рии температуры посредством функционала вида
Ss = Y ( T (t - K ) ,s ), |
(3.77) |
Х,=0 |
|
со |
|
где у ( ) обладает следующими свойствами: |
|
X— о |
|
£SU = 0 , d y d s > 0 , q r=r. = s; |
(3.78) |
здесь Т0— некоторая постоянная исходная температура. Теперь можно ввести основную гипотезу. Допустим, что неизотермическое определяющее соотношение для напряжения определяется соответствующим изотермиче ским функционалом с заменой Е на Е — а и с модифи цированной шкалой времени, что позволяет учесть исто рию изменения температуры. Допущение о замене Е на Е — а обосновывается формулами (3.75) и (3.76) и не противоречит им. Допущение, касающееся модифициро ванного масштаба времени, диктуется сдвиговыми свой ствами, которые мы уже исследовали в связи с состоя ниями с постоянной температурой. С учетом этой гипо тезы воспользуемся изотермическим функционалом (3.69) для того, чтобы выразить неизотермический функ
ционал (3.67) в виде
Щ = Г ([Е (/ — Q — a (t —Q ], Е (і) — а (/)), (3.79)
s = 0
где U определяется из (3.77). Теперь можно установить условия, при которых функционал в (3.79) может счи таться линейным. Действительно, ситуация тождествен на той, которая получается при выводе определяющих соотношений изотермической инфинитезимальной тео
§ 3.6. Термореологически простые материалы |
143 |
рии. А именно, полагая Е ( і ) = 0 ( в ) |
и сс(^) = 0 (е ), где |
е — параметр малости, определяемый формулой |
|
8 = sup I xltK (т) — 8ІК |
|, |
Т |
|
мы можем записать (3.79) в форме, принятой в инфини тезимальной теории, путем простой модификации фор мулы (1.4) инфинитезимальной теории в соответствии с нашей основной гипотезой. Эта процедура приводит соответствующую инфинитезимальной теории формулу
(3.79) к виду
а И(0 = Giiki (0) [eÄ/ (0 — а ы (if)] +
oo
+ f [4i (t — Q — <*ki (t —Ü J (dGm (s)ids) ds’ (3.80)
0
где приняты обычные для инфинитезимальной теории обозначения напряжений и верхний предел в (1.4) из менен с t на оо для учета истории деформации до мо мента t— 0.
Здесь следует сделать одно важное замечание. За метим, что хотя мы и требуем, чтобы деформация Е(£) и деформация, вызванная изменениями температуры в свободном от напряжений состоянии а (t), имели поря док малости е, мы нигде не требовали чтобы малыми были температурные изменения по сравнению с исход ной температурой. Таким образом, формула (3.80) и яв ляется искомым определяющим соотношением инфини тезимальной теории, которое получено из нелинейной теории и в котором учитывается общая нелинейная за висимость от температуры. Далее мы приведем соотно шение (3.80) к форме, которая допускает явное отож дествление с тем типом поведения, которое мы связы вали с термореологически простыми материалами в со стояниях с постоянными температурами.
Интегрируя (3.80) по частям и используя замену пе
ременных t—£s= t, получаем |
|
a tj(t)= j Giiki (s) [ö {ekl (t ) — a kl (т))/<3т| dx; |
(3.81) |
— CO |
|
здесь использованы свойства |
выраженные зависимо |
стями (3.78), и теперь остается |
связать переменную s |
144 |
Гл. 3. Термовязкоупругость |
в (3.81) с переменной t. Чтобы получить такую связь между s и т, допустим, что функционал в (3.77) можно обратить, а это дает
со |
|
s = ß ( T ( t - l ) , t s). |
(3.82) |
% — о |
|
Для того чтобы получить некоторые частные результа ты, рассмотрим следующий частный вид равенства
(3.82):
s = ]x{T (t — b))db, |
(3.83) |
b |
|
где %— функция сдвига, такая, что |
|
d%(T )/d T > 0 и %(Го) = |
1 |
при некоторой исходной температуре Г0; предполагает ся, что Г(^)-^Го для более ранних моментов времени, достаточно отдаленных от настоящего момента. Теперь,
снова |
используя замену |
переменной t,s= i—т, на этот |
|||
раз в |
(3.83), получаем искомую |
зависимость между s |
|||
и т: |
|
/ |
Т |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
S = IX (т Ol)) dr\— I X (Т (т|))Лі. |
(3.84) |
||
Используя формулу (3.84), можно переписать |
(3.81) |
||||
так: |
|
t |
|
|
|
о И (xJ ) = |
|
|
|
||
J G m (£ —1') \д (Ч і (xh т) —аki {Хі,т)Ідх} dr, |
|||||
|
|
— со |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.85) |
|
6 = |
J Х(П*,Л1))<*11, |
6 '= J X |
(дс,,т|)) с£т|. |
(3.86) |
|
|
о |
о |
|
|
Изотропная форма зависимости (3.85) получается сразу же в следующем виде:
t |
|
Sn (xi, 0 = J Gx (I — l') (deu (xhx)ldx) dx, |
(3.87) |
§ 3.6. Термореологически простые материалы |
145 |
t
<*kk(xh t) = J Gz(l — 1') \д (ekk (х;,т)~ а (xitx))ldx\dx, (3.88)
— 00
где девиаторные компоненты определяются с помощью (1.12) и (1.13), а a(t) = а { Т (t)) представляет в общем случае нелинейное изменение объема, вызванное изме нением температуры в свободном от напряжений со стоянии.
Мы можем теперь отождествить функцию сдвига в (3.86) с функцией, которая входит в (3.66) для состоя ний с постоянными температурами. Действительно, для состояний с постоянной температурой соотношение (3.86) сводится к (3.66). Соответственно соотношения (3.85) — (3.88) дают определяющие соотношения инфинитези мальной теории для термореологически простых мате риалов. Эти формулы впервые дали Морленд и Ли [3.15]. Приведенный здесь вывод взят из работ Кроше и Нахди [3.4, 3.5] и, основываясь на нелинейной теории, вскрывает самую природу «смешанной» теории, содер жащей инфинитезимальные деформации и неинфините зимальные изменения температуры. В общей теории, развиваемой в работах [3.4, 3.5], выводится полная си стема определяющих соотношений и устанавливается со ответствующая нелинейная форма уравнения теплопро водности.
Соотношения для напряжений (3.85) — (3.88) пред ставляют собой важные определяющие зависимости, ис пользуемые для решения задач. Эти формулы не содер жат интегралов свертки, и их удобно использовать, так как время в них входит явно и неявно через £. По этой причине получена приведенная форма этих соотношений для напряжений, содержащая только %. Функция £ из
(3.86) — монотонно |
возрастающая функция времени t, |
||||
ив силу этого ее обращение можно получить в виде |
|||||
|
|
t = |
g ( X i , l ) , |
(3.89) |
|
где принято Т = Т 0, |
t < . О и предполагается, |
что при t<Z |
|||
< 0 материал находится |
в |
покое. Используя (3.89), |
|||
можно |
определить |
другую |
функцию |
деформаций |
|
л |
с помощью зависимости |
|
|||
I) |
|
||||
10-851
146 |
Гл. |
3. Термовязкоупругость |
|
|
®ij {Xi, |
fy ~ |
Л |
l) . |
(3.90) |
6ij (Xi, g (X{, l) ) — 8 |
||||
|
|
|
|
Л |
Подобным же образом определим напряжения Oij(Xi, I)
л
и а(Х{, £) с помощью соотношений
Оі](Хі, t) |
— Оц(Х{, g (Xi, |
) = |
Л |
(3.91) |
||
Oij(Xi, l) |
||||||
и |
|
|
|
Л |
|
|
a(jt;, 0 |
= |
а (Xi, g (xf, £)) |
= |
(3.92) |
||
a (x {, l) . |
||||||
С учетом формул |
(3.90) — (3.92) |
уравнения |
(3.87) и |
|||
(3.88) принимают вид |
|
|
|
|||
su (*„ iy = j' Gx (I - |
Г) (d eu{xit |
dl' |
(3.93) |
о |
|
|
|
и |
|
|
|
=]-Ga(g-r) [а[L (Xi,i')-k*i, г)]да di'. |
|||
|
|
|
(3.94) |
Соотношения (3.93) |
и (3.94) содержат теперь |
интегра |
|
лы свертки, и в силу этого ясно видно, что для решения краевых задач, касающихся термореологически простых материалов, удобно использовать интегральное преоб разование Лапласа. Однако в соответствии с обозначе
ниями (3.93) и (3.94) уравнения равновесия нужно так-
л
же выразить с помощью переменных оц{хі, I). Таким образом, уравнение Oij,j(Xj, t) -\-Fi(xi, t) — 0 принимает вид
К * £) + {д°и {хі>Ѣ)ІЩ [d%ldX]}-\-F{(.ѵр I) = 0, (3.95)
где использована зависимость (3.91). Эта более слож ная форма уравнений равновесия делает невозможным
прямое |
применение преобразования Лапласа |
по |
пере- |
менной |
л |
л |
то в |
I. Если используются переменные ві, и |
щ, |
результате получается более сложная форма соотноше ний между деформациями и перемещениями.
Из только что приведенных соображений следует, что для термореологически простых материалов в общем