![](/user_photo/_userpic.png)
книги из ГПНТБ / Гласкер, Дж. Анализ кристаллической структуры
.pdfКристаллы и дифракция |
41 |
картину, состоящую из линии. Эти линии перпенди кулярны направлению порождающей их решетки, по скольку интерференция света, рассеянного от сосед них дырок, возникает только в этом направлении. В направлении же, перпендикулярном щелям дифрак ционной решетки, никакой интерференции не возни кает; именно поэтому дифрагированный свет образует линии. На рис. 7(в) приведены сразу оба типа одно мерных решеток. Можно считать, что каждая из ли нейных решеток на рис. 7(a) и (б) действует неза висимо, и тогда на суммарной картине, показанной на рис. 7(в), наблюдается регулярный массив пятен, возникающий в результате пересечения двух набо ров линий рис. 7(a) и (б). В этом случае решетка на дифракционной картине является «обратной» по от ношению к решетке, составленной из рассеивающих объектов, как это видно на рис. 7 (г).
Рис. 6 (продолжение).
(в) Дифракция от одной щели показана как суперпозиция волн, генерируемых краями щели. Об изменении интенсивности с увеличением угла можно судить по амплитудам результирую щих воли при различных углах. Так возникает оболочка, показан ная на рис. 4, и не наблюдается никакого размножения. Предпо лагается, что расстояние от наблюдателя до щели велико по
сравнению с шириной щели. |
щелей имеет |
(г) При возникновении дифракции от двух |
|
смысл рассмотреть два эффекта: 1) изменение |
интенсивности |
с изменением угла, которое получается в результате интерферен ции волн, генерируемых внутри каждой отдельной щели, как это показано на рис. 6(в) внизу; это приводит к «оболочке»; 2) ин терференцию рассеянных при данном угле волн с волнами от соседней щели, рассеянными на тот же угол. «Размножение обо лочки» возникает при углах с усиливающей интерференцией, ко гда две результирующие волны находятся в фазе.
На диаграмме 6(в) сверху показаны только результирующие волны. Та, которая обозначена буквой А, не отклоняется и дает яркое .изображение в центре. Те же, которые обозначены бук вой С и находятся в фазе одна с другой, дают при соответствую щем угле дифракционный максимум. Волны, обозначенные че рез В, смещены в фазе примерно на 90°, и, следовательно, они частично интерферируют одна с другой. Если имеется много экви дистантно расположенных щелей, то в направлении В произойдет Почти полное уничтожение интенсивности,
Дифракционная
решетка
Дифракционная
картина
Кристаллы и дифракция |
43 |
Таким образом, наряду с уже описанной кристал лической решеткой, существующей в реальном про странстве, в кристалле имеется еще одна решетка, связанная с первой, и она очень важна для опы тов по дифракции и других вопросов физики твер дого тела. Это обратная решетка; ее определение, в терминах векторов кристаллической решетки дано в приложении 2 (стр. 189). Связь между этими двумя важными решетками особенно проста, если все фун даментальные трансляции кристаллической решетки перпендикулярны одна к другой: тогда фундаменталь ные трансляции обратной решетки параллельны тран-
Рис. 7. Схематическое представление дифракционных картин от одномерных и двумерных массивов. Связь между кристаллической и обратной решетками.
(а — в) Слева приведены негативы дифракционных решеток, справа — соответствующие дифракционные картины (именно та кие картины можно получить, если поместить дифракционную
решетку перед точечным источником света), |
а и |
Ь — векторы |
|
прямой решетки в |
кристалле (или в дифракционной решетке), |
||
а* и Ь* — векторы |
дифракционной картины. Указаны обратные |
||
соотношения между |
а и b и расстояниями |
между |
некоторыми |
рядами на дифракционной картине. Тот факт, что на рис. 7(в) интенсивность всех точек обратной решетки дифракционной кар тины одинакова, не следует считать общим)' в данном случае это произошло потому, что все рассеивающие объекты в кристалли ческой решетке (дифракционной решетке) исключительно просты — вместо каждой элементарной ячейки имеются только изотропные дырки; кроме того, дырки здесь много меньше, чем длина волны излучения, использованного в этом гипотетическом эксперименте. Именно поэтому интенсивности дифракционных максимумов не изменяются в различных направлениях и практически не зависят от угла рассеяния (который увеличивается с увеличением рас
стояния от центра картины).
(г) Указаны отношения а и b к а* и Ь*. Обратная решетка, которая в двумерном примере характеризуется параметрами а* и
Ь*, очень важна в дифракционных экспериментах. Для каждой конкретной дифракционной картины масштабный фактор К за висит от длины волны использованного излучения и от геометрии экспериментальной установки (подробности приведены в прило жении 2).
Следует обратить внимание: черные точки в левой стороне этого рисунка представляют собой дырки, на которых происходит дифракция; сама же дифракционная картина приведена справа, а черные линии на них или пятна соответствуют значительной интенсивности дифрагированного света*
44 |
Часть I |
сляциям кристаллической решетки, а длины этих трансляций обратно пропорциональны длинам соот ветствующих трансляций кристаллической решетки. Если же оси неортогональны, то подобные соотно шения уже не так просто объяснить на геометриче ской основе; двумерный пример приведен на рис. 7. Симметрия этих двух связанных решеток всегда оди накова. Как будет показано в дальнейшем, фундамен тальная важность обратной решетки в теории ди фракции от кристалла следует из того, что если струк тура размещена на данной решетке, то ее дифрак ционная картина обязательно будет размещена на решетке, обратной первоначальной.
В оптике известно положение, утверждающее, что дифракционная картина от маски с очень небольшими отверстиями в первом приближении эквивалентна картине от «негативной» маски, т. е. от массива ма лых точек, занимающих те же положения, что и дырки, так что каждая точка окружена пустым про странством. Эта эквивалентность превосходно объяс нена Фейнманом [23]. В кристалле атомные электро ны, рассеивающие рентгеновские лучи, сами могут считаться источниками вторичных лучей, подобно тому как края щелей в дифракционной решетке мож но рассматривать как источники видимого света, т. е.
между атомами в кристалле, где они размещены ре гулярно, и щелями в дифракционной решетке, если они тоже расположены регулярно, имеется явная ана логия. При дифракции от кристаллов, так же как и от щелей, интенсивности дифракционных максимумов меняются в разных направлениях, а также в зависи мости от угла рассеяния [т. е. не так, как это упро щенно показано на рис. 7(в)]. Большинство элемен тарных ячеек содержит сложный ансамбль атомов, и каждый атом имеет линейные размеры, сопоставимые с длиной волны используемого излучения. На рис. 8 приведена типичная рентгенограмма, полученная пре цессионным методом (этот метод воспроизводит не искаженную дифракционную картину). На рисунке хорошо видно значительное изменение интенсивности. Однако нетрудно усмотреть и аналогию с рис. 5, 6
![](/html/65386/283/html_nfE7GBX2Ln.FyxW/htmlconvd-SdYSv945x1.jpg)
46 |
Часть I |
ментарной ячейке. «Размноженные» области разме щены на решетке, обратной кристаллической решетке в том смысле, как это было отмечено в подписи к рис. 7 (г).
Размещение |
Дифракционная |
|
молекул |
||
картина |
||
в кристалле |
||
|
(в)
Рис. 9. Влияние различных размножений решетки на дифракцион ную картину.
Данный рисунок отражает связь между дифракционными картинами молекулы и различными регулярными размещениями таких молекул.
(а) Одна молекула.
(б) Две молекулы, расположенные рядом на горизонтальной линии; при сра.неннн (5) с (а) можно заметить аналогию с двух- н однощелевой кар
тинами рис. 6 (б).
(в) Четыре молекулы, размещенные в вершинах параллелограмма.
Кристаллы и дифракция |
47 |
Это размножение иллюстрируется рис. 9 и 10, по лученными при помощи специального оптического приспособления, которое позволяет изучать дифрак ционные картины от массивов дырок, вырезанных в
Размещение |
Дифракционная |
|
молекул в |
||
картина |
||
кристалле |
||
|
<?)
(г) Множество молекул, размещенных на горизонтальной линии (одномер
ный кристалл).
(д) Два ряда молекул, размещенных на косоугольной решетке (показаны только части рядов); при сравнении (д) и (г) снова можно заметить ана логию с картинами о г двух ног одной щели (рис. 6 (б)].
(е) Двумерный кристалл, состоящий из молекул. Показана только часть кристалла.
непрозрачном листе, ^.результате соответствующего подбора необходимой оптики удалось получить при мерно такое же эффективное отношение длины волны
![](/html/65386/283/html_nfE7GBX2Ln.FyxW/htmlconvd-SdYSv948x1.jpg)
Кристаллы и дифракция |
49 |
использованного света к размеру этих дырок, как и отношение длины волны рентгеновских лучей к раз мерам атомов. Делая дырки в непрозрачных листах, можно моделировать рентгенограммы кристаллов; разница лишь в масштабе — в одном случае дифрак ционная картина определяется расстояниями между дырками, в другом — расстояниями между атомами в кристалле.
Рис. 9 иллюстрирует связь между дифракцион ными картинами, полученными от одной «молекулы» [рис. 9(a)] и от различных регулярных размещений таких молекул. Левая часть рисунка показывает раз личные размещения молекул, правая — соответствую-
Рис. 10. Оптическая дифракционная картина от штампованной пластинки, отверстия которой похожи на скелет молекулы фталоцианина.
(а) |
Массив, использованный для получения оптической ди |
|
фракционной картины. |
от (а). |
|
(б) |
Оптическая дифракционная картина, полученная |
|
(в) |
Относительные интенсивности, полученные из |
дифрак |
ционной картины кристалла фталоцианина. Качественное сравне ние этих значений с интенсивностями соответствующих пятен оп тической дифракционной картины [см. (б)] показывает, что использованная модель удивительно хороша. Следует обратить
внимание |
на то, что интенсивности для hOl и -МИ одинаковы. |
|||||||
I |
|
Относительные |
интенсивности кристалла фталоцианина |
|
||||
7 |
6 |
0 |
2 |
7 |
0 |
6 |
0 |
0 |
6 |
25 |
52 |
45 |
а |
4 |
0 |
3 |
0 |
5 |
36 |
I |
0 |
58 |
0 |
1 |
2 |
0 |
4 |
3 |
17 |
0 |
14 |
0 |
38 |
0 |
9 |
3 |
15 |
г |
2 |
14 |
4 |
4 |
2 |
1 |
2 |
72 |
85 |
21 |
16 |
0 |
8 |
27 |
I |
1 |
61 |
0 |
64 |
30 |
2 |
2 |
I |
3 |
0 |
|
94 |
72 |
10 |
0 |
2 |
17 |
1 |
1 |
61 |
29 |
55 |
0 |
2 |
7 |
10 |
5 |
2 |
72 |
46 |
23 |
3 |
0 |
0 |
18 |
14 |
3 |
15 |
37 |
14 |
10 |
2 |
21 |
2 |
0 |
4 |
3 |
13 |
0 |
10 |
18 |
2 |
1 |
0 |
5 |
36 |
0 |
18 |
3 |
19 |
0 |
0 |
0 |
6 |
25 |
5 |
35 |
5 |
2 |
0 |
1 |
0 |
7 |
6 |
0 |
2 |
0 |
14 |
2 |
0 |
0 |
|
9 |
\ |
2 |
3 |
4 |
5 |
9 |
щ |
50 Часть /
щие дифракционные картины. Рис. 9(6) представляет собой дифракционную картину от двух «молекул», расположенных рядом (здесь показана горизонталь ная ориентация), и показывает интерференцию, воз никающую в результате взаимодействия рассеяния от двух молекул, что вполне аналогично интерференции, причиной которой является наличие двух соседних щелей [см. рис. 6(a)]. Рис. 9 ( b ) — это дифракционная картина, полученная от четырех «молекул», разме щенных в вершинах параллелограмма; здесь уже на блюдается интерференция в направлении каждой из двух осей моделируемой кристаллической решетки. Рис. 9 (г) представляет собой дифракционную картину от регулярно расположенных и размещенных на одной линии молекул, т. е. картину от одномерного кри сталла; здесь дифракционные эффекты усиливаются в направлении, параллельном направлению упорядо чения. В других же направлениях интерференция не возникает. Рис. 9(д) —это картина, полученная от двумерного кристалла таких «молекул». Нетрудно за метить сходство этой картины с прецессионной рент генограммой. Решетка дифракционной картины об ратна решетке «кристалла». Рис. 9(e) можно полу чить из рис. 9(a), просто поместив над рис. 9(a) маску с дырками, проделанными в положениях, отвечаю щих точкам обратной решетки, т. е. если рис. 9(a) «размножить» в точках обратной решетки, то полу чится рис. 9(e).
Рис. Ю(б) показывает оптическую дифракцион ную картину, полученную от дырок [рис. 10(a)], каж дая из которых имеет форму молекулы фталоцианина. Интересно отметить, что распределения интенсив ности оптической дифракционной картины и соответ ствующей картины, полученной при помощи дифрак ции рентгеновских лучей, очень близки.
Дифракция и уравнение Брэгга. Лауэ, который вместе с Фридрихом и Книппингом открыл в 1912 г. дифракцию рентгеновских лучей от кристаллов, ин терпретировал полученные дифракционные картины в терминах теории, аналогичной теории дифракции от дифракционных решеток; он только провел обобще