книги из ГПНТБ / Петровский, И. И. Электронная теория полупроводников. Введение в теорию учеб. пособие

энергетических зонах. Энергетический спектр зон со­ стоит из N дискретных уровней энергии, причем N равно числу ячеек решетки длиной L — Nc, иначе, числу атомов в кристалле, имеющем указанную длину.

Ширина п-й энергетической зоны определяется как расстояние между наибольшим и наименьшим возможны­ ми значениями энергии электрона в данной зоне. Эти гра­ ничные значения энергии можно определить из выраже­

80

(при этом (—І)" coska = —1). Тогда ширина энергетиче­ ской зоны выразится следующим образом:

Из полученного выражения следует, что ширина зоны будет тем меньше, чем меньше номер зоны п и чем боль­ ше величина К, т. е. чем сильнее связаны электроны в ячейках решетки кристалла. При /С->оо, как это видно из выражения (4.29), U7nmax—Wnmm-^0, т. е. зона вырож­ дается в отдельный дискретный уровень энергии.

Так как число уровней Л' в зоне довольно велико, а ширина зоны, как нетрудно видеть из выражения (4.29), относительно невелика, то уровни энергии в зонах распо­ лагаются весьма близко друг к другу по сравнению с ве­ личиной интервала энергии kT, соответствующего сред­ ней энергии теплового движения микрочастиц.

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ В ТРЕХМЕРНОМ КРИСТАЛЛЕ

До сих пор в настоящей главе мы рассматривали од­ номерный кристалл. Но реальные кристаллические ре­ шетки являются трехмерными, пространственными, пе­ риодическими в трех различных направлениях. Кристал­ лические решетки реальных твердых тел характеризуют­ ся так называемыми основными ячейками, представляю­ щими собой некоторые параллелепипеды с ребрами сь с2 и с3, причем ребра эти являются отрезками, соединяю­ щими некоторый данный атом кристалла с тремя ближай­ шими к нему однотипными соседними атомами, отстоя­ щими от него в трех различных направлениях. Межатом­ ные расстояния сь с2 и с3 называются постоянными ре­ шетки. В силу периодичности строения кристаллической решетки параллельным переносом ее основной ячейки можно исчерпать весь кристалл. Так, например, основной ячейкой кристалла поваренной соли можно считать куб с ребрами, равными расстояниям между соседними ионами натрия или хлора. Если из какого-либо узла решетки по­ строить вектор an= «1 ci+ Н2 С2 + Н3 С3 , где сь с2 и с3 — век­ торы, параллельные осям координат X, Y и Z и равные по величине соответствующим этим осям постоянным

кристаллической решетки, конец вектора также совпадет с узлом решетки.

Для решения задачи о состояниях электрона, находя­ щегося в трехмерном периодическом потенциальном поле решетки кристалла, надо определить волновую функциюЧг (х, у, z) из уравнения Шредингера

ДЧГ+— ^ (Ц7 — f/) ¥ = 0.

Функция 'и (X, у, г) — U (г) =U (г -\~ПуСу -ф я2с2 + я3с8), оп­ ределяющая потенциальную энергию электрона в поле ре­ шетки кристалла, периодична в пространстве с периодами

где «ь «2 , «з — любые целые числа. (В данном случае ре­ шетка предполагается кубической с периодом, равным с.)

Такая модель элемента кри­ сталлической решетки с ука­ занным видом зависимости функции U(x, у, z) от коорди­ нат X, у и 2 иллюстрируется рис. 19. Прерывистыми линия­ ми на нем изображена одна из основных ячеек кристалла. Точки 1, 2, 3, 4—узлы решетки. Области внутри решетки, где полагается 0 = 0, на рис. 19 вы­ делены жирными линиями.

Путь решения задачи тот же, что и в случае одномер­ ного кристалла. Вначале нужно найти общие решения

Чф (х, у, z) и Чф (х, у, z) уравнения Шредингера для об­ ластей кристалла, где соответственно U (х, у, z) — U0 и U (х, у, г)= 0 . Затем, из требования непрерывного пере­ хода друг в друга как самих функций Чф и Чф, так и их

82

первых производных по соответствующим координатам на границах указанных областей, а также учитывая, что в силу периодичности строения и свойств кристалличе­ ской решетки должно выполняться равенство

|¥ {х, у, z)|2 = |¥ (х — іі1с1, у — пгсг, z — п3с3)|2,

можно получить систему уравнений для определения по­ стоянных интегрирования. Из этой системы находится уравнение

связывающее энергию электрона W с тремя квантовыми числами ki, k2 и k3, каждое из которых соответствует од­ ному из направлений осей координат. Из этого уравнения при определенных условиях, сходных с условиями для случая одномерной решетки, можно выразить энергию электрона как функцию этих трех чисел: W= W (k\, k2, кз) (при этом возможно вырождение состояний, когда различным тройкам чисел k\, k2 и k3 соответствует одна и та же энергия). Зная совокупность допустимых значений чисел ki, k2 и k3, из последнего выражения можно полу­ чить спектр возможных значений энергии электрона в кристалле.

Мы не будем заниматься конкретным решением дан­ ной задачи, поскольку оно является весьма громоздким

исложным. Ограничимся лишь указанием на получаемые

впроцессе решения результаты, которые оказываются

качественно такими же, как и в случае одномерного кри­ сталла.

Спектр возможных значений энергии электронов и в трехмерном кристалле состоит из отдельных энергетиче­ ских зон. Каждая из зон, в свою очередь, состоит из ди­ скретных уровней энергии, число которых имеет порядок числа атомов в решетке кристалла. Энергетические зоны отделены друг от друга так называемыми запрещенными зонами, т. е. конечными интервалами значений энергии, которыми электроны в кристалле обладать не могут. Чем больше номер зоны, иначе, чем больше величина энергии, соответствующей, например, нижней границе зоны, тем более широкой она оказывается, т. е. тем больший интер­ вал значений энергии она содержит. При этом по мере возрастания номера зоны ширина запрещенных зон уменьшается.

В случае весьма сильной связи электрона с тем или иным атомным ядром, когда электрон оказывается лока­ лизованным у Одного из узлов кристаллической решетки, энергетические зоны, как и в случае одномерного кристал­ ла при /С->оо, вырождаются в отдельные дискретные уровни энергии. Получается картина энергетического спектра электронов в изолированном атоме.

По мере сближения отдельных атомов, в результате чего они образуют кристаллическую решетку, начинают все более существенно сказываться силы межатомного взаимодействия. При этом связь электронов со своими атомными ядрами ослабевает вследствие воздействия на них электрических полей, создаваемых соседними атома­ ми. В результате этого отдельные дискретные электрон­ ные уровни энергии, соответствующие изолированным атомам, расщепляются в энергетические зоны.

Для неограниченного кристалла спектр возможных значений энергии электронов внутри зон оказывается сплошным. Дискретность энергетического спектра для электронов внутри каждой из зон обусловливается огра­ ниченностью размеров кристалла, -которая в теории мо­

осей X, Y , Z.

В трехмерном кристалле энергетические зоны, соот­ ветствующие трем различным направлениям, по которым периодична кристаллическая решетка, могут в некоторых случаях вплотную примыкать друг к другу или же частич­ но перекрываться.

ОБЩИЙ ВИД ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ ТРЕХМЕРНОГО КРИСТАЛЛА

Не занимаясь отысканием точного, конкретного ана­ литического выражения волновой функции Д (х, у, z), описывающей состояния электронов в трехмерном кри­ сталле, ограничимся определением лишь ее общего вида, исходя из некоторых общих положений о свойствах кри­ сталлов. Знания лишь общего вида волновой функции

84

4я (x, у, z) достаточно для выяснения многих вопросов о полупроводниках.

Итак, предположим, что нам известна волновая функ­ ция 4я (х, у, г) для некоторой ячейки кристалла, решетка которого в направлении координатных осей X, Y и Z име­ ет периоды, равные соответственно сь с2 и с3. Выясним, как должен измениться вид функции 4я (х, у, z) при пере­ ходе в соответственную точку какой-либо другой ячейки кристалла.

В частности, определим, какой вид примет волновая функция 4я (X, у, г) при переходе из точки с координата­ ми (х, у, г), принадлежащей данной ячейке кристалла, в соответственную точку соседней ячейки, отстоящую от прежней точки по оси X на расстоянии, равном периоду решетки Сі. Вследствие периодичности строения кристал­ лической решетки по оси X с периодом сі условия для электронов в указанных двух точках будут тождественны, а поэтому согласно физическому смыслу волновой функ­ ции 4я должно удовлетворяться условие

I ¥ (х, У, г)\i2*4= ^ (х + сѵ у, г)\%.

Отсюда следует, что сами функции 4я (х, у, z) и 4яі (х + сі, у, г) могут отличаться друг от друга лишь фазовым мно­

Далее, если при изменении координаты х на величину периода решетки с\ волновая функция 4х (х, у, г) изменя­

ется в ё 1с' раз, то при увеличении или уменьшении х на ПіСг функция 4я (х, у, г) изменится в ё к,ПіС' раз:

4я (х + nlCl, у , г) = ё кіПіС' 4я (х, у, г).

85-

При перемещении вдоль других координатных осей волно­ вая функция будет изменяться аналогичным образом.

Следовательно, если в точке с координатами х, у, г волновая функция равна ¥ (х, у, г), то в точке с коорди­

натами X -f- П\СЪ у -(- «2 с2 > 2 + п зся волновая функция бу­

дет иметь вид

равны kx, k2, k3. Координаты точки х, у, а являются про­

.86

Конкретный вид функции / (г) = / (х, у, г) можно оп­ ределить следующим путем. Подставив выражение волно­ вой функции (4.35) в уравнение Шредингера, получим

Из этого уравнения, зная функцию і/ (х, у, z), выра­ жающую потенциальную энергию электрона в поле кри­ сталлической решетки, и задавая те или иные конкретные значения чисел k\, k2, k3, можно определить как функцию / (X, у, г), так и соответствующие ей значения энергии, если только выполняются определенные граничные усло­ вия. Очевидно, что при различных конкретных значе­ ниях чисел k\, k-2 и k-i соответствующие TIM функции /(г), а также значения энергии будут различными. Иначе го­

ются функциями трех квантовых чисел: ku k2 и й3. Если кристалл ограничен в направлениях осей координат X, Y, Z размерами L\=N\C\, L2 = N2c2, L3 — N3c3, то каждое из чисел А’ь А2, А3 может принимать конечный дискретный ряд значений, а именно:

~L T

0 < £ 3 = 2ns3 2nN3 __ 2я

где Si, s2, s3— целые числа, изменяющиеся соответствен­ но в пределах от 0 до /Ѵь N2, N3. Общий вид волновой функции ЧДг), также зависящий от этих трех чисел, сле­ дует в каждом конкретном случае записывать с указанием значений £ь &2, k3, которым соответствует ее выражение:

То же относится и к энергии того или иного состояния. Состояния электрона, находящегося в стационарном

периодическом поле трехмерной решетки кристалла, в за­ висимости от координат и времени описываются волно­

Из выражения (4.38), сравнивая его с уравнением волны де Бройля (2.4), видно, что волновая функция Ч'ь (г, t) представляет собой плоскую волну, но не с по­ стоянной, а с периодически изменяющейся амплитудой в

соответствии с периодичностью функции f к (г). Поверхности равных фаз вол­

ны, заданной уравнением (4.38), определяются условием

kr = kxx -L k2y -f k3z = const (4.39)

для какого-либо момента време­ ни t. Отсюда видно, что для лю­ бых определенных, значений век­ тора к поверхность равных фаз как геометрическое место точек с координатами х, у и г представ­

ляет собой плоскость. При этом вектор к перпендикуля­ рен к данной плоскости, т. е. совпадает с направлением распространения волны. Действительно, координаты лю­ бой точки данной плоскости, характеризуемой радиусом-

88

вектором гі(*і, уи г() (рис. 20), удовлетворяют уравне­ нию плоскости:

krj = kxxx + k^yx + k3zx = const.

Вычитая равенство (4.39) из последнего, получим

кАг = к(т г)= kx (хх— х) + (ух—у) k3 (zx— z) — 0r

т. e. скалярное произведение вектора Гі—r= Ar, лежаще­ го в плоскости равной фазы, и вектора к равно нулю, откуда и следует, что вектор к перпендикулярен к данной плоскости.

Длина волны, определяемой уравнением (4.38), как пространственный период волновой функции Ф, т. е. как расстояние, отсчитанное вдоль направления распростра­ нения волны между двумя ее точками, фазы которых отличаются на 2я, находится из условия [k(r+h)—со/] —

в рассматриваемом случае движения электрона в периоди-

89