книги из ГПНТБ / Петровский, И. И. Электронная теория полупроводников. Введение в теорию учеб. пособие

обще непропорционален волновому вектору к.) Если ввес­ ти это обозначение, то волновая функция 'F{ (г, t), описы­

вающая состояние электрона в трехмерном кристалле, может быть представлена так:

частицы лишь тем, что ее амплитуда не постоянна, а пе­ риодически модулирована множителем fk (г), являющим­ ся периодической функцией координат, периоды которой вдоль осей координат равны соответствующим постоян­ ным решетки кристалла. Физически это означает, что ве­ роятность нахождения электрона в различных точках внутри какой-либо элементарной ячейки кристалла раз­ лична, но она одинакова в соответственных точках всех элементарных ячеек, т. е. периодически повторяется при переходе из одной ячейки в другую.

СВЯЗЬ МЕЖДУ ЭНЕРГИЕЙ И ИМПУЛЬСОМ ЭЛЕКТРОНА В КРИСТАЛЛЕ

Волна с периодически изменяющейся амплитудой (4.41), описывающая состояние электрона в трехмерном кристалле, безгранична в пространстве и во времени. Электрон же в любой момент времени локализован в пространстве. ‘Движение локализованного электрона в периодическом поле кристаллической решетки, как и дви­ жение свободных частиц, может быть описано с помощью определенной группы волн (так называемого волнового пакета), построенной из волновых функций вида (4.41). В этом случае средняя скорость электрона также будет равна групповой скорости волнового пакета, описываю­ щего его движение:

90

Если учесть, что квазиимпульс р* = hk/2n, то тогда

пdk

Выражение (4.43) устанавливает связь между энергией частицы W и ее импульсом р. Из него, в частности, видно, что импульс частицы будет отличным от нуля лишь при

между энергией электрона в кристалле и его импульсом лишь для случая одномерного кристалла. Решение анало­ гичной задачи для трехмерного кристалла представляет большие математические трудности, хотя в результате ее решения ничего принципиально нового для указанной связи по сравнению со случаем одномерного кристалла не появляется.

Выше было получено выражение (4.24) для значений энер­ гии уровней п-й энергетической зоны в случае достаточно силь­ ной связи электронов с ячейками одномерной решетки. Из

~ L ~

91

равным л, sin------а меняет знак, а вместе с ним, как это

видно из выражения (4.46), меняет знак и импульс электрона. Значит, одной части состояний каждой зоны соответствуют положительные импульсы, другой — импульсы противопо­ ложного знака.

JT

= 0; sin — - = 1, энергия электрона равна Ап и соответ­

ствует середине зоны, импульс его р < 0 (в случае четной зоны) и принимает максимальное численное значение. Ког-

92

л . 3

=и; sin-^—я = — 1 , импульс электрона р > 0 и макси­

мален по величине, энергия его опять соответствует сере­ дине зоны.

Если зона нечетная, то при данных условиях импульс электрона и переменный член выражения для его энергии оказываются противоположными по знаку. Графически ход зависимости между энергией W и импульсом электро­ на р как функциями числа ka для четных и нечетных зон иллюстрируется соответственно рис. 21, а и б.

Таким образом, мы видим, что энергетическая зона как совокупность возможных состояний электронов та­ кова, что половине этих состояний соответствуют те или иные положительные импульсы, а второй половине — по­ парно равные им по величине, но отрицательные по знаку импульсы. Если в энергетической зоне содержатся элект­

93

Глава 5

ПРОВОДНИКИ, ДИЭЛЕКТРИКИ И ПОЛУПРОВОДНИКИ

СВОБОДНЫЕ И СВЯЗАННЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛЕ

Согласно представлениям классической физики разли­ чие между проводниками и диэлектриками состоит в том, что в проводниках имеются так называемые свободные электроны, способные перемещаться по всему кристаллу и под действием сил приложенного электрического поля приобретающие упорядоченную составляющую своего движения, т. е. создающие электрический ток, тогда как у диэлектриков таких свободных электронов не имеется. В классической теории считается, что только в том слу­ чае, если полная энергия электрона Wlt находящегося в периодическом поле кристаллической решетки, больше максимального значения Umax его потенциальной энер­ гии, обусловленной действием сил поля решетки, электрон является свободным. При наличии внешнего электриче­ ского поля вероятность перехода такого электрона из

ты потенциальных барьеров Umах, то такой электрон ока­ зывается связанным с ближайшим ионом кристалличе­ ской решетки и не может участвовать в процессе прохож­ дения тока по кристаллу (прямая 2 на рис. 22). Действи­ тельно, при W<Umах кинетическая энергия электрона Wk=W— U внутри барьера была бы отрицательной, что невозможно. Это значит, что электрон, энергия которого 1Е<£Лпах, не сможет преодолеть потенциальный барьер и перейти, не изменяя своей энергии, из одной ячейки кри­ сталла в другую, иными словами, вероятность такого пе­ рехода равна нулю. Внешнее электрическое поле также

95

не сможет перемещать такой электрон из ячейки в ячейку, если оно, как это обычно бывает, не в состоянии сооб­ щить ему энергию t/max—W, достаточную для преодоле­ ния потенциального барьера. Каких-либо иных случаев, иных возможностей для электронов в кристалле согласно положениям классической теории быть не может.

Рассмотрение вопроса о движении электронов в перио­ дическом поле кристаллической решетки с применением

квантовой теории показывает, что электроны, находя­ щиеся в поле решетки, могут переходить из одной ячейки кристалла в другую как при W > U max, когда они дви­ жутся выше потенциальных барьеров, так и при W<Umax, когда они как бы просачиваются сквозь барьеры, не из­ меняя своей энергии. Волновая функция 'F(r), описываю­ щая состояния электронов в кристалле, оказывается и при W< Umax отличной от нуля и периодической в пределах всего кристалла, причем каждому состоянию электрона соответствует определенная его энергия. Поэтому в соот­ ветствии с физическим смыслом волновой функции 'Р(г) оказывается, что электроны, несмотря на наличие потен­ циальных барьеров, как бы свободны, поскольку каж­ дый может находиться в любой элементарной ячейке кристалла и, значит, двигаться по всему кристаллу. В этом отношении все электроны кристалла равноправны.

Вероятность перехода различных электронов из одной ячейки кристалла в другую может иметь различное зна­ чение, заключенное между нулем и единицей, причем вероятность эта тем больше, чем больше энергия элек­ трона, чем уже и ниже область межионного барьера, рас­ положенная над уровнем энергии электрона (на рис. 22

96

эта область заштрихована). Для электронов внутренних атомных оболочек, сильно связанных со своими атомны­ ми ядрами большими силами электрического взаимодей­

на атома, весьма мал по сравнению с единицей. Следова­ тельно, вероятность нахождения такого электрона гделибо за пределами своего атома очень мала, электрон оказывается практически локализованным у одного ато­ ма, связанным и не способным принимать участие в про­ цессе электрического тока.

У валентных электронов, наоборот, силы связи с атом­ ными ядрами сравнительно невелики, квадрат модуля волновой функции І^І2 значителен во всех элементарных ячейках кристалла. Следовательно, такие электроны мо­ гут передвигаться по всему кристаллу, поскольку вероят­ ность нахождения их в различных ячейках кристалла везде значительна. При наложении электрического поля и выполнении определенных условий они способны прини­ мать участие в процессе электрического тока.

Однако различие между проводниками и диэлектри­ ками обусловливается не наличием в телах большего или меньшего числа валентных электронов (в макроучастке любого вещества их будет достаточно большое количе­ ство), а другими обстоятельствами, ограничивающими свободу движения электронов.

ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ

Для возникновения электрического тока необходимо, чтобы внешнее электрическое поле Е могло вызвать на­ правленное движение электронов вдоль его силовых ли­ ний, т. е. чтобы поле Е могло создать асимметрию распределения электронов по импульсам. Но оказывает­ ся, что нарушение симметрии распределения электронов; по импульсам не во всех кристаллических телах может быть осуществлено действием приложенного внешнего электрического поля..

Электроны в кристалле располагаются по уровням энергетических зон в соответствии с принципом Паули, так что на одном энергетическом уровне не может нахо­ диться более двух электронов, обладающих при этом противоположными направлениями опина. Число энерге­

тических уровней в каждой зоне является конечным. Это значит, что в каждой зоне может находиться лишь конеч­ ное, ограниченное число электронов.

При абсолютном нуле температуры электроны плотно заполняют наиболее низкие уровни энергии в соответ­ ствии с принципом Паули, так как при равновесии систе­ мы частиц ее энергия должна быть минимальной. При температурах, отличных от нуля, тепловое движение в не­ которых случаях может в большей или меньшей степени разрыхлять плотную «упаковку» электронов по состояни­ ям, переводя часть из них на более высокие свободные уровни энергии. В других случаях оказывается, что теп­ ловое движение не может изменить распределения элек­ тронов по состояниям, имеющего место при Г=0. Это обстоятельство позволяет нам установить природу раз­ личия между проводниками и диэлектриками. При этом

заполняется .валентными электронами и носит название зоны валентных уровней. Но если общее количество ва­ лентных электронов в кристалле меньше числа уровней этой зоны, то она оказывается заполненной электронами лишь частично: в ней будут содержаться не заполненные электронами свободные уровни энергии, расположенные весьма близко к уровням нижней части зоны с меньшей энергией, плотно заполненным электронами.

Если внешнее электрическое поле отсутствует, то рас­

нулю. Это же относится и к зонам, расположенным ниже валентной. Значит, без воздействия внешнего электриче­ ского поля направленное движение электронов, т. е. электрический ток, в кристалле не возникает. Такое за­ ключение следует из выражений (4.24) и (4.44), опреде­

98