книги из ГПНТБ / Петровский, И. И. Электронная теория полупроводников. Введение в теорию учеб. пособие

Движение электронов в полупроводнике описывается волновой функцией вида

¥ (*, у. г) = /(*, у, г) еі(^ + Ѵ + Ѵ

где k Xtx k y , k z — компоненты волнового вектора к, соот­ ветствующего заданной волне.

Электроны, эмнттировавшие из полупроводника if

оказавшиеся свободными, описываются плоскими немо­ дулированными волнами де Бройля вида

где k 0x , k 0y , k 0z — компоненты волнового вектора ко, со­ ответствующего данной волне. Энергия свободных элек­ тронов, эмиттировавших из полупроводника:

Пусть граница раздела полупроводника с вакуумом совпадает с координатной плоскостью yOz. Тогда эмис­ сия электронов из полупроводника происходит в направ­ лении координатной оси X. Вследствие того, что функ­ ция ¥ (х , у, г), описывающая состояния электронов в полупроводнике, на границе раздела полупроводника с вакуумом должна вдоль осей Y и Z непрерывно перехо­ дить в функцию ¥о(х, у, г), описывающую состояния свободных электронов, эмиттировавших из полупровод­ ника, эти функции должны обладать одинаковой пери­

170

одичностью вдоль границы раздела. Отсюда следует, что составляющие по осям У и Z волновых векторов к и к0, соответствующих волновым функциям ¥ и ¥ 0 на грани­

це раздела, т. е. в любой точке плоскости yOz, должны совпадать:

энергия электронов, эмиттировавших из полупроводни­ ка и имеющих данные значения компонент волнового вектора koy и koг, при любых значениях кох должна удов­

Выражение (8.5) является условием возможности вы­ хода из полупроводника для электронов, находящихся в состояниях, определяемых данными квантовыми числа­ ми s2 и s3, но при любых значениях числа sb

Число квантовых состояний электронов в полупро­ воднике, соответствующих значениям чисел от sb s2, s3 до si + dsu s2 + ds2, s3 + ds3, равно

(множитель 2 входит потому, что спин электронов мо­ жет быть ориентирован в двух противоположных направ­ лениях). Число электронов, находящихся в этих состоя­ ниях в единице объема полупроводника, в соответствии с функцией распределения Ферми,

L3 11

Так как компонента скорости электронов полупроводни­ ка по оси X

171

~L~

интервала состояний, падающих изнутри кристалла на еди­ ницу его поверхности, перпендикулярной к оси X, в тече­ ние 1 с,

L3 (e kT + 1)

Если коэффициент отражения электронов от пригра­ ничного потенциального барьера принять равным R *, а заряд электронов считать равным е, плотность тока эмиссии электронов из полупроводника будет равна

/ = е{\ — R) j dnx.

Здесь интегрирование производится по всем возможным состояниям электронов, способных эмиттировать из полу­ проводников, т. е. по всевозможным значениям квантовых чисел su s2 и s3. Поскольку числа s2 и s3 в данном слу­ чае могут принимать любые значения (можно считать, что

они изменяются от — оо до + оо), а ---- dsx = dW, причем dsx

возможные значения энергии W электронов, способных эмит­ тировать из полупроводника, ограничиваются условием (8.5),

Электроны, находящиеся в зоне проводимости подупро водника, представляют собой невырожденный электронный газ. Для них W — е » kT. Поэтому в подынтегральном вы­ ражении (8.9) единицей в знаменателе можно пренебречь, и тогда

* Коэффициент отражения R равен отношению числа электро­ нов, отраженных от приграничного потенциального барьера, к чис­ лу электронов, падающих изнутри на поверхность полупроводника.

172

173

Данной формулой обычно и пользуются на практике. Но входящая в нее величина е не постоянна, а зависит, как известно, от температуры, концентрации примесей, их характера, положения граничных уровней энергии в зонном энергетическом спектре и других факторов.

Полученная формула для тока эмиссии из полупро­ водника применима, когда электронный газ зоны прово­ димости является невырожденным. Однако и при этом условии формула (8.10) приблизительна, так как она по­ лучена в предположении, что состояние системы электро­ нов в кристалле является равновесным, поскольку при ее выводе мы пользовались равновесной функцией рас­ пределения Ферми. В действительности эмиссия электро­ нов из полупроводника нарушает распределение электро­ нов по состояниям у его поверхности. Кроме этого, на­ личие электрического поля у поверхности кристалла при /=7 0 также влияет на распределение электронов по со­ стояниям. Однако эти факторы нами не учитывались.

Из формулы (8.10), которой мы будем пользоваться в дальнейшем, следует, что плотность тока термоэлек­ тронной эмиссии из полупроводника зависит только от температуры и так называемой термодинамической ра­ боты выхода Wo — е, равной работе, необходимой для удаления электрона с уровня Ферми за пределы полу­

Различие работ выхода электронов из полупровод­ ников и металлов приводит к определенным изменениям состояний электронов в области контакта полупровод­ ника с металлом. А это, в свою очередь, определяет спе­ цифические электрические свойства контакта, в частно­ сти его униполярную проводимость.

Пусть металл и полупроводник (рис. 41) находятся при температуре Т в вакууме в электрическом контакте

174

друг с другом, так что их примыкающие друг к другу параллельные плоские грани хп и хм удалены одна от другой на расстояние хп — xM= d, меньшее длины элек­ тронной волны I в каждом из обоих тел (т. е. на ІО-7—ІО“8 см). Сразу, же после осуществления контакта электрическое поле в приконтактной области отсутству­ ет. Потенциальная энергия электрона вне металла и по­ лупроводника в разделяющем их промежутке 1^ом = = lFün=W'o везде одинакова и больше по величине, чем

Рис. 41

значения энергии электронов, находящихся как внутри металла, так и внутри полупроводника. Следовательно, все электроны, эмиттировавшие из полупроводника, мо­ гут попасть в металл, а электроны, эмиттировавшие из металла, могут проникнуть в полупроводник.

Вследствие термоэлектронной эмиссии из полупро­ водника на поверхность металла падают эмиттировав­ шие электроны и ежесекундно переносят на каждую еди­

где еп — уровень Ферми для полупроводника. Одновременно происходит и термоэлектронная эмис­

сия из металла. При этом будут преимущественно эмиттировать такие электроны, энергия которых до эмиссии значительно больше уровня Ферми для металла ем. По­ скольку таких электронов в металле мало по сравнению с числом состояний, соответствующих данным значени-

175

■ям энергии, к ним также можно применять полупровод­ никовую статистику, пригодную в случае невырожден­ ного электронного газа. Следовательно, электрический заряд, ежесекундно переносимый на каждую единицу поверхности полупроводника электронами, эмигрировав­ шими из металла, можно считать равным

(Заметим, что уровень Ферми в металле ем расположен выше дна его зоны проводимости, а в полупроводнике £П— ниже.) Тогда /п> / м- При данных условиях, по­ скольку потенциальный барьер на границе металла с ва­ куумом выше, чем у поверхности полупроводника, а кон­ центрация электронов на энергетических. уровнях твер­ дого тела убывает по экспоненциальному закону с возрастанием энергии уровней, превышающих уровень Ферми, из полупроводника будет эмиттировать и попа­ дать на поверхность металла большее количество элек­ тронов, чем их эмиттирует из металла. Таким образом, приконтактный слой металла, получая электронов боль­ ше, чем из него эмиттирует за этот же отрезок времени, приобретает отрицательный электрический заряд. Полу­ проводник же эмиттирует электронов больше, чем полу­ чает за то же время, и его приконтактный слой заряжа­ ется положительно. В результате как в зазоре между металлом и полупроводником, так и внутри их приконтактных слоев возникает электрическое поле, создавае­ мое указанными нескомпенсированными зарядами этих слоев. Напряженность этого при-контактного электри­ ческого поля Е направлена от полупроводника к метал­

циал приконтактНого поля возрастает с возрастанием ко-

176

ординаты X в направлении от металла к полупроводни­ ку, и на границе полупроводника с металлом х = 0 он

вению дополнительного барьера для электронов, эмиттирующих из полупроводника, равного

металл в данном случае должна быть совершена работа

Плотность же тока термоэлектронной эмиссии из метал­ ла остается неизменной, поскольку высота пригранично­ го потенциального барьера у металла не изменяется «(работа выхода из металла остается прежней).

Убывание тока термоэлектронной эмиссии из полу­ проводника вследствие препятствующего действия кон-

тактного электрического поля при постоянном токе эмиссии из металла происходит до тех пор, пока не уста­ новится стационарное динамически равновесное состоя­ ние, при котором оба тока оказываются равными, т. е.

ДѴо, остающейся далее неизменной, а высота дополни­ тельного потенциального барьера, обусловленного нали­

т. е. равна разности работ выхода из металла и полу­ проводника.

Работы выхода из металла и полупроводника при указанном динамически равновесном состоянии данной системы остаются такими же по величине, какими они были до возникновения электрического поля в области контакта. Но значение потенциальной энергии эмигри­ ровавших электронов у поверхности металла уже ока­ жется не таким, как у поверхности полупроводника за пределами контактного поля. Дело в том, что в каждой точке приконтактной области полупроводника, где суще­ ствует контактное поле, от прежнего значения потенци­ альной энергии Wо вычитается член — e V (^), обусловлен­ ный действием поля. Это приводит к снижению энергети­ ческих уровней электронов в объеме полупроводника за

178

пределами контактного поля на величину — еДУо~фоЕсли потенциальную энергию эмигрировавшего элек­ трона у поверхности металла считать по-прежнему рав- - ной Wo, то ее значение у поверхности полупроводника

откуда следует, что при динамическом равновесии си­ стемы

т. е. уровни Ферми в металле и полупроводнике стано­ вятся одинаковыми. (Это очевидно, если металл, полу­ проводник и зазор между ними рассматривать как еди­ ную электронную систему.)

Приконтактное электрическое поле налагается на по­ ле кристаллических решеток соприкасающихся тел. Но оно оказывается очень слабым по сравнению с полем решеток и не может изменить структуры энергетических зон обоих тел, находящихся в контакте (например, ши­ рины запрещенной зоны, работы выхода и т. д.). Таким образом, при контакте происходит простое наложение энергии контактного поля на неизменный энергетический спектр кристаллической решетки.

Поскольку в металле содержится большое количест­ во электронов проводимости, то относительное измене­ ние числа электронов и их суммарного отрицательного электрического заряда в приконтактном слое, вызывае­ мое переходом электронов в металл из полупроводника, невелико. Толщина слоя объемного заряда также будет мала. В полупроводнике же электронов проводимости сравнительно немного, а поэтому толщина обедненного электронами приконтактного слоя полупроводника будет намного больше, чем металла. Следовательно, и прикон­ тактное электрическое поле проникает в полупроводник гораздо глубже, чем в металл, поэтому проникновением контактного поля в металл можно пренебречь.

При отсутствии приконтактного электрического поля энергия любого из уровней энергетических зон полупро­ водника во всем кристалле, в том числе и энергия, со­ ответствующая нижней границе зоны проводимости, бу­ дет неизменной во всех точках полупроводника. Нали­ чие приконтактного электрического поля Е(х) фО, про­