книги из ГПНТБ / Петровский, И. И. Электронная теория полупроводников. Введение в теорию учеб. пособие

теплового движения между частицами тела. Поскольку различные тела отличаются друг от друга температурой вырождения, то при определенной температуре у них оказываются различными как зависимость энергии от температуры, так и теплоемкость.

КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ

Выше уже указывалось, что в металле энергия элект­ рона вследствие действия на него сил поля положитель­ ных ионов кристаллической решетки оказывается мень­ ше энергии покоящегося электрона вне металла W0. В соответствии с принципом Паули электроны в металле заполняют имеющиеся в нем уровни энергии от наинизшего, соответствующего дну потенциальной ямы и прини­ маемого условно в теории Зоммерфельда за нулевой, до уровня Ферми e.<W0 ( тепловой разброс энергии элект­ ронов вблизи уровня Ферми, имеющий величину порядка кТ, при комнатных температурах невелик, и им можно пренебречь). Таким образом, максимальное значение энергии электронов в металле s<cW0. Поэтому электроны обычно локализуются внутри металла, так как выходу их из металла препятствует потенциальный барьер высотой U70 —е> 0 . Чтобы электрон мог выйти за пределы метал­ ла, ему необходимо сообщить дополнительную энергию, достаточную для преодоления потенциального барьера на границе металла с вакуумом. Эта энергия называется работой выхода и определяется разностью между мини­

Работа выхода А затрачивается на преодоление сил, удерживающих электрон в металле, т. е. сил притяжения со стороны положительных ионов кристаллической ре­ шетки и сил отталкивания со стороны электронов, уже вышедших из металла и находящихся у его поверхности. Поскольку металлы отличаются друг от друга строением и концентрацией электронов, то у них оказываются раз­ личными положение уровня Ферми и, следовательно, ве­ личина работы выхода.

Пусть два металла, работы выхода из которых А х=

— Wo—еі и A2=W Q— 8 2 различны, находятся в электричес-

60

Глава 4

СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В ПЕРИОДИЧЕСКОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Одним из основных недостатков теории Зоммерфельда является то, что она не учитывает периодичности элект­ рического поля внутри кристаллической решетки. С точ­ ки зрения данной теории невозможно выяснить природу различия между проводниками, диэлектриками и полу­ проводниками как телами с неодинаковым характером электропроводности. Поэтому очередной задачей элект­ ронной теории твердого тела будет необходимость учета периодичности поля кристаллической решетки.

Поле ионов кристаллической решетки периодично в пространстве с периодом, равным периоду самой решет­ ки. И в данном случае взаимодействие электронов мы бу­ дем учитывать некоторым средним полем, постоянным во времени и одинаковым для всех электронов. Но это поле будем считать такой периодической функцией координат, что результирующее поле решетки остается периодичес­ ким с периодом решетки. Говоря иначе, будем считать, что электроны движутся независимо друг от друга в ста­ ционарном периодическом поле, слагающемся из перио­ дического поля ионов решетки кристалла и добавочного поля такой же периодичности, заменяющего реальное взаимодействие электронов. При этом для потенциальной энергии электронов в кристалле U(x, у, г) должно удов­ летворяться условие (в случае кубической решетки с пе­ риодом с)

U (х, у, г) = U {х + njc, у + п2с, г + п*с), (4.1)

где «ь « , «з — любые целые числа.

62

т. е. в виде произведения N волновых функций, описыва­ ющих состояния каждого из N электронов системы в от­ дельности. Это значит, что и в данном случае многоэлект­ ронная задача заменяется одноэлектронной. А функции Ч'Дхі, уи zi, t), если потенциальное поле стационарно, имеют вид

Поэтому задачу сначала будем решать для одномерного кристалла, а затем полученные результаты обобщим на трехмерный.

где п — любые целые числа, включая нуль. Этим мы за­ меняем реальный довольно сложный ход зависимости

63

U от х (на рис. 15 он изображен прерывистой линией) более простым, а именно: потенциальная энергия решет­ ки представляется периодически чередующимися потен­ циальными ямами с гладким дном шириной а, где 17 = 0, разделенными прямоугольными потенциальными барье­ рами шириной b и высотой Uо, причем а + Ь = с (с — пе­ риод решетки). Кроме этого, начало отсчета потенциаль­ ной энергии 0 мы смещаем вниз на величину Uь что

имеем право сделать, так как интерес представляет не ве­ личина U, а лишь ее изменение А U. Такой ход зависимо­ сти потенциальной энергии электрона от координаты х в среднем, с некоторым приближением, передает одно из важнейших свойств потенциального поля реальной кри­

* Рассматриваемый метод постановки и решения задачи о со­ стояниях электронов в периодическом поле носит название метода Кронига — Пенни.

64

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Найдем общие решения уравнений (4.3) и (4.4) соответ­

8л2т ■W = х2. Поскольку мы будем рассматривать толь­

¥ Зх

Тогда

сР¥

$2е*х.

dx2

66

х2. Уравнения (4.5) и (4.6) можно представить одним уравнением вида

dx

—I

или, применяя теорему о среднем, а также учитывая, что при X — / ¥ ( — = /), а при X = + / ¥ ( / ) = ¥ 2(/), получаем

Вследствие периодичности строения кристалла, тожде­ ственности его элементарных ячеек должен быть периоди­ чен с периодом решетки с и квадрат модуля волновой функции ¥ , т. е.

( W (х) J2 = I W (х —пс) \2 (п = 0, ± 1, ±2, ±3, ...), (4.13)

так как вероятности нахождения электрона в точках х и ж —пс вследствие тождественности условий для них должны быть одинаковы. В частности,

ношением

Из указанных выше граничных условий (4.10) для вол­ новых функций Ч^, Т 2, Чгз вытекает, что С + D = А + В\

Аеіѵ'а-\ Ве~іла= С1е?'а-^ Dj<f^ или, учитывая равенство (4.15),

Аеш + Вё~ш = е‘ф [CeUa~c) + De-4 *-*].

Из условия непрерывности первых производных волно­ вых функций

68

= КС,6й — kDxe~hx

dx

на границах раздела областей 1, 2 и 3 следует, что при

л — Q

КС — KD — ілА — ЫВ,

а при х=а

іѵАеІУМ— ілВё~ім = К С / а — KDxe~'*

или, учитывая равенство (4.15), из которого следует, что

КСгеХх — W 1é~Xx = eU([x CeUx~c) — KDe~Ux~c)],

получаем

ілАеІУа - ілВе~ш = еҢк Сеш ~с) -KD e~4a~c)].

Поскольку а — с — — Ь, то указанные граничные усло­ вия можно записать так:

А + В — С — D = 0;

ілА — ілВ — КС Jr KD = 0;

АеІУМ \- Ве~ІУМ— Cei(e- lb — Dei<t+U = 0;

ілАеІУМ— iy.Be~iv'a — KCeiff~xb + KDei,f+u = 0.

Граничные условия (4.16) представляют собой систе­ му четырех уравнений для нахождения четырех постоян­ ных интегрирования А, В, С и D. Так как все уравнения этой системы однородны, то она имеет отличные от нуля решения, если ее определитель равен нулю, т. е. если

69