книги из ГПНТБ / Петровский, И. И. Электронная теория полупроводников. Введение в теорию учеб. пособие

было бы брать равным не бесконечности, а значению энергии, соответствующему верхней границе зоны проводи­

и так как практически все они располагаются на наиболее низких уровнях зоны, то повышение верхнего предела ин­

Но, как известно, e~xl dx = —- . Следовательно, общее

о2

число электронов в зоне проводимости беспримесного полу­ проводника будет равно

130

Найдем теперь число дырок в зоне валентных уров­ ней рассматриваемого полупроводника. Для этого сначала определим вид функции распределения для дырок в названной зоне.

Для зоны валентных уровней, как и для зоны прово­ димости, функция распределения Ферми f(W ) равна отношению числа электронов dN{, находящихся в энер­ гетическом интервале dW, к числу уровней dZ в этом же интервале. Тогда функция

будет равна отношению числа не заполненных электро­ нами состояний, т. е. числа дырок dN2, содержащихся в энергетическом интервале dW, к числу уровней энергии dZ в этом интервале. Так как

=. =

екТ + 1

ням в интервале значений энергии, расположенном на некотором расстоянии выше уровня электрохимического потенциала е (при 1У>е), будет таким же, как и рас­ пределение дырок по уровням энергии в интервале такой же ширины, расположенном на таком же расстоя­

/+(ИД> определим теперь число дырок в зоне валентных уровней полупроводника. На основании формулы (6.8)

Если валентная зона почти целиком заполнена электро­

ражения по всем значениям энергии, соответствующим зоне валентных уровней. При этом значение dZ подставляем из выражения (6.2). Однако значение энергии для данного случая надо отсчитывать от граничного уровня W2, где импульс р для дырки равен нулю, т. е. в выражении (6.2)

вместо У W — \Ѵгр > 0 надо писать V'W2— W > 0 (дело в том, что энергия дырок возрастает при переходе от выс­ ших уровней к низшим). Итак, число дырок в зоне валент­

нижней границы зоны практически дырок содержаться не будет, и указанная замена нижнего предела интегри­

132

валентных уровней, столько в последней остается дырок. Отсюда

т. е. уровень е находится посредине запрещенной зоны (рис. 31). В этом случае

133

Также

близительно соответствуют действительности при доста­ точно низких температурах, поскольку, только при этом условии уровень г расположен примерно посредине запрещенной зоны. С повышением температуры, как это видно из выражения (6.12), уровень е медленно изменя­

полупроводника, то применять их на практике можно лишь в случаях, когда концентрация примесей очень мала и примесные уровни расположены достаточно да­ леко от границ соответствующих зон или же когда запас примесных носителей тока уже исчерпан, а температу­ ра еще сравнительно невысока.

134

ПРИМЕСНЫЙ ПОЛУПРОВОДНИК

Примесные уровни энергии, расположенные внутри запрещенной зоны энергетического спектра полупровод­ ника, существенно изменяют распределение электронов по энергиям, а также положение уровня Ферми е. Что­ бы оценить влияние примесей на эти характеристики полупроводника, для определенности рассмотрим полу­ проводник, содержащий донорные примеси.

Пусть число примесных уровней-доноров в полупро­ воднике равно z', причем соответствующая им энергия равна W , и пусть из них в зону проводимости перешло -V,<z' электронов, а ширина запрещенной зоны полу­ проводника W1 —W ^ k T . Это значит, что электроны из зоны валентных уровней в зону проводимости практиче­ ски не переходят. Предположим при этом, что электро­ нами в зоне проводимости занята лишь ничтожно малая

т. е. W — е )>> кТ, откуда следует, что вырождение отсутст­ вует.

Число электронов, находящихся на локальных примес­ ных уровнях W,

135

Действительно, в соответствии с выражением (6.15),

Ранее было получено выражение (6.7), определяющее число электронов Nlt находящихся в зоне проводимости,

при условии, что вырождение отсутствует, т. е. что при

W—B

136

Знание положения е в энергетическом спектре кристал­ ла важно для определения числа электронов, находящихся

(эта формула применима лишь при достаточно низких тем­ пературах).

Вообще же, подставляя значение е из формулы (6.18) в выражение (6.7), находим

137

N1==2 — (2лт1 k T f 2 X h3

X e

Аналогичные рассуждения при рассмотрении полу­ проводника, содержащего г" акцепторных примесных уровней с энергией W", приводят к подобному результа­ ту для числа содержащихся в нем дырок, а именно: чис­ ло дырок в зоне валентных уровней указанного полупро­ водника

A2 = 2,/S / у У (2ят+£Г)3/Ѵ 1/2е пт , (6.21)

где AH72=H7"—1^2 — расстояние от верхней границы W.2 зоны валентных уровней до акцепторных примесных уровней W", причем уровень е при низких температурах в данном случае проходит примерно посредине между верхней границей валентной зоны и уровнями-акцепто­ рами. Схема уровней энергии для дырочного полупро­ водника показана на рис. 33.

Последние формулы (6.20) и (6.21) обычно и приме­ няются для вычисления концентрации носителей тока в примесных полупроводниках.

Следует еще раз подчеркнуть, что полученные в на­ стоящей главе формулы, определяющие число носителей тока в полупроводнике, применимы только при условии,

классической статистике Максвелла — Больцмана. Так, подставляя значение е из формулы (6.18) в выражение (6.6), определяющее число электронов в зоне проводи­ мости, энергия которых заключена в пределах от значе­ ния W до значения W+dW, а также учитывая условие (6.4), находим

138

где W° = W — Wv

Мы получили известную функцию распределения частиц по энергиям Максвелла. Следовательно, для носителей тока в полупроводнике, если вырождение от­ сутствует, применима классическая статистика, но при этом нужно массу частицы заменить ее эффективной массой и энергию отсчитывать от соответствующей гра­ ницы энергетической З'Оны.

В заключение заметим, что полученные в настоящей главе выражения для количества носителей тока отно­

сятся к равновесным состояниям полупроводников, при­

139