книги из ГПНТБ / Петровский, И. И. Электронная теория полупроводников. Введение в теорию учеб. пособие

конечной в любой точке внутри кристалла, сколь угодно близкой к его границе. Но на границах с вакуумом х=0 и x= L U скачком возрастает до бесконечности. Но так как функция W(x) непрерывна, то при х->-0 или при x-> L отношение ¥ " / ¥ -^оо лишь в том случае, если при этом ¥(Х)~>0. Следовательно, ¥ (0) = ¥ (Т ) =0.

вим общее решение уравнения (2.16) в более конкретном виде. Предварительно перепишем выражение (2.18) в со­ ответствии с формулами Эйлера:

зо

ГІри х = 0 по условию (2.17) ¥ (х) = 0, откуда А + В=-0, т. е. А = —В. Тогда общее решение уравнения (2.16) при­ мет вид

¥ (х) = 2іА sin kx.

Если же X = L, то Чг (.х) также равно нулю. Следователь-

но, kL = ел, т. е. k — - j - (s = 1, 2, 3, .. .), и

Из выражения (2.21) видно, что волновые функции, описы­ вающие состояния электронов в кристалле, представляют

ность того, что в данный момент времени t координата ча­ стицы равна X (рис. 5).

В случае неограниченного кристалла описывающую его волновую функцию как решение уравнения Шредингера

■31

представляющее собой плоскую бегущую волну длиной Х=

2я = — ■с амплитудой а.

k

Принимая во внимание, что в соответствии с (2.17а)

Таким образом, уравнение (2.16) удовлетворяется не при любых значениях энергии W электроңа, а лишь тогда, когда его энергия равна одному из значений дискретного ряда, определяемого равенством (2.24). Это значит, что

32

электроны, находящиеся в потенциальной яме внутри твердого тела, могут обладать лишь квантованными, дискретными значениями энергии.

Вывод о квантовании уровней энергии электронов в твердом теле следует также из более общего, чем гранич­ ные условия (2.17), требования, которому должна удов­ летворять волновая функция ¥(Ѵ). Никакие граничные условия не возникают, если рассматривать неограничен­ ный, бесконечно длинный кристалл. Но вместо бесконеч­ ной одномерной кристаллической решетки можно рас­ сматривать замкнутую цепочку атомов конечной длины L в виде правильного многоугольника, в вершинах кото­ рого на расстоянии с друг от друга и расположены атомы. Очевидно, что такая цепочка также будет неограниченной, хотя число атомов в ней будет конечным. Но оно должно быть настолько большим, чтобы можно было пренебречь наклоном друг к другу отрезков, соединяющих какойлибо і-й атом цепочки с (і—1)-м и (і-Ы)-м, т. е. чтобы цепочка почти не отличалась от прямолинейной. Если указанная цепочка из N атомов замкнута, то в ней (іѴ+1)-й атом совпадает с первым и, вообще, (ІѴ-И)-й с i-м. Отсюда следует, что и волновая функция, описываю­ щая состояние электрона в і-й ячейке цепочки, должна совпадать с волновой функцией для (N + i)-ä ячейки.

Указанную периодичность волновой функции ¥ (х ) с периодом L — Nc можно сохранить и для бесконечной пря­ молинейной цепочки (а также для трехмерного кристал­ ла), т. е. можно считать, что

При этом длина L макроучастка решетки должна быть достаточно велика, чтобы к нему можно было применять законы статистики.

Действительно, бесконечную одномерную решетку можно считать состоящей из макроучастков конечной длины L, последовательно прилагаемых друг к другу. Если эти макроучастки находятся в одних и тех же усло­ виях, все их свойства должны быть одинаковыми, все фи­ зические характеристики должны периодически повто­ ряться с периодом L. Поэтому вполне естественно потре­ бовать, чтобы и волновая функция ¥ (х ), которой соот­ ветствуют эти характеристики, была периодической

* Эти условия называют условиями Борна — Кармана.

функцией координаты х с тем же периодом L. В самом деле, так как все свойства каждого из макроучастков ре­

друга тождественных функций, характеризующих мак­ роучасток решетки L. А это возможно лишь тогда, когда Ч'фх) =W(x + L ) . В частности, период L = Nc можно счи­ тать равным длине реального ограниченного кристалла, являющегося как бы частью бесконечной решетки.

Если представить Ч^х) и гЕ(х + І) в соответствии с найденным общим решением уравнения Шредингера (2.16), то указанное условие (2.25) примет вид

(.А + В) cos kx -f і (А —В) sin kx =

= (А -f В) cos k (x i- L) + i (A — B) sin k(x-\- L).

Отсюда следует, что величина этой разности тем больше, чем больше значение числа s и чем меньше размеры кри-

34

которого имеет величину порядка kT, не в состоянии из­ менять энергию электронов в объемах, имеющих размеры порядка атомных расстояний. Лишь когда размеры тел достаточно велики, тепловое движение способно изме­ нять энергию содержащихся в них электронов, так как в данном случае уровни энергии

35

В общем случае для тела бесконечно больших размеров, когда не требуется учитывать граничные условия (2.17), волновая функция ¥ (х, у, г) может быть представлена в виде

¥ (X, у, г) = аге1к'х ■а / кіУ ■a3eikaZ = Аеікг, (2.28)

где Л = а1й2а3, г — радиус-вектор точки с координатами х, у и z, а k (klt /г2, k3) — волновой вектор волны, описывающей состояние электрона в данном теле, обладающего опреде­

падает с волновым вектором электронной волны, соответ­ ствующей импульсу р.

Скорость частицы равна групповой скорости описыва­ ющих ее волн:

•Тогда кинетическая энергия частицы (равная в рассма­ триваемом случае полной энергии)

что и следовало ожидать.

36

чения энергии электрона в кристаллическом теле определя­ ются квантовыми числами sx, s2 и s3 из соотношения (2.31), то соответствующие им значения величины импульсов элек­ тронов

Таким образом, импульсы электронов в твердом теле также квантованы: возможны не любые, а только такие величины импульсов, которым соответствуют целочислен­ ные значения квантовых чисел Si, s2 и S3.

Импульс частицы как величина векторная определя­ ется своими компонентами по координатным осям рх, Ру и pz. Величина импульса

Р = У Р І + Р І + РІ-

Сравнив это выражение с соотношением (2.32), получим

р=V~Ä+Ä+A = Y т'Т+і+ІГ

Li

Отсюда определятся возможные значения компонент им­ пульсов электронов в кристалле:

которые оказываются также дискретными, поскольку числа si, s2 и «з могут быть только целыми.' При этом каждому состоянию соответствует одно и только одно возможное значение вектора импульса. Правда, несколь­ ким различным вырожденным состояниям могут соответ­ ствовать импульсы одинаковой величины, но направле­ ния их при этом будут различны, поскольку два различ­ ных квантовых состояния должны отличаться друг от друга хотя бы одним из трех квантовых чисел, соответст­ вующих той или иной оси координат, а этим числам про­ порциональны компоненты импульсов электронов.

В пространстве импульсов (рх, ру, pz) концы векторов импульсов электронов упираются в узлы кубической про­ странственной решетки, период которой равен h/L в лю­ бом из трех координатных направлений. Следовательно, каждой ячейке пространства импульсов с объемом h3/Lz

38

соответствует одно возможное состояние электрона с единственным определенным значением вектора импуль­ са и энергии электрона (рис. 7).

Определим теперь число возможных состояний элект­ ронов в кристалле, которым соответствуют значения энер­

ответствует определенная величина импульса р при все­

dW'

состояний в единичном интервале значений энергии, харак­ теризует собой как бы плотность заполнения состояниями оси отсчета энергии и является функцией энергии.

Число состояний в указанном сферическом слое в пространстве импульсов, которым соответствуют значе­ ния энергии от W до W+dW, мы определим, если объем слоя Q разделим на объем h3/L3 элементарной ячейки, соответствующей одному состоянию. Тогда

dZ := z (W) dW =

h3!L3

Поскольку же р = Y 2mW, то

39