книги из ГПНТБ / Петровский, И. И. Электронная теория полупроводников. Введение в теорию учеб. пособие

Глава 7

ЭЛЕКТР ОПРОВОДНОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

МЕХАНИЗМ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

По величине удельной электропроводности а полу­ проводники занимают промежуточное положение между металлами и диэлектриками. Если для металлов удель­ ная электропроводность имеет величину порядка ІО6— ІО7 Ом-1 • м '1, для диэлектриков — КН2—10~13 Ом-1 •

и ниже, то электропроводность полупроводников заклю­ чена в весьма широких пределах: от ІО4 до 10~8 Ом-1 • м_1. Но, кроме этого чисто количественного различия, полу­ проводники по своим электрическим свойствам отлича­ ются от металлов и качественно. Хотя механизм электро­ проводности у полупроводников, как и у металлов, электронный, ряд закономерностей, характеризующих электропроводность полупроводников, резко отличается

от таковых для металлов.

Так, опытом установлено, что электропроводность полупроводников очень сильно зависит от температуры, а также от состава и концентрации примесей, резко по экспоненциальному закону возрастая с повышением температуры и изменяясь на несколько порядков при введении ничтожно малых количеств примесей. У метал­ лов же зависимость электропроводности от температуры и примесей выражена сравнительно слабо, причем с по­ вышением температуры и концентрации примесей элек­ тропроводность металлов уменьшается. Кроме того, в отличие от металлов электропроводность полупроводни­ ков зависит от напряженности приложенного электриче­ ского поля, от освещения, от облучения рентгеновским и радиоактивным излучениями и от ряда других факторов.

Электропроводность полупроводников, как и всех твердых тел, определяется характером зонного энерге­ тического спектра для электронов и конкретным харак­ тером распределения их по уровням энергии. А это, в свою очередь, зависит от характера связей, объединя­ ющих атомы вещества в твердое тело и определяющих

141

структуру кристаллической решетки, а также от струк­ туры валентных электронных оболочек атомов.

У металлов зона проводимости является зоной не­ возбужденных валентных уровней, которая заполнена электронами лишь частично или перекрывается соседней незаполненной зоной, так что состояние проводимости металла является нормальным, невозбужденным. Газ электронов проводимости в металле является вырожден­ ным, так что его энергия практически не зависит от температуры. Концентрация электронов проводимости в металле также не зависит ни от температуры, ни от на­ пряженности приложенного электрического поля, по­ скольку ни поле, ни тепловое движение не в состоянии переводить электроны в зону валентных уровней из бо­ лее низких зон через запрещенную зону. Но при повы­ шении температуры возрастает интенсивность тепловых колебаний ионов кристаллической решетки, вследствие чего более часто происходят акты рассеяния электронов проводимости, что проявляется как уменьшение длины их пробега и подвижности. Увеличение концентрации примесных атомов в металле, являющихся рассеиваю­ щими центрами для электронов, тоже приводит к умень­ шению длины пробега и подвижности электронов прово­ димости. В результате этого электропроводность метал­ лов уменьшается с повышением температуры и с возрастанием концентрации примесей.

У полупроводников, в отличие от металлов, проводя­ щее состояние является возбужденным, поскольку для обеспечения их электропроводности необходимо наличие электронов в зоне проводимости или свободных дырок в зоне валентных уровней. Но для создания носителей тока обоих типов надо затратить энергию (например, за счет энергии теплового движения, энергии излучения и т. д.), необходимую для перевода электронов в зону про­ водимости или на локальные акцепторные уровни из зо­ ны валентных уровней, вследствие чего в последней появляются свободные дырки. В нормальном невозбуж­ денном состоянии при Т = 0 полупроводник, не имея ни электронов проводимости, ни дырок в валентной зоне,

тока не проводит.

Под действием сил приложенного электрического поля Е носители тока в полупроводнике приобретают в направлении действующих сил составляющие скоростей,

142

налагающиеся на их хаотическое тепловое движение, в результате чего нарушается симметрия их распределе­ ния по импульсам. Благодаря наличию упорядоченной составляющей движения носителей тока в направлении действия сил поля будет переноситься электрический за­ ряд — в полупроводнике возникает электрический ток. Дело в том, что приложенное электрическое поле способ­

соседние свободные уровни энергии в той же зоне, в ре­ зультате чего и создается асимметрия распределения электронов данной зоны по импульсам.

Носители тока в полупроводнике (электроны в зоне проводимости у ее нижней границы или дырки вблизи верхней границы зоны валентных уровней) движутся не свободно, а под действием сил периодического поля кри­ сталлической решетки. Но, как уже было показано, если электронам или дыркам приписать эффективную массу т*, то их можно считать свободными частицами, движу­ щимися под действием тех или иных внешних сил. По­ этому уравнения движения для носителей тока в кри­ сталле, если их массу считать равной эффективной массе, будут такими же, как и соответствующие уравне­ ния для свободных частиц.

Если на носители тока действует сила приложенного электрического поля f = eE, то они на длине пробега / между двумя последовательными столкновениями с пре­

143

ё*п1

причем электропроводность полупроводника а ==------- мо-

Участвуя в упорядоченном направленном движении, вызванном действием сил поля, носители тока встреча­ ются на своем пути с препятствиями и при взаимодейст­ вии с ними беспорядочно изменяют свои скорости как по величине, так и по направлению. Таким образом, препят­ ствия как бы противодействуют эффекту действия при­ ложенного поля, стремятся восстановить прежнее, суще­ ствовавшее до наложения поля, симметричное распре­ деление носителей тока по импульсам. В итоге в полупроводнике устанавливается новое стационарное распределение системы носителей тока по импульсам, характеризующееся наличием направленной составляю­ щей импульсов и тем более отличающееся от прежнего равновесного распределения, чем больше напряженность приложенного поля Е и чем меньше сказывается эффект рассеяния носителей тока вследствие взаимодействия их с препятствиями.

Конечная величина электропроводности полупровод­ ников обусловлена ограниченностью длины I свобод­ ного пробега носителей тока, что является следствием столкновений с препятствиями их направленному дви­ жению.

В идеальном кристалле со строго периодическим про­ странственным распределением неподвижных ионов в узлах решетки движение носителей тока происходило бы совершенно беспрепятственно. Ионы решетки в этом случае не могут быть центрами рассеяния носителей тока. Электроны, энергия которых меньше высоты меж­ атомных потенциальных барьеров, не связаны жестко со своими атомами, а могут проходить сквозь барьеры от атома к атому согласно известному туннельному эффек­ ту, не изменяя ни своей энергии, ни импульса. Вероят­ ность нахождения электрона в данном состоянии с данным значением энергии и определенным значением вектора скорости отлична от нуля в различных участках

144

кристалла, так как квадрат модуля волновой функции для электрона в кристалле \F(r) = f(r)eikr, равный f2(r), пе­ риодичен вдоль осей координат X, Y, Z с периодом решет­ ки. Это значит, что в идеальном кристалле со строго пе­ риодической структурой решетки электрон может бес­ препятственно, не изменяя энергии и импульса, т. е. не испытывая рассеяния, перемещаться по всему кристаллу сквозь межатомные потенциальные барьеры.

Следует указать, что электроны могут двигаться в кристалле, не изменяя своей энергии, не по любым на­ правлениям, а лишь по линиям, соединяющим структур­ но тождественные узлы решетки. Просачиваясь туннель­ ным 'переходом сквозь межатомные потенциальные барьеры, электроны по другую сторону барьеров долж­ ны оказаться на тех же уровнях энергии, на которых они

Препятствиями движению носителей тока в полупро­ воднике в том или ином направлении могут быть нару­ шения периодичности кристаллической решетки, вблизи которых изменяется структура энергетического спектра. При встрече с такими препятствиями электрон уже не сможет, не изменяя своего состояния, просочиться сквозь барьер, так как уровни энергии по обе стороны барьера будут различными. Следовательно, изменения энергии носителей тока и их скоростей могут происходить лишь при взаимодействиях носителей тока с нарушениями пе­ риодичности кристаллической решетки. Такие нарушения периодичности строения кристаллической решетки и пе­ риодичности ее потенциального поля, проявляющиеся как рассеивающие центры для носителей тока, обычно возникают в местах, где находятся примесные атомы и другие дефекты решетки, искажающие ее потенциальное поле в своих окрестностях. Тепловые колебания ионов решетки также нарушают ее периодичность и периодич­ ность ее поля, что вызывает рассеяние носителей тока. Взаимодействие носителей тока между собой тоже мо­ жет быть причиной их рассеяния. Этот фактор играет не­ значительную роль в механизме рассеяния носителей тока, и мы его учитывать в дальнейшем не будем.

К такому же результату приводит и волновая точказрения на природу электронных процессов в полупровод­ никах. Движение электрона в кристалле, как движение свободной частицы с эффективной массой т*, описыва­ ется плоской волной де Бройля, длина которой

тем больше, чем меньше энергия описываемой ею части­ цы (напомним, что энергию следует отсчитывать от гра­ ницы зоны). Так, при комнатной температуре средняя энергия электронов электронного газа в металле, являю-

•3 щегося сильно вырожденным, примерно равна -g -e«

«г5—б эВ. Система же электронов проводимости полу­ проводника при комнатной температуре является невы­ рожденной системой, к которой применима классическая статистика. Поэтому средняя энергия электронов прово­

димости полупроводника согласно представлениям клас- 3

сической теории р а в н а k T ^ 0,03 эВ. Отсюда (если эф­

фективную массу электрона заменить массой свобод­

МѴ2т№к К 2 .9 ,Ы 0 -81-5.1,6.КГ1в

При этом условии длина волны, описывающей движение электрона в зоне проводимости полупроводника,

т. е. более чем на порядок величины' превышает длину волны, сопоставляемой электрону в металле.

Рассеяние электронов при их взаимодействии с нару­ шениями периодичности кристаллической решетки в вол­ новой теории трактуется как рассеяние электронных волн на этих нарушениях. Но для эффективного рассея­ ния волн нарушения периодичности решетки должны иметь размеры порядка длины волны Я, во всяком случае не меньше Я/4. Неоднородности с размерами, намного меньшими Я, не вызывают заметного рассеяния волн, как бы обтекающих их.

146

Так, пусть волна достигает неоднородности, имеющей размеры ?і/4, которую мы представим в виде плоскопа­ раллельной пластинки, расположенной перпендикулярно к направлению распространения волны. Достигнув неод­ нородности, волна отразится от ее передней и задней поверхностей. Так как при отражении от одной из по­ верхностей теряется полволны, то разность хода двух волн, отраженных от передней и задней границ неодно-

Я Я

родности, А = 2—-j— =%. Сдвиг фаз волн, соответствую­

щий данной разности хода, равен 2я. Поэтому отражен­ ные волны, интерферируя между собой, усиливают друг друга. Следовательно, результирующая отраженная вол­ на будет иметь значительную амплитуду, что соответст­ вует большой вероятности отклонения электрона при взаимодействии с неоднородностью от первоначального направления движения. Если же размеры неоднородно­ сти очень малы по сравнению с длиной волны, то раз­ ность хода волн, отраженных от передней и задней ее границ, близка к Х/2, а соответствующий ей сдвиг фаз близок к я. Такие волны в результате интерференции взаимно гасят друг друга. В данном случае результи­ рующая отраженная волна не возникает, падающая волна проходит сквозь неоднородность, т. е. электрон, описываемый волной, не испытывает отклонения от пер­ воначального направления движения. Следовательно, неоднородности, имеющие малые размеры по сравнению с длиной волны, описывающей движение электронов, не вызывают их рассеяния.

сильно рассеиваются на неоднородностях, имеющих размеры порядка ІО-8 см, т. е. порядка атомных разме­ ров. Но для заметного рассеяния носителей тока в полу­ проводниках, поскольку длина описывающих их волн на

меры неоднородностей, вызываемых примесями и тепло­ выми колебаниями ионов решетки. Это значит, что непо­ движные регулярные атомы в узлах решетки кристалла не препятствуют движению электронов проводимости в полупроводниках, не являются центрами их рассеяния.

Рассеяние электронов в полупроводниках происходит лишь на нарушениях периодичности кристаллической решетки. Эти нарушения вызываются примесями и теп­ ловым движением ионов решетки.

Рассеянием электронов проводимости на нарушениях периодичности кристаллической решетки и обусловлива­ ется ограниченность их подвижности и величины элек­ тропроводности полупроводников.

Ввиду сложности и многообразия электронных про­ цессов в полупроводниках единой строгой теории их электропроводности, охватывающей все разновидности полупроводников и учитывающей влияние всевозможных факторов на ее величину и тип, еще не создано. Поэтому мы здесь ограничимся приблизительным рассмотрением отдельных примеров, наиболее часто встречающихся в практике.

В общем случае в полупроводнике может содержать­ ся несколько различных видов носителей тока. Ими мо­ гут быть электроны зоны проводимости, перешедшие туда из зоны валентных уровней или с локальных при­ месных уровней энергии, а также дырки зоны валентных уровней, созданные там в результате перехода электро­ нов в зону проводимости или на локальные уровни энер­ гии. Тогда удельная электропроводность полупроводни­ ка выразится так:

Отметим, что эта сумма арифметическая, поскольку носители тока с зарядами противоположных знаков об­ ладают и противоположно направленными подвижно­ стями в заданном электрическом поле, так что произве­ дения вида вкЫк всегда оказываются положительными. Электроны и дырки под действием сил приложенного поля движутся в противоположные стороны, но при этом переносят противоположные по знаку заряды. Значит, общий ток как суммарный заряд определенного знака, переносимый в единицу времени через поперечное сече­ ние полупроводника в определенном направлении, будет равен арифметической сумме токов, создаваемых носите­ лями различных видов.

Из формулы (7.4) видно, что электропроводность по­ лупроводника может изменить свою величину лишь при

148

изменении концентрации или подвижности носителей тока. Поэтому выясним, как температура влияет на по­ движность и концентрацию носителей тока в отдель­ ности.

ЗАВИСИМОСТЬ п о д в и ж н о с т и НОСИТЕЛЕЙ ТОКА ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ

Подвижность носителей тока и = ------- с изменени- 2 т*ѵ

ем температуры может изменяться потому, что средняя скорость теплового движения _носителей тока в полупро­

водниках пропорциональна і 'Т, так как газ носителей тока в полупроводниках является невырожденным и под­ чиняется законам классической статистики Максвелла.

Далее, с изменением температуры меняется длина свободного пробега I носителей тока, а вследствие этого и подвижность их. На длину пробега носителей тока решающее влияние оказывает их рассеяние на наруше­ ниях периодичности кристаллической решетки. Чем больше на единице длины решетки содержится наруше­ ний ее периодичности,, тем чаще будут с ними встречать­ ся носители тока, тем сильнее будет их рассеяние и тем меньшими окажутся длина пробега и, следовательно, по­ движность носителей тока.

При рассеянии носителей тока на тепловых колеба­ ниях решетки число актов рассеяния в единицу времени должно быть пропорционально поперечному сечению объ­ ема, занимаемого колеблющимся ионом решетки, т. е. квадрату амплитуды его колебаний. Но квадрат ампли­ туды тепловых колебаний частицы, которому про­ порциональна средняя энергия ее теплового движения, пропорционален температуре Т. Значит, число актов гі теплового рассеяния носителей тока в единицу времени также пропорционально температуре. Но чем чаще осу­ ществляются на данной длине пути носителя тока акты

рассеяния, тем меньшей будет длина его пробега l= vjz\. Поэтому можно считать, что длина пробега носителей тока обратно пропорциональна температуре. Тогда, по­ скольку средняя скорость теплового движения носителей

149-