книги из ГПНТБ / Петровский, И. И. Электронная теория полупроводников. Введение в теорию учеб. пособие

волны, описывающей движущийся электрон, равный квадрату ее амплитуды, должен быть отличен от нуля в; тот или иной момент времени лишь в некотором неболь­ шом участке пространства, в котором в данный момент времени находится описываемая волной частица.

Указанное условие может быть достигнуто, если дви­ жущейся частице сопоставить не одну волну, а группу монохроматических плоских волн с различными длинами k = 2n,ik и различными частотами колебаний ѵ. При этом длины волн %и частоты ѵ должны быть подобраны так, чтобы амплитуда результирующей волны, получаемой в результате суперпозиции волн, составляющих группу, бы­ ла равной нулю везде, кроме той области пространства, где в соответствующий момент времени находится части­ ца, описываемая этой группой волн. Скорость распро­ странения того участка группы волн, где результирующая амплитуда отлична от нуля, оказывается равной скорости: движения частицы.

Так, рассмотрим группу плоских монохроматических волн вида

= а (k) cos [со (k) t — kx\,

распространяющихся вдоль направления х, для которых волновой вектор к непрерывно изменяется в интервале от ko—Ak до ko+Ak. Для волн с неодинаковыми значениями іг их амплитуды a(k) и частоты (£>(k) различны, но при непрерывном изменении k они также изменяются непре­ рывно. Результирующая волна, получаемая при суперпо­ зиции волн группы, определяется из выражения

20

В этом случае результирующий процесс запишется так:

feo+Afe

Полученный процесс можно рассматривать как плоскую

распространяющуюся вдоль направления х. Однако это уже не монохроматическая волна, поскольку ее амплитуда

причем в данном случае роль аргумента z играет величина

dk Jo

Максимальное значение, равное 2а0Д&, результирующая

зультирующая амплитуда волны обращаются в нуль. После* дующие максимумы результирующей амплитуды, как и фун-

sin 2

кции ------ , достигаемые при значениях 2 , превышающих по

2

величине л, настолько малы по сравнению с первым макси­ мумом, достигаемым при 2 = 0, что их можно не учитывать и считать результирующую амплитуду отличной от нуля

21

ются из условия

Так учитывается локализованность частицы в прострайстве, поскольку в соответствии с физическим смыслом волн де Бройля частица не может находиться там, где амплитуда описывающей ее волны равна нулю (рис. 2).

Скорость Угр перемещения точки результирующей волны, которой соответствует максимальная амплитуда (так называемая групповая скорость), т. е. точки, где вероятнее всего находится частица, описываемая волной, найдется из условия

t — X — const,

о

Дифференцируя данное равенство по времени, получаем

\

Скорость V свободной частицы, описываемой волной, на­ ходится из условия, что изменение ее энергии dW равно работе dA внешних сил / на пути ds:

dW = dA = fds = — ds — vdp, dt

вается равной групповой скорости описывающей ее резуль­ тирующей волны.

ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

Более точное приближение к действительности, чем классическая теория Друде — Лоренца, дает решение за­ дачи о состояниях и свойствах систем электронов в кри­ сталлических телах при условии учета волновых свойств, присущих электронам, находящимся в силовом поле кри­ сталлической решетки, в такой же мере, как и свободным электронам или электронам изолированных атомов.

Одной из основных задач квантовой электронной тео­ рии твердого тела является построение энергетического спектра (т. е. нахождение возможных значений энергии) для электронов, содержащихся в данном теле. Зная структуру этого спектра, можно определить все основные свойства кристалла. Кристаллическое тело в данном слу­ чае представляется как система взаимодействующих электронов, движущихся в поле положительных ионов, которые совершают тепловые колебания около узлов кри­ сталлической решетки как около центров равновесия. По­ ведение t-ro электрона системы описывается в квантовой теории волновой функцией Ч-, (х{, уіг z{, t), являющейся функцией координат электрона Хі, у{, Zi и времени t.

Если считать, что ионы решетки кристалла жестко за­ креплены в ее узлах, являющихся средними по времени

23

может быть, вообще говоря, найдена из уравнения Шредин­ гера для і-го электрона:

где Ut = UJ -f- UJ — потенциальная энергия t-го электрона, слагающаяся из энергии взаимодействия его с ионами ре­

шетки U f и энергии взаимодействия с остальными электро­

нами кристалла UJ.

Отметим, что уравнение (2.10) имеет такой же вид, как и соответствующее уравнение (2.5) для свободной ' частицы, поскольку здесь величина Wi— Ui также явля­ ется кинетической энергией электрона. Квадрат модуля волновой функции г (хі, уи Zi) равен вероятности

того, что электрон находится в месте, определяемом ко­ ординатами Хі, уі, Zi:

Таким образом, состояние электрона в квантовой теории описывается не заданием его трех координат и трех ком­ понент импульса как функций времени, как это делается в классической механике, а волновой функцией ѴР,-, имею­ щей вероятностный смысл и являющейся функцией коор­ динат и времени, что учитывает волновые свойства элек­

тронов.

Состояние системы N электронов в кристаллическом теле определяется квантовой теорией с помощью волно­ вой функции координат всех электронов системы и вре­ мени:

^Уі’ ^l’ Х2’ Уі’ ^i’ • • ' ’ ХҢ’ У,\’ ^jV> О-

Поскольку и в данном случае волновая функция Ч*1тако­ ва, что Ч^К * есть вероятность того, что одновременно каждый t-й электрон системы имеет координаты Хі, yt и гг-, а вероятность нескольких одновременных независимых событий равна произведению вероятностей каждого из

.24

этих событий, то естественно положить, что

хотя это не вполне правомерно, так как электроны взаи­ модействуют между собой, а в данном случае это взаимо­ действие игнорируется.

Если поле ионов кристаллической решетки считать ста­ ционарным, то каждую из волновых функций ¥ г (хь у ь гь t) можно найти, определив {хь у ь zt) из уравнения Шредин­ гера (2.10) и затем умножив решение этого уравнения на

-

временной множитель е п Однако решение этой задачи в общем случае, при рас­

смотрении реальных полей и межчастичных взаимодей­ ствий в кристалле, весьма сложно и до сих пор не най­ дено. Полученные приближенные решения, являющиеся лишь частными случаями этой общей задачи, были най­ дены только после того, как она была так или иначе упро­ щена введением ряда различных схематизаций.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ЗОММЕРФЕЛЬДА

В качестве первого приближения рассмотрим решение задачи о состояниях электронов в кристаллическом теле, даваемое теорией Зоммерфельда.

Каждый электрон в кристалле находится в потенци­ альном силовом поле, состоящем из поля ионов кристал­ лической решетки и поля всех остальных электронов. Потенциал поля положительных ионов решетки кристал­ ла является периодической функцией координат с перио­ дом решетки. Поле взаимодействующих электронов вследствие их беспрерывного движения переменно в про­ странстве и времени. Однако в теории Зоммерфельда взаимодействие электронов учитывается некоторым сред­ ним полем, не изменяющимся с течением времени. Тогда энергия любого из электронов системы, находящегося в поле остальных электронов кристалла, будет одной и той же функцией координат для всех электронов. В таком

25

случае движение каждого электрона в кристалле можно считать независимым от остальных электронов. А тогда волновая функция V для системы всех электронов, содер­ жащихся в кристалле, как уже указывалось, представима в виде

Ѵ = П*V* (хи уи zu t). i=i

В теории Зоммерфельда указанное среднее поле взаи­ модействующих электронов считается как раз таким, что, налагаясь на поле ионов решетки, оно полностью компен­ сирует периодические изменения его потенциала/ Таким образом, потенциальная энергия любого из электронов в кристалле, если вне кристалла считать ее равной нулю,

будет

U = — U0 — — еѴ = const < О

(здесь V =const>0 — потенциал результирующего поля в кристалле), т. е. будет отрицательна и одинакова для всех электронов, находящихся в любом месте кристалла. Только у границ твердого тела с вакуумом потенциальная энергия скачком изменяется от значения — £/<><0 до нуля. Иными словами, все электроны кристалла находят­ ся в потенциальной яме глубиной UQ с гладким дном и вертикальными стенками.

Если кинетическая энергия электрона в кристалле < \и0\, что обычно и имеет место, то его полная энергия

W =*WK+ U = WK— Uo< 0

(заметим, что для электрона, находящегося вне твердого тела, всегда 0, причем W = 0 лишь для покоящегося электрона). Такой электрон оказывается запертым в по­ тенциальной яме: он не может выйти за пределы тела, так как не в состоянии преодолеть потенциальный барь­ ер, существующий у его границ, высота которого А равна разности между минимальной энергией электрона вне кристалла (принимаемой за нуль) и его энергией внутри кристалла, т. е.

A = \U0\ ~ W K.

Сказанное иллюстрируется рис. 3, где по оси абсцисс от­ кладывается расстояние г от границы кристалла г= 0 внутри его, а по оси ординат — значения энергии элек­ трона W.

26

При указанных предположениях для любого из элек­ тронов кристалла применимо одно и то же уравнение Шредингера

поскольку в нем член t/ = —£/0 = const один и тот же для

Сократив данное равенство на 'РіЧѴР'з и представив ве­ личины f/=const и U7=COnst соответственно в виде суммы

трех функций поочередно одной из трех переменных

X, у и z:

27

Yj = 'Fj (xt) I. Но если сумма трех функций вида F{x, у, г) —

= X (х) + Y (у) + Z (г) = const есть постоянная величина при любых значениях переменных х, у и z (в рассматрива­

Решив уравнение (2.15) сначала в одномерном случае и составив всевозможные комбинации произведений най­ денных решений для различных координат, получим ре­ шение задачи для трехмерного кристалла. Заметим, что мы будем рассматривать лишь случай, когда электроны

28

лов в кристалле обычно намного меньше энергии свобод­ ного покоящегося электрона, т. е. глубины потенциальной ямы, результат решения задачи практически не изменит­ ся, если будем считать, что на границах тела потенциаль­ ная энергия скачком изменяется от нуля до бесконечнос­ ти (рис. 4). Тогда вне кристалла, очевидно, ¥(л;) =0, так как невозможен выход электрона из потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками. А для области значений координаты X внутри кристалла, поскольку, там U= 0, уравнение Шредингера принимает вид

причем W будет полной энергией электрона, потому что при равенстве нулю потенциальной энергии полная энер­ гия равна кинетической.

РЕШЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ЗОММЕРФЕЛЬДА

Найдем решение уравнения Шредингера (2.16) для одномерного кристалла, длина которого вдоль оси X равна L. Иными словами, найдем из этого уравнения функцию ¥ ( \ ) для области значений х от х = 0 до x = L, а также собственные значения энергии W электрона, при

которых уравнение (2.16) удовлетворяет граничным условиям

Граничные условия (2.17) следуют из того, что функция ¥ ( \ ) по своему физическому смыслу должна быть везде непрерывной и конечной величиной. Так, ¥ (x )¥ * (x ) есть вероятность нахождения электрона на расстоянии х от начала координат, т. е. величина конечная. Значит, и функция ¥ (х ) везде конечна. А так как при бесконечно малом варьировании координаты частицы х, если все про­ чие условия неизменны, вероятность ее нахождения в данном месте внутри кристалла изменяется весьма мало, то отсюда вытекает, что функция ¥ (х ) непрерывна. Впро­ чем, непрерывность функции ¥ f х) и ее первой производ­ ной следует из самого вида уравнения Шредингера, в ко­ торое входит вторая производная функции ¥(А) по х.

29