книги из ГПНТБ / Петровский, И. И. Электронная теория полупроводников. Введение в теорию учеб. пособие

щимся в нем уровням энергии. Так, число электронов,, расположенных на уровнях энергии в энергетическом ин­

(множитель 2 вводится здесь потому, что на каждом, уровне может находиться не по одному, как это предпо­ лагалось ранее, при выводе формулы для функции рас­ пределения f(W), а по два электрона). Число же электро­

6

Однако конкретное решение данной задачи в общем случае, при произвольных условиях, не может быть полу­ чено в конечном виде из-за математических трудностей,, а также вследствие того, что величина уровня Ферми в общем случае неизвестна *. Поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь некоторых частных случаев.

Значит, при абсолютном нуле температуры все энерге­ тические уровни, которым соответствует энергия И7-<е, заполнены электронами в соответствии с принципом Паули. Уровни же, для которых W>e, оказываются все свободными. При 1У=е функция f(W) претерпевает раз­ рыв непрерывности, причем / (е) = 1/2.

Такое распределение электронов по уровням энергии вполне понятно: при равновесии системы электронов,

* Величина е может быть найдена из условия 2 j f ( W ) z ( W ) d W =

о

= N, если известно число всех электронов системы N. Но при под­ становке значений f(W) и z( W) интеграл в общем случае не берется в конечном виде.

50

когда Т —0, ими заполняются все уровни с наименьшей энергией в соответствии с принципом Паули. При этом N электронов заполняет NJ2 наинизших уровней, а более высокие уровни остаются свободными.

Число электронов, занимающих уровни энергии в ин­

где п = N/L? —концентрация электронов в данном теле. Величина е имеет значение порядка нескольких электронвольт, но не одинаковое для различных веществ.

Средняя энергия электронов при Т = 0 равна

Величина средней энергии электронов для различных, веществ при 7 = 0 оказывается равной 4—6 эВ. Таким об­

разом, при абсолютном нуле температуры средняя энер­ гия электронов в твердом теле отлична от нуля, что про­ тиворечит классической теории. Этот результат стано­ вится очевидным, если иметь в виду, что энергия каждого из электронов, кроме двух, занимающих наинизший ну­ левой уровень энергии, при 7= 0 также отлична от нуля, как это следует из принципа Паули.

Полная энергия всех N. электронов, содержащихся в-

ны энергии W при 7 = 0. Видно, что обе кривые при W = e

52

или для единицы объема кристалла, когда N/L3 = п,

п_ 4я (2тг)3/2

Отсюда

_ / Зп у /3 /г2

\ 8л / 2т

т. е. мы получили то же выражение для е, что и ранее. Рассмотренный случай является вырожденным, так

как все электронные состояния, сплошь заполняющие об­ ласть значений энергии от 1F=0 до 1F = E, заполнены электронами (там f(lF) = l), а обмен состояниями между какими-либо электронами внутри этой области не изме­ няет общего состояния системы электронов в целом и ее энергии.

С л у ч а й , к о г д а т е м п е р а т у р а д о с т а т о ч н о н и з к а

Рассмотрим ход функции распределения /(IF), когда температура отлична от нуля, но настолько низка, что

lF = e, где / (е) = 1 /2. Но чем выше температура, тем при больших значениях разности |\F—е| как при \F < e, так и

53

при W^>e функция f(W) начинает существенно отли­ чаться соответственно -от единицы и от нуля.

При температурах, отличных от нуля, плотная «упа­ ковка» электронов в ячейках сферы пространства импуль­

сов радиуса рЕ=К2/ивразрыхляется. Внутри этой сферы появляются не заполненные электронами состояния, так как электроны занимают состояния, находящиеся вне указанной сферы. Причем таких состояний тем больше, чем выше температура. Разрыхление «упаковки» элект­ ронов в ячейках пространства импульсов при темпера­ турах, отличных от нуля, происходит вследствие теплово­ го движения и обмена энергией между частицами, вхо­ дящими в состав тела.

Кривые f(W) и N(W) идут, не претерпевая разрыва, ,тем более полого, чем выше температура. На рис. 10 и 11 эти кривые изображены прерывистыми линиями.

Если никакие внешние факторы не действуют, то сим­ метрия распределения электронов по импульсам при тем­ пературах, отличных от нуля, в среднем сохраняется, как и при Т = 0, вследствие хаотичности теплового движе­ ния электронов. Если какой-либо электрон обладает им­ пульсом +р, то всегда найдется в системе другой элект­ рон, обладающий импульсом —р. Таким образом, в ре­ зультате одного лишь повышения температуры асиммет­ рия распределения электронов по импульсам не созда­ ется, т. е. электрический ток не возникает. Для создания электрического тока в металле необходимо воздействие на электроны приложенного внешнего электрического поля, вызывающего возникновение упорядоченной состав­ ляющей их импульсов, направленной вдоль линий сил поля.

При комнатной температуре средняя энергия тепло­ вого движения электронов ет~&іг~0,03 эВ. Среднее же значение полной энергии электронов имеет величину по­ рядка 5—6 эВ, причем электронами заполнены почти все уровни энергии до значения е«8ч -9 эВ.

Поэтому в соответствии с принципом Паули на сво­ бодные более высокие уровни энергии вследствие тепло­ вого движения могут перейти лишь электроны с энерги­ ей W^tE—-ет, т. е. электроны, находящиеся в верхнем слое заполненных энергетических уровней шириной око­ ло 0,03 эВ. В таком же слое выше уровня Ферми будут находиться электроны, обладающие избыточной энерги­

51

ей, полученной в результате теплового обмена. Осталь­ ные электроны (97—98% от общего их числа) распреде­ ляются по уровням так же, как и при 7=0. Следователь­ но, при комнатной температуре, как и при 7 = 0, элект­ ронный газ металла остается таким же вырожденным, так что его энергия почти,не зависит от температуры.

НЕВЫРОЖДЕННЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ

Рассмотрим теперь такой предельный случай, когда электронный газ в теле не является вырожденным. Усло­ вие вырождения e^>kT означает, что уровень Ферми е расположен значительно выше наинизшего (принимае­ мого условно за нулевой) из возможных уровней энергии электрона рассматриваемой системы. А условие отсутст­ вия вырождения электронного газа заключается в том, что уровень Ферми расположен значительно ниже ну­ левого уровня энергии электрона. Математически это условие выразится так:

Величину е для данного случая можно определить из уело-

00

вия, что число всех электронов системы N = 2 J f(W)z(W)dW

о

известно. Подставляя в подынтегральное выражение значе­ ния / (№) и z (№), из формул (3.24) и (2.35) получаем

55

В результате интегрирования оказывается, что

2 (2яm k T f 2

а число электронов, обладающих энергией в интервале зна­ чений dW,

V я {kT)3/2

Полученное выражение есть не что иное, как классиче­ ское максвелловское распределение частиц системы по энергиям.

Следовательно, если электронный газ не вырожден, то результаты применения к нему как квантовой стати­ стики Ферми — Дирака, так и классической статистики Максвелла оказываются практически одними и теми же, т. е. к невырожденному электронному газу можно при­ менять классическую статистику. ,

Если в условие отсутствия вырождения — е я kT или

.56

Отсюда видно, что система частиц будет невырожден­ ной, если содержащееся в ней число частиц п достаточно мало, а их масса т и температура Т достаточно велики.

Обычный молекулярный газ удовлетворяет этому по­ ложению при нормальных условиях, поскольку масса молекул газа сравнительно велика, а число их в единице объема достаточно мало. Поэтому к нему и применяется классическая статистика.

Но к электронам в металлах следует применять кван­ товую статистику Ферми—Дирака, так как масса элект­ ронов чрезвычайно мала, а число их в единице объема сравнительно велико, и электронный газ в металлах при нормальных условиях является вырожденным. Лишь при температуре в несколько десятков тысяч градусов и выше система электронов металла оказывается невырожден­ ной и к ней можно применять классическую статистику. (Но при такой высокой температуре металл уже не будет твердым телом.)

К электронам проводимости в полупроводниках, не­ смотря на то, что их масса мала, уже при комнатной тем­

Если окажется, что е кт Д> 1, то к данной системе

применима классическая статистика. Если же окажется,

W—E

что е кТ < 1, то к системе следует применять квантовую статистику.

57

ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА И ТЕПЛОЕМКОСТЬ МЕТАЛЛОВ

Поскольку система электронов в металлах в зависи­ мости от температуры может быть как вырожденной, так и невырожденной, то и ее энергия в этих случаях выража­ ется по-разному. При достаточно низкой температуре, когда система электронов вырождена и описывается квантовой статистикой, ее энергия равна

рожденного электронного газа

пропорциональна температуре Т (кривая 2 на рис. 12). Итак, если при низких температурах определяющая роль принадлёжит квантовым свойствам электронов и энергия электронного газа, а также ее зависимость от температуры резко отличаются от аналогичных харак­ теристик классической системы частиц, то с повышением температуры квантовые свойства проявляются менее су­ щественно, а сама система более уподобляется класси­

ческой.

58

Можно примерно оценить значение температуры Го, называемой температурой вырождения, когда система электронов из вырожденной переходит в невырожденную, т. е. при которой квантовую статистику можно заменить классической. Температура вырождения может быть най­ дена из условия, что энергия электронного газа, подсчи­ танная по формуле (3. 30), является величиной одного порядка с энергией этого газа в случае вырождения, т. е.

NkT0 л: Ne.

Отсюда, учитывая значение е (3.20), получаем, что тем­ пература вырождения

Как уже указывалось, для металлов величина температу­ ры вырождения То достигает десятков тысяч градусов.

В вырожденном случае, при Т < Т 0, энергия электронно­ го газа практически не зависит от температуры, поэтому его теплоемкость Скв= 0. Лишь очень малая доля электронов (2—3%), находящихся в ин­

тервале значений энергии kT, примыкающем к уровню Фер­ ми, участвует в тепловом об­ мене энергией и влияет на теп­ лоемкость тела.

Таким образом, при темпе­ ратурах ниже температуры вы­ рождения молярная теплоем­ кость металлов такая же, как и теплоемкость диэлектриков,

JL

Это находится в соответствии с законом Дюлонга и Пти, так как электроны проводимости металлов при данных условиях практически не участвуют в обмене энергией

59