книги из ГПНТБ / Петровский, И. И. Электронная теория полупроводников. Введение в теорию учеб. пособие

устанавливающее связь между х, X и ср. А так как к и Â выражаются через энергию электрона W:

ставляет собой некоторую функцию от cp: W = W (ср). То­ гда, задавая всевозможные значения ср, из соотношения W = W ( ф) мы получили бы спектр всех возможных значе­ ний энергии электрона в кристалле. Затем, подставляя найденные значения W в выражения (4.19), дающие связь между W, X и Я, можно получить соответствующие дан­ ным значениям энергии W значения х и X, а также кон­

СПЕКТР ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОНА В КРИСТАЛЛЕ

С целью упрощения задачи об отыскании энергетиче­ ского спектра для электронов в кристалле предположим, что при с = а + Ь= const ширина потенциальных барьеров b 0, но при этом их высота UQ—,<-оо, так что U0b= const, т. е. будем рассматривать лишь достаточно узкие и вы­ сокие потенциальные барьеры, что до некоторой степени соответствует действительности в случае достаточно силь­ ной связи электронов в кристаллической решетке.

Очевидно, что при указанном условии с->а. Принимая во внимание, что X и х выражаются через энергию элек­ трона W соотношениями (4.19), получим

70

или, разделив числитель и знаменатель полученного выра­ жения на U0,

рять единственному условию lel4pj2= 1. Но при любых зна-

71

чениях cp I el<f|2 = 1. Однако, так как е1ф — периодическая функция ф с периодом 2л, то можно ограничиться значе­ ниями ф в интервале 0 ^ ф < 2л, причем внутри данного интервала значения ф могут быть любыми. Поэтому ф можно выразить так:

дить ход функции / (ха) в зависимости от изменения аргу­

шем возрастании ха / (ха) продолжает убывать, становится

ха

72

Любому данному значению ka соответствует определенное

-энергии электронов в кристалле состоит из отдельных по­ лос или зон, разделенных зонами значений энергии, кото­ рыми электроны, обладать не могут. Зонам возможных значений энергии электронов соответствуют значения ха, для которых )/ (ха)\ <Л, а зонам невозможных значений соответствуют значения ха, для которых \f(xa)\> 1. Ши­ рина зон возможных значений энергии электронов, как

73

и ширина соответствующих им интервалов значений ха, тем больше, чем больше величина ха, следовательно, чем

энергии сплошной, т. е. энергия электронов такого кри­ сталла внутри каждой из зон может изменяться непре­ рывно, поскольку внутри зон может непрерывно изме­ няться величина х, а энергия электрона W является не­ прерывной функцией к.

Ширина энергетических зон зависит и от величины по-

4 Я 2

стоянного множителя К = ------ mabU0, характеризую-

Ь?

щего потенциальные барьеры поля кристаллической решет­

бодного электрона, которая может изменяться непрерывно. Спектр энергии свободного электрона оказывается сплош­

В данном случае, соответствующем сильно связанному электрону в пределах одной элементарной ячейки кри­ сталла, получается дискретный ряд возможных значений

74

х, удовлетворяющий условию у,а= пл (« = 0, ±1, ±2, ±3, ...) или х = гея/а. Следовательно, и возможные значе­ ния энергии электрона образуют дискретный ряд

К2 ге2л2 _ й2ге2

(4.23)

8л2т а2 8гега2

т. е. зоны возможных значении энергии электрона стяги­ ваются в отдельные дискретные уровни энергии, что соот­ ветствует рассмотренному в теории Зоммерфельда слу­ чаю нахождения электрона в изолированной потенциаль­ ной яме шириной а и глубиной Uo ->оо, иначе, изолиро­ ванному электрону в ячейке кристаллической решетки.

Рассмотрим еще случай, когда величина К достаточ­ но велика, но не обращается в бесконечность, т. е. когда электрон сильно связан с ячейкой кристаллической ре­ шетки, но, несмотря на эту связь, может переходить из одного места кристалла в другое. В данном случае, как это видно из уравнения (4.20), возможные области зна­ чений ха, для которых |f(xa)|=^;l, представляют собой весьма узкие интервалы, примыкающие к гея слева. Зна­ чения ха из этих интервалов можно записать в виде

sin X а — sin (гея + 6) = sin гея cos б + cos ге я sin б =

= (—1)" s in 6 ^ ( — 1)" б,

так как при достаточно малом б sin6.^.6.

Далее, при данном условии можно считать, что

cos ха та cos п л = (—1)" .

Тогда уравнение (4.20) можно выразить в виде

75

(Так как /С> 1, а числитель квадрата второго члена огра­ ничен, имея величину порядка единицы, то квадратом второго члена можно пренебречь.) Таким образом, энер­ гия электрона, находящегося в п-й энергетической зоне, выразится следующим образом:

спектр энергии разбивается на зоны, тем более широкие, чем меньше К и чем больше номер зоны; расстояния между зонами оказываются тем меньше, чем меньше К

76

У Ч Е Т У С Л О В И Й П Е Р И О Д И Ч Н О С Т И В О Л Н О В О Й Ф У Н К Ц И И

Мы выяснили, что возможные значения энергии элек­ трона, находящегося в н-й энергетической зоне, опреде­ ляются выражением (4.24), которое является непрерыв­ ной функцией числа k. В свою очередь k внутри каждой

условия. Поэтому при данных условиях спектр значений энергии электрона в каждой из энергетических зон явля­ ется сплошным, т. е. энергия электрона внутри зоны может иметь любую величину, заключенную в интервале значений, соответствующих границам зон.

Это следует из того, что, рассматривая задачу о дви­ жении электрона в периодическом поле одномерной кри­ сталлической решетки, мы предполагали кристалл не­ ограниченным, так как при этом не вводили никаких дополнительных граничных условий для волновой функ­ ции ¥ (х ), вытекающих из ограниченности размеров кри­ сталла. Если же при решении указанной задачи учиты­ вать ограниченность размеров кристаллической решетки, что имеет место для всех реальных кристаллов, то это, оказывается, приводит к дискретности энергетического спектра для электронов внутри каждой энергетической зоны.

Этот же результат мы получим, исходя из несколько иных Соображений, а именно: потребуем, чтобы волновая

где L = Nc — длина макроучастка бесконечного кристал­ ла,-содержащего достаточно большое число N элементар­ ных ячеек длиной с. В частности, можно считать, что L есть длина реального ограниченного кристалла. Право­ мерность этого условия вытекает из соображений, приве­ денных в главе 2.

Прежде чем воспользоваться условием периодичности волновой функции ¥ (х ) (4.25), установим, каким должен быть общий вид этой функции.

Из требования периодичности квадрата модуля волно­ вой функции |¥ (х)|2 с периодом решетки с = а + b было

77

Умножив левую и правую части данного равенства на е~ікх, где X — любая точка внутри кристалла, получим

дом с.

Теперь, установив общий вид волновой функции ^(х), учтем условие ее периодичности:

Т- (х) = ¥ (X + L) (L = Nc).

Это условие, если подставить в него выражение для ¥(х) (4.27), перепишется так:

f(x)eikx= f ( x 4- L) emx+L).

Отсюда, имея в виду, что / (х) = /( x - f L), следует:

é kL = cos kL + i sin kL — 1.

78

Из выражения (4.24), определяющего возможные зна­ чения энергии электронов в я-й энергетической зоне, вид­ но, что если значения k дискретны, то и определяемые ими возможные значения энергии электронов Wn (k) также являются дискретными. Более того, количество энергетических уровней в я-й энергетической зоне при дискретных значениях k оказывается конечным. Для того чтобы исчерпать все возможные значения энергии в зоне, числу k нужно придать N последовательных значений от

2зт О до — в соответствии с условием (4.28). Так,

79