книги из ГПНТБ / Петровский, И. И. Электронная теория полупроводников. Введение в теорию учеб. пособие

Мы видим, что зависимость энергии W кристалличес­ ких уровней энергетической зоны от числа k является квадратичной. Аналогичным образом можно выразить за­ висимость энергии электрона от волнового вектора к и в

трехмерном кристалле.

Во второй главе, где рассматривалась теория Зоммерфельда, было получено выражение для энергии электро­ на, находящегося внутри твердого тела, в потенциальной яме с гладким дном:

8л2т

Но это выражение было получено в предположении, что везде внутри тела потенциальная энергия электрона {7 = 0 и лишь на границах его с вакуумом происходит скачок потенциальной энергии до значения UQ> 0, тогда полная энергия электрона внутри тела W равна его кине­ тической энергии W^, т. е. электрон считается свободным.

На самом же деле внутри твердого тела потенциаль­

120

Таким образом, и энергия «зоммерфельдовокого» сво­ бодного электрона также является квадратичной функ­ цией числа k. Выражение для энергии приграничного электронного уровня энергетической зоны (5.3) можно представить в виде, тождественном выражению для энер­ гии свободного электрона (5.4), даваемому теорией Зоммерфельда, если ввести обозначение

Ц2

Здесь величина т* играет ту же роль, что и масса элек­ трона в выражении для энергии 'свободного электрона (5.4), т. е. является аналогом массы и поэтому формаль­ но может быть названа эффективной массой.

Итак, электрон, находящийся у границ энергетиче­ ской зоны, подобен свободному электрону, если считать, что его масса равна эффективной массе т*. Законы дви­ жения электронов, которые находятся в периодическом поле кристаллической решетки и расположены на уров­ нях, близких к границам энергетических зон, описывают­ ся теми же формулами, что и законы движения свобод­ ных электронов, если только их массу заменить эффек­ тивной массой.

Этот вывод вытекает из более общих соображений. Так, в предыдущей главе указывалось, что средняя ско­

рость электрона равна групповой скорости описывающих его волн:

121

122

ционально его эффективной массе. Иными словами, закон движения электрона в периодическом поле кристалличес­ кой решетки формально совпадает со вторым законом Ньютона, но здесь масса электрона заменена его эффек­ тивной массой.

Изменение импульса электрона, находящегося в пе­ риодическом поле кристаллической решетки, под дейст­ вием внешних сил происходит иначе, >5ем у свободных электронов, находящихся под действием таких же сил.

законов для свободных электронов. Но если считать, что масса электрона, находящегося в периодическом поле кристаллической решетки на каком-либо уровне энергии вблизи границы энергетической зоны, равна эффективной массе, определяемой соотношением (5.5), то все законы, описывающие его движение, принимают такой же вид, как II соответствующие законы для свободных элек­ тронов.

Эффективная масса не определяет ни инерционных, ни гравитационных свойств электрона, ни его энергии. Она является лишь коэффициентом пропорциональности между ускорением электрона, находящегося вблизи гра­ ницы энергетической зоны, и действующей на него силой. Введение понятия эффективной массы оказывается при определенных условиях удобным для описания процес­ сов, происходящих в системе электронов, находящихся в кристаллическом теле, поскольку это позволяет их опи­ сывать с помощью законов движения свободных элек­ тронов. Эффективная масса электрона как бы заменяет собой действие на него периодического поля решетки кристалла.

Эффективная масса отлична от истинной массы части­ цы. Более того, она не является постоянной величиной: эффективные массы электронов, находящихся на различ­ ных уровнях внутри энергетических зон, в общем случае неодинаковы, с изменением состояния электрона может изменяться и его эффективная масса.

.Действительно, в формуле (5.3) разложения энергии электрона W в ряд по степеням (k—kQ) мы ограничились членом, содержащим вторую производную W по k, и по­ лучили квадратичную зависимость между W и k. Но ука­ занное упрощение допустимо лишь для достаточно малых

123

интервалов значений энергии, примыкающих к границам зон, где можно считать, что

dW dk2

и множители (k—k0) при п > 2 пренебрежимо малы. Только в этом случае т* —const. Но для значений энер­ гии более далеких уровней от границ зон в указанном разложении в ряд следует учесть и члены, содержащие производные W по k более высоких порядков, отличные от нуля. Если же разложение энергии в ряд по степеням

dk2

различных интервалов энергетических зон, эффективная масса электронов, находящихся на различных уровнях внутри зон, окажется различной, если даже ее вычислять по формуле (5.6).

Поскольку значение энергии какого-либо уровня вблизи нижней границы зоны W>Wo, а (k—!&0)2>0, то из выражения (5.6) следует, что эффективная масса электрона, расположенного вблизи нижней границы зоны, т*>0. Значение же энергии электрона, находяще­ гося вблизи верхней границы зоны, W<WQи, как это видно из формулы (5.6), его эффективная масса т* отри­ цательна *.

Из выражения (5.6) еще следует, что при заданном значении числа k W—W0^l/m*, т. е. эффективная масса и разность значений энергии граничного и рассматривае­ мого уровней W—W0 оказываются величинами, обратно пропорциональными друг другу. Значит, чем плотнее рас­ положены уровни энергии в энергетической зоне, чем меньше интервалы энергии между соседними уровнями,

то электроны, стремясь уменьшить свою энергию, запол­

* Такой электрон с отрицательной эффективной массой будет приобретать ускорение, направленное противоположно действующей на него силе.

124

няют наиболее низкие уровни зоны, т. е. располагаются тіо состояниям вблизи нижней границы зоны. Такое поло­ жение характерно для электронов зоны 'проводимости реальных полупроводников при низких температурах. Тогда можно, приписав электронам положительную эффективную массу, при изучении тех или иных процес­ сов применять к ним законы теории свободных элек­ тронов.

Возможны и такие случаи, когда энергетическая зона оказывается почти целиком заполненной электронами и лишь небольшое число уровней энергии у верхней гра­ ницы зоны остаются свободными. Свойства электронов этой зоны можно характеризовать путем описания пове­ дения при данных условиях небольшого числа не занятых электронами состояний — дырок, расположенных у верх­ ней границы зоны. При этом также можно пользоваться законами движения свободных электронов, применяя их к движению дырок, но только дыркам следует приписать надлежащую эффективную массу. (Такое положение характерно для дырок в зоне валентных уровней дыроч­ ного полупроводника.)

Так, у верхней границы зоны электрон под действием внешней силы приобретает ускорение, направленное про­ тивоположно действующей силе, так как его эффективная масса при этих условиях отрицательна. Электроны у верхней границы зоны под действием сил,, параллельных их скоростям, замедляются, переходят в состояния с меньшими значениями скоростей, чем предыдущие, ос­ тавляя свободными состояния с большими скоростями. Следовательно, дырки под действием этих сил увеличи­ вают свою скорость подобно частицам с положительным зарядом и положительной эффективной массой. Посколь­ ку в этих условиях приращения скоростей электронов и дырок у верхней границы зоны равны по величине (и про­ тивоположны по направлению), то эффективные массы электронов и дырок в одном и том же энергетическом ин­ тервале зоны равны друг другу по величине. Но эффек­ тивная масса дырки у верхней границы зоны валентных уровней отлична от эффективной массы электрона, нахо­ дящегося у нижней границы зоны проводимости. Зона валентных уровней более узка, чем зона проводимости, так как расположена ниже последней. Если число уровней энергии в обеих зонах одинаково, то плотности уровней

125

Глава 6

СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

ОСНОВНЫЕ ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Распределение электронов по уровням энергии в по­ лупроводниках определяется функцией распределе­ ния Ферми — Дирака, поскольку система электронов в полупроводниках обладает всеми специфическими свой­ ствами и особенностями, учитываемыми статистикой Ферми — Дирака. Так, для электронов полупроводни­ ков число возможных состояний в конечном интервале значений энергии является конечным, распределение электронов по возможным состояниям осуществляется в соответствии с принципом Паули, электроны в полупро­ водниках индивидуально неразличимы, т. е. обмен со­ стояниями между какими-либо t-м и k -м электронами не изменяет состояния всей системы.

В соответствии с функцией распределения Ферми число электронов dN, заполняющих энергетические уровни, которым соответствует энергия от W до W + dW, равно

Эта формула является исходной для построения стати­ стики носителей тока в полупроводниках.

Поскольку в интересующем нас явлении электропро­ водности полупроводников, как правило, принимают участие лишь электроны, находящиеся в состояниях вблизи границ энергетических зон, то для определения числа всех возможных состояний dZ, содержащихся в интервале значений энергии dW, можно применять результаты, полученные в теории Зоммерфельда при рассмотрении аналогичной задачи для свободных элек­ тронов (2.34). Однако при этом следует массу электрона m заменить эффективной массой гп*.

127

Кроме этого, нужно учесть еще одно обстоятельство. В теории свободных электронов при выводе формулы (2.34), определяющей число состояний dZ в энергетиче­ ском интервале dW, одним из исходных положений было

быть равным нулю только в том случае, если ее энергия

Значит, для определения импульса р электрона, находя­

уровень Ферми е уже не может быть определен из выра­

зоне проводимости и распределение дырок в зоне валент­ ных уровней, а также значения уровня Ферми г для бес­ примесного и примесного полупроводников.

СОБСТВЕННЫЙ п о л у п р о в о д н и к

Пусть в энергетическом спектре полупроводника нижней границе зоны проводимости соответствует энер­ гия W1 , а верхней границе зоны валентных уровней — энергия W2 и пусть дефекты в кристалле и, следователь­ но, локальные примесные уровни энергии в его энергети­ ческом спектре отсутствуют. Найдем выражение, опре­ деляющее число электронов Nj в зоне проводимости полупроводника в состоянии статистического равно­ весия.

128

Функция распределения Ферми выражает отношение числа электронов dNu находящихся в элементарном энергетическом интервале dW у некоторого значения W

Так как в зоне проводимости рассматриваемого полу­ проводника содержится мало электронов по сравнению с числом состояний в ней, то при нахождении можно счи­ тать, что вырождение электронного газа отсутствует, т. е. что Wl — 8 > kT (это условие обычно выполняется для по­ лупроводников при низких температурах). Тогда для зна­ чений энергии W > Wu соответствующих уровням зоны проводимости, тем более справедливо неравенство

Общее число электронов в зоне проводимости найдем,

проинтегрировав предыдущее выражение по всевозмож­ ным значениям энергии этой зоны:

Nl = j / (W) dZ (W) =