книги из ГПНТБ / Петровский, И. И. Электронная теория полупроводников. Введение в теорию учеб. пособие

ниями, оказываются беспорядочными, а это приводит к полному нарушению упорядоченности движения элек­ тронного газа, возникшей в результате действия на электроны сил поля.

Таким образом, средняя за время т составляющая ско­

ростей До электронов проводимости, направленная вдоль сил электрического поля, равная полусумме их скоростей в начале и конце отрезка времени т, в рассматриваемом случае выразится так:

А плотность тока, проходящего по проводнику под дей­ ствием поля Е, будет равна

г д е

величина, не зависящая от напряженности поля, кото­ рая называется удельной электропроводностью металла. Очевидно, что электропроводность металла а будет тем большей, чем больше концентрация электронов проводи­ мости п и чем больше длина их пробега I между двумя последовательными столкновениями. Отсюда следует, что сопротивление проводника как величина, обратная его электропроводности, вызывается столкновениями электронов проводимости с ионами кристаллической ре­ шетки, ограничивающими длину пробега электронов. Если бы таких столкновений не происходило, длина про­ бега электронов I и удельная электропроводность метал­ ла а, как это видно из формулы (1.7), обратились бы в бесконечность.

Заметим, что величина удельной электропроводности металлов может быть представлена в следующем виде:

2тѵ

10

так называемая подвижность носителей тока. Тогда плот­ ность тока / = пеиЕ. Из сравнения последнего выражения

с (1.1) видно, что Аѵ = иЕ, откуда

т. е. подвижность численно равна скорости направленно­ го движения носителей тока, вызванного полем единич­ ной напряженности.

Выражение (1.6), устанавливающее пропорциональ­ ность между / и Е, является математическим выраже­ нием закона Ома для тока в металлических провод­ никах.

Теория Друде — Лоренца объясняет и закон Джоу­ ля — Ленца. Нагревание проводника проходящим в нем током происходит за счет работы сил электрического поля. Поле, ускоряя электроны проводимости, сообщает им за время пробега т дополнительную кинетическую энергию. При столкновениях с ионами кристаллической решетки электроны Передают им эту добавочную энер­ гию, накопленную за время т за счет работы сил поля Е. Таким образом, энергия поля расходуется на увеличение энергии тепловых колебаний кристаллической решетки, т. е. на нагревание проводника.

За время пробега т один электрон, двигаясь в поле Е, приобретает дополнительную составляющую скорости Ди=

бЕ

= ----т и, следовательно, дополнительную энергию

Эта энергия целиком передается иону решетки кристалла в результате столкновения с ним электрона.

Число столкновений электронов с ионами решетки в единицу времени, к^к это следует из (1. 3), в среднем равно д=1/т = //и. Таким образом, один электрон за еди­ ницу времени приобретает за счет работы сил электри­ ческого поля и передает кристаллической решетке энер­ гию

11

Энергия, передаваемая решетке кристалла п элект­ ронами в единице объема проводника за единицу време­ ни, очевидно, будет

тальным путем был установлен закон Видемана — Фран­ ца, гласящий, что отношение коэффициента теплопровод­ ности металла х к его удельной электропроводности а для всех металлов при одинаковой температуре одинако­ во и возрастает пропорционально абсолютной темпера­ туре Т: хІа = аТ, где а — константа, не зависящая от рода металла.

Металлы в отличие от диэлектриков обладают большой электропроводностью и хорошей теплопровод­ ностью. Это объясняется наличием в металлах нелокализованных электронов проводимости. Участвуя в хаотическом тепловом движении, электроны проводимо­ сти облегчают теплопередачу, поскольку передают из­ быточную энергию теплового движения, приобретенную ими в участках тела с более высокой температурой, в участки с более низкой температурой подобно тому, как это происходит в газах. Очевидно, что чем больше кон­ центрация электронов проводимости, тем большей будет как электропроводность, так и теплопроводность ме­ талла.

Как известно, классическая кинетическая теория га­ зов дает для коэффициента теплопроводности идеально­

го одноатомного газа выражение x = — nkvl. Это же вы­

ражение, в соответствии с основными положениями тео­ рии Друде — Лоренца, должно быть справедливо и для электронного газа, только в данном случае под п, ѵ и I следует понимать соответственно концентрацию, среднюю

12

скорость теплового движения и среднюю длину пробега электронов проводимости.

Взяв отношение х к о, получим:

Если считать среднюю энергию теплового движения элек-

%

идеального одноатомного газа, то отношение — примет вид

о

Таким образом, мы получили закон Видемана — Франца. Численное значение коэффициента а оказывается величи­ ной того же порядка, что и его значение, установленное экспериментальным путем.

ОГРАНИЧЕННОСТЬ И ВНУТРЕННИЕ ПРОТИВОРЕЧИЯ ТЕОРИИ ДРУДЕ — ЛОРЕНЦА

ми, она вследствие своей ограниченности и несоответст­

электронов пропорциональна К Г , то

что находится в явном противоречии с опытом.

Далее, согласно представлениям классической электрон­ ной теории электроны проводимости, участвуя в тепловом

13

движении, обладают средней тепловой энергией — kT, про-

2

порциональной температуре Т. Вследствие этого суммарная

энергия теплового движения частиц одного моля металла 9

должна быть равна ~ N ükT (здесь N0— число Авогадро),

тепловым движением электронов проводимости. Следователь­ но, молярная теплоемкость металлов

Сш= — ( — N0k T ) = — N0k. м dT \ 2 0 2 0

У диэлектриков, не имеющих электронов проводи­ мости, энергия молекулярного теплового движения рас­ пределяется только между ионами кристаллической ре­

шетки. Поэтому в выражении для энергии теплового дви- 3

жения в случае диэлектриков отсутствует член—NokT,

2

обусловленный наличием электронов проводимости. От­ сюда следует, что молярная теплоемкость диэлектриков Сд меньше, чем металлов, а именно:

таллов, как и теплоемкость диэлектриков, в большинстве случаев близка к величине- N0k (так называемый закон

Дюлоига и Пти).

Далее, теория Друде — Лоренца приводит к закону Видемана — Франца. Но примерное совпадение вы-' численного значения коэффициента а с опытным его зна­ чением оказывается чисто случайным. Если учесть, что скорости теплового движения электронов проводимости распределены между ними в соответствии с законом рас­ пределения Максвелла, то в результате вычисленное значение коэффициента а оказывается не ближе к опытному его значению, как, казалось бы, следовало

14

ожидать, а еще больше расходится с ним. Кроме этого, при достаточно низких температурах, как показывает опыт, a=7 ^const и отношение х/ст непропорционально аб­ солютной температуре Т, из теории же Друде — Лоренца

этого не следует.

Наконец, теория Друде — Лоренца не в состоянии объяснить свойства полупроводников, каковыми является большинство кристаллических тел.

Все эти и ряд других противоречий между теорией Друде — Лоренца и опытом вызываются, с одной сторо­ ны, тем, что к микрочастицам, в частности к электронам проводимости, неприменимы представления и законы классической физики, которыми пользуется теория Дру­ де — Лоренца. Электронный газ обладает совершенно иными свойствами по сравнению с классическим идеаль­ ным газом.

Движение электронов происходит в соответствии с законами квантовой механики, более глубоко и разно­ сторонне, чем классическая теория, отражающими ре­ альные свойства микрочастиц. Электроны нельзя рас­ сматривать как какие-то твердые неизменяемые шарики, обладающие всеми свойствами макротел. Кроме корпус­ кулярных свойств, им присущи и волновые свойства, не охватываемые классической физикой. К электронам так­ же неприменим классический закон равномерного рас­ пределения энергии по степеням свободы, и вообще сред-

3

няя энергия электронов не равна—kT, как это полагается

в классической физике, и при абсолютном нуле темпе­ ратуры она отлична от нуля.

Кроме того, электроны проводимости в действитель­ ности не свободны, как это считается в классической те­ ории, а взаимодействуя с ионами кристаллической ре­ шетки, связаны с решеткой. Так, если электрон, обладаю­ щий зарядом е, находится в кулоновском поле положи­ тельного иона с зарядом q на расстоянии г от него, то потенциальная энергия взаимодействия электрона с ионом, как известно, равна

и = ----- 25-, 4 пег

где с = е0е' — абсолютная диэлектрическая проницаемость

15

Глава 2

ТЕОРИЯ ЗОММЕРФЕЛЬДА

ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ

Согласно представлениям, впервые высказанным де Бройлем, корпускулярно-волновой дуализм универса­ лен: он присущ не только электромагнитному излучению, но и элементарным частицаіѵг, в частности электронам. Поэтому свойства и закономерности движения электро­ нов можно описывать и с волновой точки зрения.

Движение свободной частицы массы т со скоростью ѵ можно охарактеризовать ее импульсом р ~ тѵ и энергией W = тѵ2/2. Волна, распространяющаяся со скоростью с, характеризуется частотой колебаний ѵ и длиной волны %= = с/ѵ. -Оказывается, что эти волновые характеристики мож­ но применять и к движению микрочастиц.

Известно, что энергия фотона W — кѵ (здесь к — посто­ янная Планка), импульс его р = тс. Масса фотона

т „

т — — —

К 1 — ѵ2/с2

является величиной конечной, поскольку его масса покоя то = 0, а скорость ѵ = с. Так как энергия частицы и ее ма'сса связаны соотношением W=mc2, импульс фотона можно выразить следующим образом:

_ тс2 /гѵ /г

сс %

Таким образом, энергию фотона W и его импульс р, ха­ рактеризующие фотон как частицу, можно выразить че­ рез его волновые характеристики — частоту ѵ и длину волны X.

В волновой теории полагается, что элементарные час­ тицы могут характеризоваться либо величинами энергии № и импульса р как корпускулы, либо длиной волны %и частотой V как волны, причем

А ‘

Отсюда длина волны X, характеризующей элементарную' частицу массы т, движущуюся со скоростью ѵ, равна

h __ h 2 2

( . >

ртѵ

Таким образом, движение свободных электронов может быть описано плоской волной де Бройля с постоянной ам­

плитудой и длиной волны, определяемой соотношением

( 2. 2) .

, Пусть колебания источника волны происходят по

закону

'Гц = öcos (соt -}- б),

где со = 2яѵ — циклическая частота колебаний. Тогда уравнение плоской волны, распространяющейся со ско­ ростью с по направлению, определяемому радиусом-век­ тором г, запишется так:

¥ = а cos (соt — кг + б).

Часто уравнение волны представляется в комплексной форме:

где А = аеіЬ—комплексная амплитуда волны. Если это ком­ плексное выражение для ¥ представить с помощью форму­ лы Эйлера, то его действительная часть совпадет с урав­ нением волны (2.3). Действительно,

elbel(®i_kr) — [cos (at — kr) + i sin (at — kr)] X

X (cos6+t sin б) = cos (at — kr-f-б) + i sin(co^ — kr+6).

Согласно гипотезе де Бройля волна, описывающая сво­ бодную частицу, обладающую импульсом р — тѵ и энергией. W, задается аналогичным уравнением:

Умножив и разделив показатель степени е в этом уравне-

18

Физический смысл волны де Бройля заключается в том, что квадрат модуля |\F|2 = 4rxF* выражает вероятность на­ хождения частицы, описываемой волной, в момент времени t в точке, определяемой радиусом-вектором г.

Пространственная часть функции Y (г, t), т. е. множи­ тель, зависящий только от координат, выражается так:

Очевидно, что подстановка значения АД- в уравнение об­ ращает его в тождество.

Однако плоская монохроматическая волна де Бройля, заданная уравнением вида (2. 4) или (2. 4а), безгранич­ на в пространстве и во времени. Электрон же всегда ло-. кализован в некоторой определенной ограниченной об­ ласти пространства. Следовательно, в соответствии с физическим смыслом волн де Бройля квадрат модуля

|Т|2 = W * = аецкг~Ш)ае-цкг- Ш) = а2