книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби

40

тики и других частных наук, в метафизике, которая «изучает основы логики, основы математики, основы физики и ищет подтверждения и объяснения их сущ­ ностей и особенностей». Аль-Фараби считал, что суть логики состоит в процессе рассуждения, ведущем от известного к неизвестному. Рассуждение начинается с понятий определяемых дефинициями, которые систе­ матизируют их так, что они входят одно в другое, по­ ка не приводят к самым общим понятиям, уже неопре­ делимым.

По аль-Фараби, логика познается и обосновывается с помощью математики: «Сперва надлежит выбрать из геометрической науки некоторые количества того, что нужно для упражнения в геометрических доказатель­ ствах, и лишь после того упражняются в логике» [23,

стр. 11].

Аристотель рассматривал условное высказывание, как заключение, в котором между посылкой и ее след­ ствием подразумевается связь по смыслу; которое ложно лишь тогда, когда из истинной посылки выво­ дится ложное следствие. По мнению Э. Кольмана[46], аль-Фараби счел возможным отвлечься от первого усло­ вия, т. е. он наряду с аристотелевской формальной им­ пликацией приступил к разработке теория матери­ альной импликации. Материальная импликация — сложное высказывание, в котором между соединенны­ ми союзами «если..., то...» простыми высказываниями в отличие от условного суждения формальной логики не предполагается содержательной связи (т. е. связи по смыслу). Она играет теперь большую роль в математике и в других научных теориях. Аль-Фараби открыл ее либо самостоятельно, либо под влиянием стоиков — ес­ ли только он сумел ознакомиться с их работами по это­ му вопросу — правильно оценил их идеи и развил дальше.

О значении этих достижений аль-Фараби Э. Кольман пишет: «Освобождение логики от рассмотрения со­ держательного, конкретного мышления, к чему при­ ступил аль-Фараби, было необходимым условием для того, чтобы логика в будущем смогла превратиться в науку, столь же общую и точную, какой давно стала математика. Но, разумеется, оно не было условием до­

41

статочным (требовалось еще, чтобы логика была фор­ мализована), и оно внесло также в нее зародыши тех противоречий (парадоксы материальной импликации: из ложного высказывания следует любое высказыва­ ние; истинное высказывание следует из любого вы­ сказывания), которые затем были обнаружены в виде логических антиномий, вызванных крайне общим по­ ниманием «области рассуждений», и привели к кризи­ су основ логики» [46, стр. 99].

Логические идеи аль-Фараби нашли свое отражение в сочинениях Ибн-Сины, Ибн-Рошда (1126—1198), Мои­ сея Маймонида (1135— 1204), а затем в европейской схоластике. Например, у Ибн-Сины можно обнаружить элементы теории материальной импликации, с которой он мог ознакомиться из логических трудов своего фи­

идеи по математической логике, нуждается в специаль­ ном изучении.

§ 6. Аль-Фараби и Роджер Бэкон

Роджер Бэкон одним из первых в средневековой Европе правильно понял и оценил научную заслугу аль-Фараби. Ему были известны многие научные и фи­ лософские труды арабоязычных ученых. Впрочем, Р. Бэкон владел арабским языком и ему были доступ­ ны рукописи восточных авторов. В частности, он был хорошо знаком с содержанием «Перечисления наук» аль-Фараби; восхищаясь этим трактатом в своем «Сред­ нем труде», Р. Бэкон ставит имя аль-Фараби в один ряд с именами Евклида и Птолемея [48, стр. 310].

Большим уважением Р. Бэкона пользовался ИбнСина, которого он называет вождем и главой философов

[49, стр. 160].

Не без влияния аль-Фараби и Ибн-Сины Р. Бэкон создал «Главный труд» (Opus majus), который вместе с приложениями представлял собой настоящую энцикло­ педию наук XIII в.

Следуя аль-Фараби и другим ученым средневеково­ го Востока, Р. Бэкон выдвинул свою классификацию

Р. Гроссетета (1175— 1253), научное знание начинается со знания того, что есть, или с анализа опытных дан­ ных, восходит до гипотетических причин, а затем из этих последних синтетически (дедуктивно) выводит следствия, проверяемые на опыте, т. е. вновь возвра­ щаясь к опыту [51, стр. 237].

Таким образом, они, как и аль-Фараби, сформули­ ровали двойной метод разложения и составления, или индукции и дедукции, который, по оценке Дж. Берна­ ла, выражен «так же ясно, как должен был выразить его Ньютон 500 лет спустя» [52, стр. 195].

Хотя о необходимости опытного исследования при­ роды Р. Бэкон высказывается несколько отчетливо и зрело, более зрело, чем аль-Фараби, однако в очень принципиально важном пункте — в практическом при­ менении метода — Р. Гроссетет и Р. Бэкон несколько отстали от аль-Фараби.

Р. Бэкон, как и аль-Фараби, особое значение прида­ вал математике. В IV части «Главного труда» он мате­ матику называет вратами и ключом к другим наукам, азбукой философии. «Математика имела несчастье быть неизвестной отцам церкви»,— иронически заме­ чает он. Положив наблЬдение и опыт в основу естество­ знания, Р. Бэкон не ограничился одной теорией, а приложил к практике ее принципы. Он считал, что все науки, в сущности, основаны на математике, что они прогрессируют лишь тогда, когда их основные положе­ ния выражены в математической форме. «Математика имеет (обосновывает),— пишет Р. Бэкон,— универ­ сальные опыты (методы),.., которые применяются ко всем наукам..., (и) которых ни одна (наука) не могла бы знать без математики» [49, стр. 164].

Аль-Фараби также не исключал из основ естество­ знания наблюдение и опыт, вместе с тем он утверждал, что математика «проникает во все науки». Оба ученых отчетливо понимали значение математики для изуче­ ния природы. Принципы аль-Фараби и Р. Бэкона были

44

настолько передовыми в этой эпохе, что это чувствует­ ся и сейчас.

Предвосхищая идеи Р. Бэкона о так называемых помехах для познания истины, аль-Фараби в «Тракта­ те о том, что правильно и что неправильно в пригово­ рах звезд» пытается раскрыть причины существования отдельных лженаук. По его мнению, это прежде всего субъективные причины, связанные с личными недостат­ ками людей, как, например, недостаточный уровень на­ учного развития, природное отвращение к наукам, высокое положение ученых, занимающихся этой лженаукой, сознательное замалчивание достижений не­ которых ученых из-за корыстных целей. «Подобное от­ ношение,— пишет аль-Фараби,— приводит человека к принятию в науке того, что не является всеобщим, за всеобщее и того, что не является выводом из умозаклю­ чений, за логический вывод, а того, что не является до­ казательством, за доказательство» [11, стр. 283— 284].

Йечто аналогичное имеется и у Р. Бэкона, который дал перечень помех для познания истинной науки. В качестве таких помех Р. Бэкон называет преклоне­ ние перед ложным авторитетом, привычку к старому,

практической астрономии, т. е. астрологии. Например, оба они выступали против юдициарной астрологии, со­ гласно которой земные дела и события управляются различными сочетаниями, связями, физическим со­ стояниями небесных светил (см. последнюю главу на­ стоящей работы).

А. Сайыли утверждает, что аль-Фараби предвосхи­ тил некоторые принципиальные положения Р. Бэкона по выяснению физической сущности вакуума [5].

ГЛ А В А Ш

ГЕОМЕТРИЯ АЛЬ-ФАРАБИ

§ 1. Аль-Фараби о предмете и содержании геометрии

В математическом творчестве аль-Фараби геометри­ ческие вопросы занимают солидное место. Об идеях аль-Фараби по основаниям геометрии, а также об его критике Евклида мы говорили выше. Исходя из бога­ того геометрического наследия греков и арабских пред­ шественников, аль-Фараби в «Перечислении наук» оп­ ределяет предмет геометрии и приводит ее краткое со­ держание. Он разделяет геометрию на практическую и теоретическую.

Практическая геометрия, по аль-Фараби, должна включать сугубо житейские вопросы, являющиеся пред­ метом практического искусства. По этому поводу он пишет: «Практическая геометрия рассматривает линии и поверхности деревянного тела, если их применяет столяр, или железного тела, если их применяет кузнец, либо каменного тела, если их применяет каменщик, ли­ бо поверхности земли и нив, если он — землемер.

Аналогично этому, специалист по практической гео­ метрии представляет себе линии, поверхности, квадра­ ты, круглые и треугольные тела как материю, являю­ щуюся предметом этого практического искусства» [11,

стр. 19].

Касаясь практической геометрии, аль-Фараби как бы указывает на реальную причину зарождения геоме­ трических понятий и намекает, что первые геометриче­ ские понятия о длине, площади и объеме возникли в результате практической деятельности людей.

В противовес практической геометрии аль-Фараби большое значение придает теоретической геометрии, предметом которой являются абстрактные вещи. Про-

46

тивопоставление объектов практической и теоретиче­ ской геометрии у аль-Фараби аналогично противопо­ ставлению «считаемых» и «чисел» в арифметике. По этому поводу он пишет: «Теоретическая геометрия рас­ сматривает линии, поверхности и тела абсолютно, так что они являются общими для плоскостей всех тел. Теоретик представляет себе линии в общем, отвлекаясь разумом от того, каково это тело. Он представляет себе плоскость, квадрат, окружность и треугольник, в об­ щем не интересуясь тем, каково это тело, какова его материя и как она ощущается, а лишь в абсолютном смысле представляя себе геометрическое тело не как дерево, кирпич или железо, а вообще как геометриче­ ское тело» [11, стр. 19—20].

Здесь аль-Фараби опять-таки развивает материали­ стический тезис Аристотеля о том, что математические понятия получены путем абстракции от предметов ре­ ального мира в противоположность идеалистической точке зрения Платона, считавшего математические по­ нятия врожденными.

По аль-Фараби, именно эта особенность теоретиче­ ской геометрии, т. е. ее абстрактный характер, позволя­ ет геометрии применяться «во всех науках». Так, на­ пример, согласно аль-Фараби, геометрическое тело есть не что иное, как реальное тело, рассматриваемое толь­ ко с точки зрения его пространственной формы и раз­ меров в полном отвлечении от всех других свойств.

Далее он дает краткую характеристику содержания теоретической геометрии: «Теоретическая геометрия изучает в линиях, плоскостях и телах абсолютно фор­ мы, величины, равенство и различие, виды их форм, порядок и все то, что им присуще, например точки, уг­ лы и т. д. Она изучает пропорциональные и непропор­ циональные величины, данные и то, что не дано, соиз­ меримые и несоизмеримые, рациональные и иррацио­ нальные величины и их виды» [11, стр. 20].

По аль-Фараби, теоретическая геометрия рассма­ тривает линии, плоскости и тела в абсолютном смысле, отвлекаясь от того, каково это тело, какова его мате­ рия и как оно ощущается; она изучает в линиях, пло­ скостях и геометрических телах их отношения, величи­ ны и взаимное расположение. Отношение взаимного рас­

47

положения представляет собой прикосновение или при­ легание тел друг к другу в том смысле, что одно тело есть часть другого, в расположении «между», «внутри» и т. д. Отношение это выражается в понятиях «равен­

Во взглядах аль-Фараби на предмет геометрии под­ черкивается общность геометрических выводов.

Говоря о логическом аппарате геометрии, ученый говорит о строго доказательном (дедуктивном) характе­ ре построения этой науки: «Она объясняет, каким спо­ собом строится то, что можно построить, и каким спо­ собом извлекается то, что можно извлечь. Она объяс­ няет причины всего этого путем доказательств, кото­ рые дают нам достоверное значение, не допускающее сомнения» [11, стр. 20—21].

Рассуждения аль-Фараби о методе геометрии сво­ дятся к тому, что абстрагирование влечет за собой умо­ зрительно-дедуктивный метод, заключающийся в том, что ее выводы должны доказываться рассуждением, получая правильность одних выводов из других. В за­ вуалированном виде он подчеркивает мысль о том, что употребляемые в геометрическом методе абстрактные понятия и выводы как бы являются развитием непо­ средственного отражения в сознании реальных про­ странственных форм, отношений и их взаимосвязей.

О частях теоретической геометрии аль-Фараби пи­ шет: «Эта наука состоит из двух частей. Одна часть рассматривает линии и плоскости, а другая — тела».

Таким образом, аль-Фараби разделяет геометрию на планиметрию и стереометрию.

Далее, останавливаясь на разделах стереометрии, подчеркивает: «Та часть, которая рассматривает тела, делится в соответствии с видами тел, как то: куб, ко­ нус, сферы, цилиндр, призма, пирамида, и изучает все это с двух сторон; во-первых, каждое из них само по себе, во-вторых, рассматривает их и следствия из них при соотнесении одних к другим путем сравнения одних с другими».

1

48

Далее, останавливаясь на структуре как геометрии, так и арифметики, аль-Фараби пишет: «Следует знать, что для геометрии и чисел имеются основы, начала и другие вещи, вытекающие из этих начал. При этом на­ чала ограничены, а то, что вытекает из этих начал, неограничено. В «Книге начал», написанной Евклидомпифагорейцем, изложены начала геометрии и чисел.

Таким образом, аль-Фараби всецело поддерживает аксиоматическую тенденцию построения математики. Под основами и началами аль-Фараби имеет^в виду ос­ новные определения и аксиомы геометрии. Отметим, что «Начала» Евклида в средневековой арабской лите­ ратуре называется «Книга начал геометрии». Аль-Фа­ раби считает здесь Евклида пифагорейцем; на самом деле, как показал Б. Л. Ван дер Варден, только VII— IX книги — обработки сочинений Архита Тарентского и первые определения I книги «Начал», носят следы пифагорейских атомистических определений, другие же книги «Начал» являются обработкой сочинений ученых IV в. до н. э. Гиппократа Хиосского, Теэтета Афинского и Евдокса Книдского, примыкавших к школе Платона. Однако, по свидетельству того же Б. Л. Ван дер Варде­ на, произведения Евклида всецело примыкают к тради­ циям платоновской школы [53, стр. 269]. По свиде­ тельству Аристотеля, Платон очень много заимствовал у пифагорейцев, не без влияния которых он настойчкво предлагал изучать «квадривиум» — арифметику, геометрию, астрономию и музыку [53, 212].

В «Комментариях к трудностям во введениях к пер­ вой и пятой книгам Евклида» аль-Фараби рассмотрены также вопросы, относящиеся к основаниям геометрии, а именно: правильность и понятность некоторых опре­ делений, предпосланных Евклидом во введениях пер­ вой и пятой книг «Начал» Евклида. Например, альФараби не удовлетворяет определение точки у Евклида. По Евклиду, точка — это то, что неделимо. Но в то же время числовую единицу также определяли как неде­ лимое. Аристотель различал их, наделяя точку опреде­ ленным положением, и единицу определял как недели­ мое во всех отношениях и не наделенное положением. Преднамеренный отказ Евклида от указания на поло­ жение точки связан с отрицанием им всяких связей