книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби

20

8. «Большая книга музыки» (Китаб ал-мусика ал-ка- бир). Рукописи: Лейден (университет, ор. 651; ор. 141 — отрывок); Милан (Амброзианская библиотека, 289); Мадрид (Эскуриал, 906); одна копия стамбуль­ ской рукописи, Каир (Нашра, 22). Полный текст издан в 1967 г. на арабском языке в Каире [34]. Имеется ка­ захский перевод А. Кубесова первой части вводного раздела, опубликованный в газете «Лениншил жас», 1970, № 147—153. Исследования: А. Кубесов (журнал

«Билим жане Енбек», 1970, № 1) [35].

9. «Введение в музыку» (ал-мудхал фи-л-мусики). Рукописи: Стамбул (Клич Али Паша, 674, Рагип Паша, 876, Кепрюлю, 953); Хайдарабад (Асаф, III, 486); Каир, 1426; Рампур, 1336; Лондон (Брит, музей,

суппл., 833/12).

10. «Книга об элементах науки о музыке» (Китаб устуксат илм ал-мусика). Рукописи: Мадрид (Эскуриал, 602, 906).

11.«Классификация ритмов» (Китаб ихса ал-ика). Рукопись: Стамбул (?) {Библиотека магниса, 1705).

12.«О разрядах наук» (Китаб маратиб ал-улум). Рукописи: Париж (латин., 6298); Оксфорд (библиотека им. Бодлея, 5623/29). Имеется русский перевод [2]. Уз­ бекский перевод опубликован в книге М. М. Хайруллаева «Фараби и его философские трактаты». Ташкент, 1963; казахский — в книге М. У. Искакова и С. Н. На­ зарова «Рассказы о математике и математиках». Алма-

Ата, 1967.

13. «Цель надежды в искусстве песка и исправле­ ние фигур» (Буджийат ал-амал фи сина’а ар-рамл во таквим ал-ашкал). Рукопись: Оксфорд (Бодлея, I, 956).

14.«Трактат о вакууме» (Рисала фи-л-хала). Имеет­ ся русский перевод [36]. Исследования: А. Кубесов и Е. Джаныбеков (журнал «Билим жане Енбек», 1969.

№3 ).

15.«О необходимости искусства алхимии» (макала фи вуджуб ал-кимийа). Имеется русский перевод [36а].

16.«Об основах физики» (Китаб фи-усул илм аттаби’а). Рукописи: Ландберг-Брилл, 570; Манчестр, 377.

21

17. «Комментарии к „Физике” Аристотеля» (Шарх китаб алтаб’и ли-Аристуталис). Имеется средневеко­

вый латинский перевод.

18. «Трактат о делении единицы, или книга об еди­ нице и единстве» (Рисала фи таксим ал-вахид, или ки­ таб ал-вахид ва-л-вахидат). Рукописи: Стамбул (Айя София, 4839/2, 3336/2).

Ибн Аби Усейбиа, аль-Кифти и Штейншнейдер в названных выше библиографических трудах указывают также на следующие сочинения физико-математическо­ го содержания, которые, по-видимому, принадлежат аль-Фараби и не дошли до наших дней.

19.«Введение к воображаемой геометрии» (Китаб ал-мудхал ила ал-хандаса).

20.«Книга об естественной гармонии» (Китаб ас-са-

ма ат-табийа).

21.«Книга о пространстве и количестве» (Китаб фи- л-хаййз ва-л-микдар).

22.«Книга о постоянном движении небосвода» (Ки­ таб фианна харакат ал-фалак да’има).

23.«Комментарии к астрологии» (та’лик фи аннуджум).

24.«Комментарии к книге о силе» (та’лик фи китаб

фи-л-кувва)” .

25.«Книга о предпосылках» (Китаб фи-л-мукадда-

мат).

26.«Книга о высшем влиянии» (Китаб фи та’сират ал-’улвиййа).

27.«Комментарии к книге Аристотеля «Небо и Все­ ленная» (Шарх китаб ал-сама’ва-л-’алам).

28.«Книга о конечной и бесконечной силах» (Китаб фи-л-кувва ал-мутанахиййа ва гаир ал-мутанахиййа).

29.«Об ритмических ударах» (Калам фи-л-накрат мудафан ал-ика).

30.«Книга, помогающая отвечать на вопросы о смыслах вещества, субстанции и природы» (Китаб амлахи ила са’ил са’алахи’ан ма’на л-зат ва ма’на джавахар ва ма’на таби’а).

31. «Книга о части и о том, что не делится на ча­ сти» (Китаб фи джуз’ва ма ла йатаджазэа).

32.«Коротко о музыке» (Калам фи-л-мусика).

33.«Оптика».

22

34.«Послание об астрономических таблицах и проекциях лучей».

35.«Книга созвездий или заметка о созвездиях».

36.«О приспособлениях для весов, сосудов и тому

подобного».

37.«Книга хитростей и законов или „механическое искусство” ».

38.«Достижения счастья [в геометрических нау­

ках] ».

Среди этих трудов математическим проблемам по­ священы следующие дошедшие до нас трактаты аль-

Фараби: математический раздел «Перечисления наук»; тригонометрические главы «Книги приложений к „Алмагесту” » ; «Книга духовных искусных приемов и природных тайн о тонкостях геометрических фигур»; «Комментарии к трудностям во введениях к первой и пятой книгам Евклида»; «Трактат о том, что правиль­ но и что неправильно в приговорах звезд».

Кроме того, нами установлены многочисленные при­ менения аль-Фараби арифметики, геометрии, тригоно­ метрии и других разделов математики в таких капи­ тальных его трудах по математическому естест­ вознанию, как «Большая книга музыки», «Коммен­

тарии к „Алмагесту” », «Книга приложений к „Алма­ гесту” ».

Весьма важные методологические вопросы матема­ тики рассматриваются и в его трактатах «Существо вопросов», «Комментарии к „Категориям” Аристотеля»

и в других философских и натурфилософских сочине­ ниях.

Г Л А В А II

МАТЕМАТИКА И КЛАССИФИКАЦИЯ НАУК АЛЬ-ФАРАБИ

§1. Классификация математических наук

в«Перечислении наук»

Аль-Фараби, крупнейший философ своего време­ ни, много занимался методологическими вопросами науки вообще и физико-математических наук в част­ ности. В этой связи большой интерес представляет дан­ ная им классификация наук своей эпохи.

Одну из первых классификаций наук дал Аристо­ тель. Пытаясь построить единую систему наук, вклю­ чающую все известные в то время отрасли знаний, Ари­ стотель разделяет науки на теоретические («первая философия», физика, математика), практические и творческие. По Аристотелю, к математическим наукам относятся арифметика, геометрия, оптика, гармоника и астрономия. Он категорически возражал против того, чтобы пользоваться в математике движением, и отры­ вал геометрию от арифметики.

На арабском Востоке б.олыпое внимание классифи­ кации наук уделял основоположник арабского перипа­ тетизма Абу Юсуф аль-Кинди (умер ок. 873 г.). Он вы­ двинул учение о трех стадиях научного познания. Пер­ вой из этих стадий аль-Кинди считал логику и матема­ тику, второй — физику (естествознание) и третьей — метафизику. В своем трактате «О количестве книг Ари­ стотеля и о том, что необходимо для усвоения филосо­ фии» аль-Кинди на первое место ставит математиче­ ские науки, логику и физику; по его мнению, без них нельзя понять весь мир в целом, т. е. философию. В классификации аль-Кинди чувствуется большое влия­ ние пифагорейцев, которые знание (Mathemata) разде­ лили на четыре части: арифметику, геометрию, астро­ номию и музыку. Как известно, для пифагорейцев це-

24

лые числа и их отношения являются основой познания окружающего мира и божества.

Аналогично рассуждает и аль-Кинди. Например, он пишет: «В строе наук, в следовании к их пределу и по их истинной очередности первое место принадлежит науке о числе. Ибо если бы не существовало числа, то не было бы ни исчисляемого, ни гармонии чисел, ни вычисляемых линий, поверхностей, тел, отрезков вре­ мени и движений. Значит, если бы не было числа, то не было бы ни науки об измерении площадей, ни звездословия» [37,стр. 50].

Аль-Фараби, хотя и является последователем Ари­ стотеля и аль-Кинди, классификацию наук трактует по-своему, исходя из материалистических позиций. Он по этому вопросу написал сочинение «Перечисление наук», или «Классификация наук». В предисловии, го­ воря о целях при написании этого труда, аль-Фараби пишет: «Мы стремились в этой книге перечислить из­ вестные науки каждую в отдельности, представить пол­ ное содержание и разделы каждой из них, если тако­ вые имеются, привести краткое содержание каждого из этих разделов. И сделаем мы это в пяти главах: I) язы­ кознание и его разделы; II) логика и ее разделы; III) математические науки, т. е. арифметика, геометрия, оп­ тика, математическая астрономия, музыка, наука о тя­ жестях и наука об искусных приемах; IV) физика и ее

Таким образом, математику аль-Фараби подразде­ ляет на семь разделов и определяет предмет каждой из этих наук: «Науки чисел» (арифметики и теории чи­ сел), «Науки геометрии», «Науки оптики», «Науки о музыке», «Науки о звездах» (астрономии и астроло­ гии), «Науки о музыке», «Науки о тяжестях» (стати­ ки) и «Науки об искусных приемах». Арифметику, геометрию, астрономию и музыку он разделяет на тео­ ретические и практические части.

Предшественники (и не только предшественники) аль-Фараби, как правило, к математике относили толь­ ко лишь арифметику, геометрию, астрономию и музыку (квадривиум). Однако еще во времена Аристотеля иног-

25

да и оптику (может, и статику) также рассматривали в числе математических наук; об этом свидетельству­ ет следующее высказывание Аристотеля: «На то же указывают и наиболее физические из математических наук, как-то оптика, гармоника, астрономия» [38* стр. 32]. Аль-Фараби, развивая эту тенденцию, канони­ зирует расширение границы математики за счет при­ влечения «наиболее физических» отраслей математики.

Следует отметить, что до сих пор в историко-фило­ софской литературе «Перечисление наук» рассматри­ валось как сугубо философское сочинение, затрагиваю­ щее отдельные аспекты методологических вопросов классификации наук. При этом указанный трактат часто путают с другим трактатом аль-Фараби «О происхождении наук», который действительно посвя­ щен философскому объяснению и обоснованию проис­ хождения отдельных наук и их классификации по принципу: как следует обучать или обучаться. А в «Пе­ речислении наук» определение предмета каждой нау­ ки органически переплетается с сопровождающим егосжатым, емким и лаконичным изложением ее содер­ жания, поэтому более правы те, кто считал этот труд своеобразной энциклопедией науки средневековья. На наш взгляд, разделы «Перечисления наук» аль-Фараби следует прежде всего рассматривать как маленькие мо­ нографии по той или иной отрасли знания и прини­ мать их во внимание как при изучении уровня отдель­ ных отраслей наук эпохи аль-Фараби, так и при оцен­ ке научных интересов и достижений самого аль-Фара­ би как ученого в целом.

В данной работе математические главы названного' трактата мы рассматриваем с этой точки зрения и приводим анализ их содержания соответственно там* где будет идти речь о трудах аль-Фараби по той или иной отрасли математических наук. Только отметим* что логически правильное членение науки математики аль-Фараби позволило значительно лучше и надежней, чем предшественникам, восполнить пробелы, имевшие место в определении предмета математики и во взаим­ ном разграничении ее роли в познании.

Указанная классификация аль-Фараби легла в дальнейшем в основу классификации математических:

26

наук «Братьев чистоты» (X в.), Ибн-Сины, Р. Бэкона

(1214—1294 гг.) и др.

По классификации «Братьев чистоты», к математи­ ческим наукам относятся арифметика, геометрия, чис­ ловые приемы (тройное правило и др.), астрономия, ма­ тематическая география, музыка.

По Ибн-Сине, математика включает арифметику, -геометрию, астрономию, теорию музыки, а также их ветви: науку о сложении и вычитании, науку алгебры и алмукабалы, науку об измерении, науку механики, науку об астрономических таблицах и календаре и науку о музыкальных инструментах. К «ветвям» наук Ибн-Сина в основном относит дисциплины, которые ■аль-Фараби назвал «наукой об искусных приемах»

{31,стр. 107].

§ 2. «Наука об искусных приемах» как новый раздел математики

Вопрос о сущности математики с древнейших вре­ мен по сей день является одним из дискуссионных про­ блем философии математики. Как известно, Платон (429—348 до н. э.) считал математические понятия ре­ ально существующими в некоем царстве идей; Декарт (1596— 1650) признавал математическое творчество спонтанной деятельностью разума; Кант (1724—1804) рассматривал математические понятия как априорные -формы нашего сознания, врожденные идеи, при по­ средстве которых поступающий от природы «неоргани­ зованный» материал приобретает в сознании человека необходимый, закономерный, чувственный и логиче­ ский характер.

Знаменитый Эйнштейн (1879—1955) в своей книге •«Геометрия и опыт» писал: «...Перед нами возникает -загадка, которая столь беспокоила исследователей всех времен. Почему возможно такое превосходное соответ­ ствие математики с действительными предметами, если сама она является произведением только человеческой мысли, независимо от всякого опыта? Может ли чело­ веческий разум без всякого опыта, путем только одного

размышления, открыть основу существующих вещей?» {3 9 ,стр. 83].

27

Кчислу главных проблем философского характера

вматематике аль-Фараби относит вопрос о предмете, методе и приложениях математики.

Исходя из того, что в основе познания многообразия всего мира лежат познания чисел и величин, аль-Фа­ раби особое значение среди разделов математики при­ дает арифметике и геометрии. По утверждению аль-Фа­ раби, именно эти отрасли математики «проникают во все науки», так как они оперируют понятиями и отно­ шениями отвлеченными, абстрагированными от реаль­ ных предметов и от реально существующих взаимосвя­ зей и взаимоотношений между этими предметами. Он считал, например, что без арифметики и геометрии нельзя «узнать пути планет и противостояния их в их собственных небесах, их движения и отступления».

Аль-Фараби свои математические знания использу­ ет и для разработки теории музыки. Он правильно по­ нимает и объясняет взаимоотношения практической и теоретической части каждой из этих наук. Большой ин­ терес в этой связи представляет определение аль-Фара­

би в «Перечислении наук», данное последнему разде­ лу математики — «науке об искусных приемах» (илм ал-хийал) как науке о применении математики к прак­ тике, т. е. как прикладной области математики. По это­ му поводу аль-Фараби пишет: «Что касается науки об искусных приемах, то это учение о том, каким образом надо поступать для того, чтобы привести в соответствие и воплотить в естественных телах все то, существование чего доказано в упомянутых математических науках путем рассуждений и доказательств. Все эти науки на самом деле рассматривают линии, поверхности тела, число и тому подобное, как понятия, отвлеченные от естественных тел. При обнаружении и выявлении того, что желательно получить с помощью искусства в есте­ ственных ощущаемых телах,. необходима такая сила, которая позволила бы их найти. Поскольку ощущаемые тела и материальные вещи имеют такие состояния, ко­ торые мешают применять доказанные математические положения на практике по желанию человека, необхо­ димо подготовить естественные тела для применения в них этих математических положений так же, как не­

28

обходимо создать приспособление для устранения пре­ пятствий.

Таким образом, наука об искусных приемах — это учение, дающее разные способы и приемы для нахож­ дения искусственным путем применения математики на практике в естественных и ощущаемых телах [11»

стр. 32—33].

Здесь аль-Фараби в несколько завуалированной фор­ ме правильно подметил объективный характер приме­ нимости, приложимости математики к реальной дей­ ствительности, к практике. Это аль-Фараби объясняет объективным характером математических понятий и положений, так как все они получены путем отвлече­ ния от реальных предметов, от естественных тел. Сле­ дует отметить, что во взглядах на применение матема­ тики к практике, к изучению явлений природы Аристо­ тель и аль-Фараби стоят на различных позициях. На­ пример, Аристотель утверждал, что «математические предметы чужды движению, за исключением тех, кото­ рые относятся к астрономии» [40, стр. 33].

Резко отделив математику от «физики», предметом которой являются движение и изменение, Аристотель считал невозможным выводить физические учения из отвлеченных математических понятий. По Аристотелю, «физика», связанная с материей и движением, не под­ дается полной математизации, так как математика якобы отвлекается от движения. В отличие от Аристо­ теля аль-Фараби не исключает полной математизации науки, связанной с материей и ее движением. Наоборот, он утверждает, что возможность применения матема­ тических методов не ограничена. Правда, он указывает, что «ощущаемые тела и материальные вещи имеют та­ кие состояния, которые мешают применять доказан­ ные математические положения на практике по жела­ нию человека». Поэтому, утверждает аль-Фараби, нуж­ на особая математическая наука, с помощью которой потенциально возможна полная математизация наук о природе, и эту науку он называет «наукой об искусных приемах». Как пример этого можно указать на решение аль-Фараби многих задач на построение с помощью ме­ ханических средств, а также успешное применение им математики к изучению музыкальных (колебательных)

29

явлений. Это начинание аль-Фараби было в дальней­ шем блестяще развито «Братьями чистоты», Ибн альХайсамом, Насром ад-Дином ат-Туси, Р. Бэконом и др.

Термин «искусные приемы» (хийал) является пере­ водом греческих слов techne mechanike, первоначаль­ но он означал механику в смысле учения о механизмах и автоматах. В частности, этому учению было посвяще­ на «Книга механики» (Китаб ал-хийал) багдадских уче­ ных IX в. братьев Бану Муса ибн Шакир.

Впервые применение термина «искусные приемы» в более широком смысле мы встречаем у предшественни­ ка аль-Фараби «философа арабов» Якуба аль-Кинди (умер ок. 873 г.), которому, как сообщает историк Ибн

ал’ададиййа ва илм идмарка), рукописей которого не сохранилось. Аль-Фараби, развивая идею аль-Кинди, рассматривает эту науку в более общем смысле как науку о приложении математики к решению практиче­ ских задач и, кроме того, распространил этот термин на «духовные искусные приемы», в частности на алгебру и другие методы решения числовых задач.

Смысл рассуждений аль-Фараби о методе примене­ ния математики сводится к тому, что конкретное явле­ ние, становясь объектом изучения математики, теряет некоторые свои частные индивидуальные черты. В свя­ зи с этим приходится каким-то адекватным способом создать простую и ясную картину изучаемого явления, что приводит к отвлеченной идеализированной схеме явления, встречаемого в действительности. Здесь аль-Фараби высказал основной принцип применения ма­ тематических методов, заключающийся в том, что для построения математической модели рассматриваемого объекта, т. е. для составления тех или иных соотноше­ ний, описывающих поведение этого объекта, учитыва­ ются лишь наиболее существенные факторы, опреде­ ляющие именно те черты поведения объекта, которые в данном случае интересуют исследователя, и отбрасыва­ ются менее существенные.

Пути применения математики к изучению действи­ тельной реальности аль-Фараби видит в том, чтобы су­