книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби
.pdf100
Подставляя эти значения хорд в равенство (2), полу чим указанную формулу:
sin(a—P) = sina-cosP— sinp-oosa.
В восьмой главе «О нахождении величины хорды половины дуги с известной хордой» аналогичным об разом доказывается
2sin2-^- = l —cosa.
В девятой главе «О нахождении величины хорды суммы двух дуг, хорды которых известны» доказыва ется правило, равносильное нашей формуле:
sin(a + P)=sina •cosp + sinp •cosa.
В десятой главе «О предпосылке для того, что будет позже» доказывается, что если а > р , то
chda - а.
сыр ’
по формуле (1) равносильно тому, что если а>{5, то
sin « ^ a
sin Р |
р |
Эта интерполяционная лемма играет особую роль при вычислении хорды и синуса одного градуса.
В одиннадцатой главе «Об установлении хорды од ного градуса и составлении с помощью ее других хорд» содержатся основы составления таблиц хорды, синусов и косинусов. Аль-Фараби, следуя Птолемею, сначала находит хорду дуги разности 72°—60°— 12°, а затем по-
следовательно определяет хорды 6°, 3°, 1,5°, 3°
Затем аль-Фараби с помощью доказанной леммы по лучает неравенства:
chdl°:chd^- <1: ,
chdl° < •chd |
1Р2!\9"Ь2"' и |
101
chd -f-: c h d l° < - | -:l,
chdl°>-|-chd-|^«lJ’2,49"48,// .
Таким образом, по аль-Фараби,
1*2,49/,48,// < ch d l°< 1*2,49//52,,/.
Затем он пишет: «Если одна и та же хорда одно.го гра дуса один раз меньше, а другой раз больше вещей, раз ность (тафавуат) между которыми незначительна, раз делим эту разность пополам и прибавим к меньшему* [11, стр. 72]. Поэтому за приближенное значение хорды одного градуса аль-Фараби принимает среднее арифме тическое двух найденных значений:
c h d l°«l* , 2/49"50/"
При этом аль-Фараби применяет особый термин «тафа вуат» — разность, который означает разность границ искомой величины.
Хотя метод вычисления хорды одного градуса, при мененный аль-Фараби, по существу, совпадает с мето дом Птолемея, однако аль-Фараби значительно улучша ет точность вычислений Птолемея путем совершенство вания приемов вычислений над шестидесятеричными дробями.
Для сравнения точности приемов вычисления альФараби и Птолемея приводим ход рассуждений послед него. Птолемей также рассматривает те же неравенства отношений, полученные с помощью указанной интерпо ляционной леммы. Он находит, во-первых:
ch d l°:ch d -f-< l: -J -,
chdl0 < • (Р47'8",
c h d l° < lJ'2,50//
и, во-вторых:
102
ch d -f:ch d l°< 5 :1,
chdl°> -J- •l p34'15" ,
chdl° > l p2/50//.
Дальше Птолемей пишет: «Таким образом, посколь ку доказано, что стягивающая градус хорда будет и больше и меньше одного и того же числа, то мы, ко нечно, и возьмем ее равной приблизительно 1р2/50//».
Таким образом, Птолемей получает для определения значения хорды одного градуса неравенство:
1Р г'бО^С ch dl°< 1р2'50".
Если значение хорды одного градуса, найденное Птолемеем, точно до пяти десятичных знаков, то у аль-Фараби оно точно до шести десятичных знаков включительно.
Далее аль-Фараби по значению ch d l°» 1 р2/49//50,// находит chdl790^ ПЭ^бЭ^З^ЗЗ"', откуда получает
sinl0« l J,2,49"43"/ и coslo« 5 9 J’59'27"30'".
Значение косинуса одного градуса необходимо аль-Фараби для вычисления тангенса и котангенса од ного градуса, которое в свою очередь необходимо для составления таблиц этих функций. В десятичных дробях приближения аль-Фараби для sinl0 будет 0,017452389 вместо правильного 0,017452406.
Указанное достижение аль-Фараби по улучшению точности вычислений синуса одного градуса в дальней шем было развито Абу-л-Вафой, Ибн Юнусом (950— 1009) и др. Так, например, ученик Абу-л-Вафы Ибн Юнус вычислил sinl°, несколько улучшив способ Пто лемея и аль-Фараби. Он при этом исходит из более близких к 1° значений аргумента. По sinl8° и sinl5°
9° |
. 15° „ |
вычисляются sm -5- |
и sm — . При этом он по методу |
о |
1о |
Птолемея получает для разности границ значений sinl°, 5"'6lV (по аль-Фараби «тафавуат»). Однако Ибн Юнус разделит эту разность не пополам, как это делает
103
В десятичных дробях приближение Ибн Юнуса бу дет 0,0174524279 и точно до 10~7.
Венцом достижений математиков стран ислама в этом направлении явились знаменитые исследования аль-Каши [78, стр. 311— 319].
§4. Вопросы сферической тригонометрии
Впервоначальной стадии развития тригонометрии отдельные вопросы сферической тригонометрии, буду чи непосредственно связанными с астрономией, стояли на первом плане.
А
С
[Рис. 33]. |
[Рис. 34]. |
Основным средством для решения различных сфе рических треугольников для греческих ученых и уче ных стран ислама (особенно в первых порах) служила упомянутая выше теорема Менелая, которую восточ ные математики называли «теоремой о секущих» (Шакл ул-кита). Слово «шакл-ул-кита» означало и «фигуру се кущих». Иногда арабоязычные авторы называли ее «правилом шести величин» и подобно грекам выража ли ее с помощью составных отношений.
Теорема Менелая в сферическом случае в современ ных обозначениях имеет вид [рис. 33].
sin С А |
sin С Е |
sin F В |
sin A D |
sin E F |
sin B D ' |
104
С помощью этой теоремы Птолемей в «Алмагесте» ре шил четыре случая прямоугольного треугольника: 1) по катетам, 2) по катету и гипотенузе, 3) по гипоте нузе и прилежащему углу, 4) по катету и противоле жащему углу.
Однако применение теоремы Менелая и нахождение ее разновидности для различных случаев треугольни ка, связанные с преобразованиями составных отноше ний, было довольно хлопотным и доставляло немало неудобств математикам.
Поэтому арабские математики IX —X вв. предпри нимали ряд попыток заменить теорему Менелая более простыми для применения предложениями. Первые шаги были сделаны еще во времена Сабита ибн Корры, который доказал теорему синусов для частного случая сферического прямоугольного треугольника. Это начи нание было в дальнейшем успешно подхвачено альБаттани, ан-Найризи и аль-Фараби, каждый из кото рых, по-видимому, самостоятельно осуществил переход от правила шести к правилу четырех величин.
Впрочем, уже в «Алмагесте» Птолемея встречают ся задачи, которые, по существу, решаются с помощью этого правила. Правда, там это правило еще не выде лено как самостоятельная теорема, что было сделано
восточными математиками, а выступает |
в виде кон |
кретной задачи сферической астрономии. |
Примером |
может служить задача нахождения дуг |
горизонта, |
отсекаемых равноденственным и косым кругами, кото рая рассматривается в главе 2 второй книги «Алмагеста» [79, стр. 61]. Здесь Птолемей, подобрав две дуги, равные четверти круга, из теоремы Менелая, т. е. из правила шести величин, переходит к правилу четырех величин.
Суть правила четырех величин заключалась в том, что если ЕС и DB — дуги больших кругов, пересекаю щихся в точке А, а BE и ВС — дуги больших кругов, проведенные перпендикулярно к АС (рис. 34), то имеет место следующая пропорция:
sin.4,D__ sin^S sin D E sin В С ’
Это правило является следствием применения
105
«предложения, освобождающего от секущих» для пря моугольных сферических треугольников АВС и ADE с общим углом А и с прямыми углами С и £ . Под «пред ложением, освобождающим от секущих», в то время понималась сферическая теорема синусов, которая для треугольника АВС со сторонами о, Ъ, с имеет вид:
sin А __ |
sin -В |
sin С |
sin a |
sin Ъ |
sin с |
Аль-Фараби в дополнительной книге своих «Ком ментариев к „Алмагесту” » дает одно доказательство этой теоремы. Он пишет: «Если два больших круга, например АВ и АС, пересекаются в точке А, а на од ном из них отмечены две точки, например В и D, и
С
[Рис. 36].
проведены из них две дуги больших кругов, которые, пересекаясь с другой, образуют дуги ВС и DE, а также известно, что, проведенные через полюс А, они перпен дикулярны к дуге АВ, то мы утверждаем, что отноше ние синуса АС к синусу АЕ равно отношению синуса ВС к синусу DE.
Доказательство этого. Пусть центр сферы — точ ка G [рис. 35]. Проведем линию СЕН.,.; пусть эта ли ния пересекается с линией \GA\, проведенной из цен тра G в точке Н; проведем GB и GD; опустим CF пер пендикулярно на GB, ЕК — перпендикулярно на GD, которые есть синусы соответственно дуг ВС и DE, по тому что они перпендикулярны на пересечении двух
106
взаимоперпендикулярных (плоскостей. А именно: плос кость круга АВ перпендикулярна к плоскости как круга ВС, так и круга ED, поэтому последние между собой па раллельны. Соединим F и К на плоскости круга АВ, сое диним К и Н ; все они по доказанному в предложении о секущих находятся на одной прямой. Следовательно, в треугольнике CFH линия ЕК параллельна [CF]... По этому СН, т. е. синус АС, относится к ЕН — синусу АЕ как FC, т. е. синус ВС, к ЕК, т. е. синусу DE» [54,
стр. 215—216].
Аль-Фараби при этом замечает, что это предложе ние позволяет решать многие задачи астрономии без привлечения составных отношений.
В своей «Книге приложений» аль-Фараби вопросам сферической тригонометрии посвятил еще несколько глав. Это и естественно, так как в этом труде он ста рался фактически заново решать многие задачи «Алмагеста» Птолемея на основе современных ему достиже ний физико-математических наук, в первую очередь тригонометрии. К сожалению, в рукописи отсутствуют именно те главы (22—26), в которых, по-видимому, альФараби доказал теоремы сферической тригонометрии,
предназначенные для решения сферических |
треуголь |
ников. |
ссылкам |
Однако многое можно восстановить по |
|
аль-Фараби, сделанным им в дальнейшем |
в процессе |
решения астрономических задач, а также |
по способу |
решения самих этих задач. Так, аль-Фараби в двадцать седьмой главе* при определении широты Луны ссы лается на теорему, доказанную им в двадцать шестой главе, которая не что иное, как теорема тангенсов для сферического прямоугольного треугольника, точнее, следствие теоремы тангенсов для двух прямоугольных сферических треугольников ADE и АВС с общим уг лом А и с прямыми углами Е и С, которое можно запи сать так:
sin A D |
tg D E |
sin A B |
tgB C |
Отметим, что открытие этой теоремы многими ис
* Перевод этой главы мы приведем в следующей главе дан ной работы.
107
ториками математики до сих пор приписывалось Абу- л-Вафе, что, оказывается, не совсем правильно.
В следующей главе аль-Фараби пользуется и пра вилом четырех величин. Доказательства этих теорем мы приводим по Абу-л-Вафе, который как ученик и последователь аль-Фараби вполне мог быть хорошо знаком с его исследованиями и в этой отрасли матема тики. «Если дуги АВ и АС [рис. 38] двух больших кругов пересекаются на поверхности сферы в точке А, а на окружности АВ предположены точки В, D и про ведены две дуги DE и ВС больших кругов, перпенди кулярных к дуге АС, то я утверждаю, что синус AD относится к синусу АВ, как синус дуги DE к [синусу] дуги ВС, а они обе перпендикулярны к дуге АВ. Поэто му синус дуги AD относится к синусу дуги АВ, как тангенс DE к тангенсу ВС.
Доказательство этого. Предположим, что центр сфе ры — точка G. Проведем линии AG, GC, FG. Опустим из точек В и D перпендикуляры ВН и DI [соответствен но] на линии CG и EG. Так как CG и EG — в плоскости круга AGC, то ВН и DI — перпендикуляры на плос кость ACG. Также опустим из точек В и D [перпенди куляры BL и DK на линию AG], Проведем линии HL, IK. Поэтому так как линия ВН и BL [соответственно] параллельны линиям DI и DK, то углы LBH и KDI, ВНЕ и KID равны. Поэтому треугольники ВНЕ и DIK подобны. DK, т. е. синус AD, относится к BL, т. е. к синусу АВ, как DI, т. е. синус- DE, к ВН, т. е. к синусу ВС [а это как тангенс DE к тангенсу ВС]» [80, стр. 150].
Другие разновидности доказательств этих предло жений мы находим у Абу-Насра-ибн Ирака (X—XI вв.), аль-Бируни,. Кушияра аль-Джили (ок. 970— 1029), Насра ад-Дина ат-Туси и др.
Тригонометрические исследования аль-Фараби яви лись важным вкладом в развитие жак плоской, так и сферической тригонометрии. Эти исследования успеш но применялись им к астрономии, поскольку во време на аль-Фараби тригонометрические методы создавались главным образом как математический аппарат решения различных астрономических задач. Поэтому рассмо трим применение аль-Фараби тригонометрических ме тодов к астрономии.
Г Л А В А V
ПРИМЕНЕНИЕ АЛЬ-ФАРАБИ ТРИГОНОМЕТРИИ В АСТРОНОМИИ
§ 1. Сочинения аль-Фараби по математической астрономии
С тригонометрией аль-Фараби тесно связана его ма
тематическая астрономия. |
В «Перечислении наук» |
||||
предмет астрономии он определяет следующим |
обра |
||||
зом: «Что касается «науки о звездах», |
то под |
этим |
|||
названием понимаются две науки: первая — наука |
о |
||||
приговорах звезд, это наука об указаниях светил |
на |
||||
то, что произойдет в будущем, на многое из |
того, |
что |
|||
имеется сейчас, на многое из того, что было |
раньше. |
||||
Вторая — математическая |
астрономия, |
это она отно |
|||
сится к наукам и математике, что же касается первой, то она относится к способностям и ремеслам...» [11,
стр. 26].
Таким образом, аль-Фараби, отнеся астрологические предсказания к ремеслам, подчеркивает, что только, математическая астрономия относится к наукам. «Ма тематическая астрономия,— пишет аль-Фараби,— изучает небесные светила и землю по трем направле ниям: во-первых, устанавливает их формы и положе ния одних по отношению к другим, их порядок в ми ре, их объемы и отношения одних к другим, расстояния одних от других, что Земля в целом не движется ни со своего места, ни на своем месте» [11, стр. 27].
Здесь аль-Фараби придерживается общепринятых в то время догм геоцентрической системы Птолемея о неподвижности Земли во Вселенной.
Второй раздел математической астрономии, по альФараби, изучает движения небесных светил, в частно сти «определяет способ нахождения места каждого светила в частях знаков Зодиака в любое время при
109
всех видах движения» [11, стр. 27]. Здесь знаки Зо диака (бурудж) — участки эклиптики по 30°, которые соответствуют 12 созвездиям Зодиака.
Далее о предмете этого раздела математической ас трономии аль-Фараби пишет: «...Объясняет так же все то, что присуще всем небесным телам и каждому из них в отдельности: движения, которые им присущи, когда они находятся на эклиптике, и то, что вытекает из сравнения их друг с другом, а именно: их соедине ния, сближения, расхождения и различные положения по отношению друг к другу» [11, стр. 27—28].
Рассуждения аль-Фараби надо понимать так: если ввести на небесной сфере систему эклиптических, т. е. сферических координат, роль экватора которой играет эклиптика, то соединением двух светил называется совпадение эклиптических долгот; сближением двух светил называется такое их положение, когда они нахо дятся в одном знаке Зодиака. Под различными положе ниями расхождения светил имеются в виду их проти востояния (когда их эклиптические долготы отлича ются на 180° или находятся в противоположных зна ках Зодиака), квадратура (когда их эклиптические дол готы или знаки Зодиака отличаются на 90°), тригональный аспект (когда их эклиптические долготы или знаки Зодиака отличаются на 120°) и т. д.
Этот же раздел математической астрономии, по аль-Фараби, рассматривает также «все, что вытекает из их движений и, кроме того,, из их отношения к Зем ле, как, например, затмения Солнца, и из того, что про исходит из-за нахождения Земли на том месте, которое она занимает в мире, например, затмения Луны и дру гие вытекающие явления, например, восходы и заходы и т. д.» [11, стр. 28].
Третий раздел математической астрономии, по альФараби, в основном посвящен математической геогра фии, теории календаря, в частности математической хронологии. В него входит также составление геогра фических таблиц, т. е. список городов с их географиче скими координатами, имевшийся в «Географии» Пто лемея и в географических трактатах многих ученых ислама. Кстати заметить, аль-Фараби в своих «Ком ментариях к „Алмагесту” » указывал, что он собирается