книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби

60

нию ЕР, равную линии CI, и линию DS, равную линии СВ. Соединим точки С, N, X, О, Р и S и выполним ле­ кало по этой линии. Затем изготовим зеркало из ме­ талла, например железа, бронзы, меди или цинка, и, если возможно, отполируем его до блеска. Если зеркало получилось кривое, исправим его по лекалу, наложив лекало на зеркало таким образом, чтобы точка С сов­ пала с серединой лекала, и добьемся того, чтобы зерка­ ло совпало с лекалом. Тогда мы получим зажигатель­ ное зеркало с большой зажигательной силой» [11,

стр. 103—104].

Если ввести систему декартовых координат с нача­ лом в точке С, то нетрудно видеть, что координаты по­ лученных точек действительно удовлетворяют уравне­ нию параболы у2 = 2рх; например, из прямоугольного

О втором способе построения параболы аль-Фараби пишет: «Если мы хотим построить это, то построим про­ извольное расстояние, пусть его половина — линия АВ„ и продолжим ее в ее направлении до точки С. Восста­ новим в точке В линию DB, перпендикулярную к ВС в

лам в точке М и из центра М на расстоянии МА опи­

62

Оба эти построения раньше не встречались: по-ви­ димому, они принадлежат самому аль-Фараби.

Построением конических сечений в дальнейшем за­ нимались Ибн-Синан (908—-940), ас-Сиджизи (ок. 951— 1024), аль-Кухи (X в.) и другие ученые [63, стр. 54—- 55]. Геометры средневекового Востока умели строить по точкам и эллипсы, и гиперболы. Кроме того, им бы­

зываемый «совершенным циркулем», с помощью кото­ рого можно проводить дуги эллипсов, парабол и гипер­ бол любого эксцентриситета.

§5. Построение правильных многоугольников

В«Началах» Евклида рассмотрено построение пра­ вильных многоугольников, осуществляемое с помощью

циркуля и линейки (п== 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15). По­ строение правильных многоугольников, не осуществи­ мое только циркулем и линейкой, Евклид не рассма­ тривал.

Во второй книге геометрического трактата аль-Фа­

Jраби приводит способы построения правильных многоугольников «на данной линии», которая

рассматривается как сто­ рона многоугольника для всех п — от 3 до 10.

Приводим ход постро­ ения семиугольника, сто­ роны которого не могут быть построены с помо­ щью циркуля и линейки. Он пишет: «Если он ска­ зал : как построить на ли­ нии АВ равносторонний семиугольник, то сдела­

ем линию ВС, равной линии АВ, построим на линии АС равносторонний треугольник ВАС и опишем около треугольника ADC круг. Проведем в нем хорду — ли­ нию АЕ, равную линии АВ, и разделим АЕ пополам в

63

точке G, восставим перпендикуляр GH и продолжим его до окружности круга [рис. 8]. Разделим АВ попо­ лам в точке F, восставим в ней перпендикуляр FI, рав­ ный перпендикуляру GH. Проведем через точки А, В и

«2Д 8т25°43'л ; R •0,868. Поскольку аль-Фараби здесь принимает а3= 2о7, то его построение дает отрезок, равный половине стороны равностороннего треугольни-

7? /" о ~

ка, вписанного в тот же круг, т. е. —j — « R- 0,866. Это

приближенное значение совпадает с величиной, приве­ денной в «Метрике» Герона. Правда, здесь аль-Фараби не отмечает приближенного характера своего построе­ ния, но он говорит об этом в другом месте, когда рас­ сматривает аналогичное построение семиугольника, вписанного в круг [П . стр. 126]. Позднее математики эту задачу свели к неприводимому уравнению третьей степени.

К категории таких задач, не разрешимых с помо­ щью циркуля и линейки, относится и задача построе­ ния правильного девятиугольника. Еще Герои (I в. до н. э.) дал приближенное выражение ее стороны через радиус описанного круга [64]. Построение девятиуголь­ ника аль-Фараби основано на трисекции, которое имеет вид: «Если он сказал: как построить на линии АВ равносторонний и равноугольный девятиугольник, то опишем круг CDE произвольного размера с центром в точке G, отметим на нем точку С, примем ее за центр

ина расстоянии полудиаметра круга отметим [точки] Е и D. Разделим дугу DE ца три равные части [рис. 9]. Пусть одна такая дуга — ЕЯ. Проведем линии EG, ЕЯ

иHG. Проведем между линиями EG и HG линию FI,

равную линии АВ и параллельную линии ЕЯ. Примем точки А и В за. центры и на расстоянии FG опишем кру­ ги, которые пересекутся в точке К. Примем точку К за центр и на расстоянии КА [опишем] круг ABL. Разде-

6 4

лим дугу ALB на восемь равных частей и соединим эти точки деления хордами. Получится равносторонний и равноугольный девятиугольник на линии АВъ [11,

стр. 113— 114].

Аль-Фараби здесь сторону правильного девятиуголь­ ника определяет с помощью трисекции дуги, равной одной трети окружности. Тогда ее значение с точно­

приближение лучше, чем значение стороны девяти­ угольника, полученное Героном, по которому она равна двум третьим радиуса, т. е. R •0,667 [65, т. 1, стр. 365]. В дальнейшем аль-Бируни, Абу-л-Джуд (XI в.) и др. задачу построения стороны правильного девятиуголь­ ника сводили алгебраически к неприводимым уравне­ ниям третьей степени ж3 + 1= 3я;, х3= 1 -ЬЗх3, что, в свою очередь, использовалось для вычисления синуса одно­ го градуса.

Третья книга трактата посвящена построениям пра­ вильных многоугольников, вписанных в круг, для п = = 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10. Проведя касательную к кругу в вершинах вписанного многоугольника, аль-Фараби строит также многоугольник, описанный около круга.

В четвертых и пятых книгах приведены способы по­ строения кругов, описанных около многоугольника, и построение круга, вписанного в треугольник. Для по-

66

BG и BH, пересекающие линии AD и DC в точках F и I, и соединим FI. Получим равносторонний треугольник BFI, вписанный в квадрат ABCD» [11, стр. 133—134]. Правильность вписанного в квадрат треугольника BIF вытекает из того, что

A.IBF— Z_BFI=Z-FIB - 60°.

Е

[Рис. 12].

При некоторых построениях здесь аль-Фараби успешно пользуется методом гомотетии. Так, например, в по­ строении треугольника, описанного около квадрата, он искомый треугольник получает гомотетией из некоторо­ го вспомогательного. По этому поводу аль-Фараби пи­ шет: «Если он сказал: как построить равносторонний треугольник, описанный около квадрата ABDC, то по­ строим на линии АВ равносторонний треугольник АВЕ, продолжим линии ЕА, ЕВ в их направлении [рис. 12]. Продолжим также линию CD в ее направлениях до пересечения с продолжением ЕА, ЕВ в точках G и Н. Тогда получим равносторонний треугольник EGH, опи­ санный около квадрата» [11, стр. 136].

Здесь доказательство правильности построения вы­ текает из ААЕВ ~ AGEH (центр гомотетии — точка Е).

§ 6. Преобразование многоугольников

Задача, аналогичная теореме Пифагора, в которой требуется построение квадрата, равновеликого двум данным квадратам, является исторически одной из пер­

67

вых задач на преобразование многоугольников. Она рассматривалась еще в указанной выше индийской ма­ тематической книге «Правила веревки» [56, стр. 113— 114].

В планиметрических книгах «Начал» Евклида встречаются различные построения на геометрические преобразования: параллелограмма, равновеликого дан­ ному треугольнику и данному многоугольнику, прямо­ угольника, равновеликого данному квадрату, и квадра­ та, равновеликого многоугольнику.

В седьмой и восьмой книгах трактата аль-Фараби даны многие задачи на преобразование треугольников и четырехугольников, среди которых задачи разделе­ ния треугольника и четырехугольника на равные ча­ сти, увеличение или уменьшение их в несколько раз, задачи деления на части с оставлением «пути» данной ширины и др. При этом применяются различные мето­ ды преобразования. Так, например, при построении треугольников, больших или меньших в га раз, чем дан­ ный треугольник, аль-Фараби успешно пользуется как гомотетией, так и преобразованием, представляющим собой, по существу, растяжение от прямой.

Из таких задач отметим построение квадрата, гомо­

комого квадрата. Эти рассуж­ дения в изложении самого аль-Фараби выглядят таким

образом: «Если он сказал: как увеличить квадрат ABDC на равный тому, что на рисунке, так, чтобы уве­ личение происходило с каждой стороны, то продолжим линию DB в ее направлении до точки Е так, чтобы BE была равноудвоенной BD [рис. 13]. Опишем на линии

68

DE полукруг EGD, продолжим линию АВ до точки G, отложим от каждой из сторон квадрата линии, равные половине линии AG, и дополним квадрат; получится увеличение квадрата ABCD на равный ему.

Аналогично мы поступим, если хотим увеличить его в несколько раз: в этом случае сделаем линию BE рав­ ной линии BD, взятой это число раз» [11, стр. 167— 168].

Здесь правильность построения основана на соотно­ шении

BG2= D B B E и BG2=nD B 2.

В девятой книге, посвященной преобразованию в квадрат суммы нескольких других квадратов и разло­ жению квадрата на сумму нескольких других, аль-Фа­ раби дает решение ряда интересных задач.

[Рис. 14].

Приводим решение его задачи о построении квадра­ та, равновеликого трем данным квадратам, методом, удобным для ремесленников. Он пишет: «Если мы хо­ тим построить это из трех равных квадратов ABCD, EPGH и FIKL, то разделим два из этих квадратов их диагоналями на две части, проведя BD и PG, и распо­ ложим их на сторонах [третьего] квадрата. Затем соединим [вершины] прямых углов треугольников ли­ ниями BG, GP, PD и DB [рис. 14]. По каждую сторону

69

от стороны треугольника имеется малый треугольник, равный треугольнику, выделяемому из большого тре­ угольника. Поэтому треугольник ВСМ равен треуголь­ нику MFG, так как угол С — половина прямого и угол MFG — половина прямого, два вертикальных угла тре­ угольников при М равны, сторона ВС равна стороне FG, поэтому остальные стороны одного треугольника равны остальным сторонам другого треугольника и один тре­ угольник равен другому треугольнику. Если мы поме­ стим треугольник ВСМ на место треугольника MFG, то линия BG будет стороной квадрата, состоящего из трех квадратов. Этот способ правильный и самый близкий [к истине], так как он установлен с помощью доказа­ тельства» [11,стр. 198— 199].

Таким образом, метод аль-Фараби состоит в том, что из трех данных квадратов два делятся диагоналями по­ полам и полученные четыре треугольника приклады­ ваются к третьему квадрату так, как показано на чер­ теже. Далее вершины этих треугольников, лежащие против сторон квадрата, соединяют отрезками пря­ мых, и частями треугольников, отделенными этими от­ резками, заполняют пустые места, ибо узкие треуголь­ ники, выступающие за полученным квадратом и вхо­ дящие в него, конгруэнтны. ((Для образца аль-Фараби доказывает конгруэнтность треугольников ВСМ и

MFG.)

Заметим, что принципиально эта задача является частным случаем предыдущей задачи, но ремесленни­ кам надо было дать рецепт раскроя трех равных ква­ дратных листов или пластинок на такие части, из ко­ торых можно сложить большой квадрат. Аль-Фараби доказывает, что методы, применяемые ремесленника­ ми для решения этой задачи, неправильны.

Большой интерес представляет преобразование альФараби в один квадрат двух квадратов с произвольны­ ми неравными сторонами. Эти квадраты не состоят из равных малых квадратов и поэтому площадь искомого квадрата заранее неизвестна. Ученый предлагает сле­ дующий способ построения этой задачи: «Если мы хотим построить этот квадрат, то наложим малый ква­ драт на большой квадрат так, чтобы один его угол сов­ падал с одним из углов большого квадрата, а две сто­