книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби

80

местонахождения и по отношению к любому месту земли, расстояние небесных тел и их размеры, кото­ рые можно определить по их параллаксам. Словом, можно определить всякие искомые величины—размеры или расстояния от чего-то лишь если зрение попадает на них, причем в некоторых случаях во избежание оши­ бок применяются инструменты, в других инструменты не применяются» [11, стр. 23—24].

Здесь аль-Фараби имеет в виду решения с помощью методов тригонометрии и геометрической оптики раз­ личных геодезических, астрономических задач на оп­ ределения недоступных расстояний, размеров земных и небесных тел и др. Причем в некоторых случаях пред­ полагается применение инструментов и приборов.

Далее он рассматривает четыре вида лучей — пря­ молинейные, изогнутые, отражающие и преломляю­ щиеся, дает характеристику каждому из них.

По его определению, «прямолинейные — такие, ко­ торые, выходя из глаза, распространяются в прямом на­ правлении зрения, пока не исчезнут», «изогнутые — та­ кие, которые, выходя из глаза, встречают на пути зер­ кало, препятствующее их распространению по прямой

глаза которого они вышли. И сам наблюдатель видит эти лучи», «Преломляющиеся — это такие лучи, кото­ рые возвращаются из зеркала в сторону наблюдателя, из глаза которого они вышли, и от него они продолжают отклоняться в одну из сторон и попадают на какую-то другую вещь либо сзади наблюдателя, либо справа, ли­ бо слева, либо над ним, и человек видит то, что сзади него или то, что с любой другой стороны. Это происхо­ дит по этому чертежу» [рис. 23].

Заметим, что аль-Фараби по традиции греков счи­ тает, что лучи, с помощью которых осуществляется зре­ ние, выходят из глаза. Такой точки зрения придержи­ вались пифагорейцы и Евклид в своей «Оптике», а

82

ных зеркал и т. д. «Среди них,— пишет аль-Фараби,— искусные приемы изготовления оптических приборов, которые управляют зрением в восприятии истинного положения вещей, рассматриваемых с далекого рас­ стояния; изготовление зеркал, нахождение места воз­ вращения лучей при их изгибании, отражении и пре­ ломлении, а также возвращение солнечных лучей и лучей других небесных тел, откуда возникают искусст­ во зажигательных зеркал и его искусные приемы»

[11,стр. 35].

Работы аль-Фараби геометрического содержания показывают, что он был крупным геометром и наряду с решением методологических проблем и конкретных задач геометрии выдвигал очень важные абстрактные геометрические идеи.

§10. Аль-Фараби и Леонардо да Винчи

Внаучном творчестве Леонардо да Винчи [1452— 1519] можно ясно проследить влияние науки Востока. Оно подтверждается тем, что научные записи Леонардо

вего записных книжках написаны по арабскому об­ разцу справа налево (зеркальными буквами), а нуме­ рация страниц в них (также по-арабски) противополож­ на европейской. Мы рассматриваем следующие изда­ ния записных книжек Леонардо да Винчи: рукописи французского Института (Париж) [70], «Атлантиче­ ский кодекс (Милан) [71], «Кодекс Форстрера» (Лон­ дон) [72] и «Кодекс Арунделла» [73] (частичный рус­

ский перевод этих записных книжек — в книге [74]). В «Атлантическом кодексе», перечисляя книги, ко­ торые он собирается прочесть, Леонардо писал: «Alcibra в семье Марлиани, написанная их отцом... Предло­ жения Алькинди с примечаниями Малиани у мессера Фацио» [71, л. 225]. Alcibra — транскрипция арабского названия алгебра — ал-джабр, «Алькинди» — упомя­ нутый выше арабский философ и математик аль-Кин­ ди. В других рукописях Леонардо мы находим записи: «Прикажи перевести Авиценну «О полезных вещах» [72, т. 1, л. 13]. «Авиценна о тонкостях в человече­ ском организме» [70, т. 4, обложка] (Авиценна — из­

83

вестный среднеазиатский врач и философ Ибн-Сина). Заметка Леонардо «Тебит» [70, т. 5. М., л. 11] свиде­ тельствует о его знакомстве с именем багдадского уче­ ного Сабита ибн Корры (836—901).

Покажем, что целый ряд математических идей Лео­ нардо, изложенных в его записных книжках, восходит

ватель аль-Фараби в области философии. Крупнейшая математическая работа Леонардо «О преобразованиях тела без уменьшения и увеличения материи» (Libro titolato de stranformazione cioe d’un corpo a’un altro senza diminuzione о acresscimento di materia) в «Кодексе Фор­ стера»; [72, т. 1, л. 3] состоит из трех глав. В первой главе содержится преобразование прямоугольника в прямоугольник с той же площадью; во второй — пре­ образование прямоугольного параллелепипеда в пря­ моугольный параллелепипед того же объема, в тре­ тьей — преобразование более сложных многогранников один в другой с сохранением объема. Первые два пре­ образования производятся с помощью геометрической алгебры древних греков.

Преобразование плоских фигур с сохранением пло­ щади встречаются и в других рукописях Леонардо, на­ пример, в «Атлантическом кодексе» имеется задача разделения квадрата в различное число других квадра­

стр. 26]. В последнем случае Леонардо строит прямо­ угольный треугольник, катеты которого равны диамет­ рам данных кругов, а диаметр искомого круга есть гипотенуза данного треугольника. Близкие задачи на преобразование четырехугольников и треугольников мы встречаем в указанном выше геометрическом трак­ тате аль-Фараби [11, стр. 150— 205].

В рукописях Института Франции имеются задачи «построить кривую линию, разделенную на равные чис­ ла одним раствором циркуля». Там есть задача на по­ строение правильных многоугольников на данной сто­ роне, точные, если это возможно, приближенные — в случае семиугольника и девятиугольника, с помощью циркуля постоянного раствора. Как мы уже отметили

84

выше, те же построения правильных многоугольников линейкой и циркулем постоянного раствора встреча­ ются в том же трактате аль-Фараби.

Леонардо, как и аль-Фараби, различает негеометри­ ческий и геометрический способы доказательства. На­ пример, решая приближенно задачу удвоения куба пу­ тем удвоения его диагонального сечения, он отмечает: «Другое доказательство, данное Платоном делосцам, геометрическое не потому, что ведется при помощи ин­ струментов — циркуля и линейки, и опыт его нам не дает, но оно всецело мысленное и, следовательно, геоме­ трическое». Аналогичные рассуждения мы обнаружи­ ваем в геометрическом трактате аль-Фараби, где он го­ ворит о методах ремесленников и геометров [11,

стр. 188—205].

В записных книжках Леонардо большое значение придается теории пропорций, которая «обретается не только в числах и мерах, но также в звуках, тяжестях, временах и положениях и в любой силе, какая бы она ни была» [74, стр. 12]. Это положение иллюстрируется конкретными примерами. Мысль об универсальности теории отношений высказывалась и аль-Фараби, кото­ рый виртуозно применял ее в музыке, астрономии, ста­ тике и др. При этом встречаются термины и выраже­ ния, общие для обоих ученых, как «чем больше, тем больше», «чем меньше, тем больше» и др.

Как аль-Фараби, так и Леонардо провозглашали опыт единственным источником познания и наметили основные принципы экспериментально-математическо­ го метода исследования явлений природы.

Оба ученых выступали против «ложной умозри­ тельной астрологии», которой противопоставляли «ма­ тематическую астрологию», т. е. научную астрономию. Если аль-Фараби написал об этом специальный трак­ тат «Что правильно и что неправильно в приговорах звезд», то Леонардо также посвятил этой теме ряд ин­ тересных высказываний в своих записных книжках.

Отметим также, что хотя они теоретически высказа­ лись против неделимых, однако практически применя­ ли метод неделимых, который позволяет более матема­ тизировать изучаемые величины (см. главу VII настоя­ щей работы).

Г Л А В А IV

ТРИГОНОМЕТРИЯ АЛЬ-ФАРАБИ

§1. Вопросы тригонометрии

в«Комментариях к „Алмагесту"»

Уаль-Фараби имеется довольно развитая тригоно­ метрия, созданная им в связи с применением матема­ тических методов для решения разнообразных задач математической астрономии и географии.

Отправным пунктом в развитии тригонометриче­ ских понятий и методов в странах ислама служили ин­

дийские астрономические трактаты — сиддханты, «Сферика» Менелая и «Алмагест» Птолемея. При этом особенно большую роль играл «Алмагест» Птолемея. Впервые он был переведен на арабский язык в 828 г. и в дальнейшем комментировался и перерабатывался многими учеными средневекового Востока, в том числе аль-Фергани (IX в.), Сабитом ибн Коррой, аль-Баттани (ок. 850— 929), Абу-л-Вафой, аль-Бируни, Насром адДином ат-Туси и др.

Аль-Фараби был одним из первых комментаторов «Алмагеста». Его «Комментарии к „Алмагесту"» (Шарх аль-Маджисти), к которым примыкает «Книга прило­ жений» (Китаб аль-Лавахик), сохранились в единствен­ ной рукописи, хранящейся в Британском музее (Лон­ дон), № 7368 [54]. Оба эти трактата до сих пор не из­ давались ни на одном языке и почти не исследовались. Название «Книги приложений» указано аль-Фараби в его предисловии к «Комментариям к „Алмагесту"». На содержании этих сочинений мы более подробно оста­ новимся там, где будем говорить о применении аль-Фа­ раби тригонометрии к астрономии.

Вопросы тригонометрии, рассмотренные им в пер­ вой книге «Комментариев к „Алмагесту"», частично ра­ зобраны Н. Г. Хайретдиновой [33]. Здесь аль-Фараби

86

несколько совершенствует тригонометрический аппа­ рат Птолемея для облегчения понимания трудных ма­ тематических выкладок, имеющихся в этом труде. Он

[Рис. 25].

[Рис. 26].

прежде всего везде заменяет хорды синусами и опре­ деляет синус следующим образом: «Синус есть полови­ на хорды удвоенной дуги».

Таким образом, если BD — хорда дуги BD— 2а (рис. 24), то ВС — линия синуса дуги А В = а , т. е.

sina=4~chd2a.

й

Это одно из первых известных нам введений синуса при комментировании Птолемея. Поэтому аль-Фараби при изложении «Алмагеста» всюду заменяет хорду дуги 2а синусом дуги а, в частности, таким образом он переформулирует знаменитую теорему Менелая о секу­

87

щих, которая служила у Птолемея основным средством для решения сферических треугольников. Хотя такая замена сама по себе кажется не столь существенной, однако переход от хорды к полухорде благоприятство­ вал широкому введению в астрономии различных три­ гонометрических функций, связанных со сторонами и углами прямоугольного треугольника в круге.

Аль-Фараби далее высказывает следующую лемму, которая равносильна плоской теореме синусов для про­ извольного треугольника, вписанного в круг: «Если известны углы, то определяется и отношение их сторон. Если углы вписаны в круг и нам известна дуга каждо­ го угла, то это — отношение соответствующей хорды к диаметру такого круга, причем если угол прямой, то его хорда — диаметр. Поэтому если известен один из углов или другая сторона ,и ее отношение к хорде пря­ мого угла, то этого достаточно, чтобы определить дугу, на которую опирается другой угол; после этого нахо­ дится оставшаяся дуга, дополняющая данную до по­ лукруга, и ее хорда, которая будет третьей стороной»

[54,стр. 12].

Таким образом, аль-Фараби эту лемму доказывает для вписанного прямоугольного треугольника (рис. 25).

Эта теорема в таком виде, по-видимому, приводится впервые аль-Фараби. Первое известное нам доказатель­ ство этой теоремы в общем виде для любого плоского треугольника мы находим в «Каноне Мас’уда» аль-Би- руни.

Следуя Менелаю и Птолемею, аль-Фараби приводит предпосылки об определении двух дуг по их сумме или разности и отношению полухорд удвоенных этих дуг. При доказательстве предпосылки об определении дуг по их разности аль-Фараби говорит о случае, когда хор­ да разности двух дуг параллельна диаметру, который отсутствует у Менелая и Птолемея. Он необходим для доказательства теоремы Менелая, когда диаметр сферы параллелен одной из хорд сторон фигуры секущих, ле-

88

жащих в плоскости диаметра: «Что касается того, ког­ да [хорда] параллельна [диаметру] и они не пересе­ каются, то пусть BE — синус АВ и несомненно являет­ ся перпендикуляром на диаметр АН [рис. 26]. CF — синус АС, т. е. также перпендикуляр на АН. Следо­ вательно, два угла В и С между параллельными — прямые. Плоская фигура СЕ с параллельными сторо­ нами, поэтому BE и CF равны, но CF также синус СН, поэтому дуги СН и ВС известны. Тогда то, что остается как дополнение до круга, т. е. [дуга] АВ, известно» [54, стр. 13]. Заметим, что если дугу СН (или АВ) обо­ значить через а, а дугу АС—(180°—а), то здесь аль-Фа­ раби опирается на соотношение sin(180°—a) — sina.

Доказательство плоской теоремы о секущих у альФараби совпадает, по существу, с доказательством, приведенным Птолемеем. Следуя Птолемею, он приво­ дит два случая этой теоремы, однако к доказательству первого случая он добавляет разъяснение сущности со­ ставного отношения.

Аль-Фараби при доказательстве сферической теоре­ мы для секущих добавляет также к тексту две предпо­ сылки для разъяснения сущности действия составления отношений. Первая из них утверждает, что если из ше­ сти величин отношение первой А ко второй В составлено из отношений третьей С к четвертой D и пятой Е к шестой G, то отношение третьей С к четвертой D состав­ лено из отношений первой А ко второй В и шестой G к пятой Е.

По другой предпосылке: если из шести величин со­ ставного отношения две величины равны, то получает­ ся отношение из четырех остальных величин. Доказа­ тельство этой предпосылки, по-видимому, заимствовано у Менелая. Здесь аль-Фараби отношение двух равных величин, как и Менелай, называет термином «отноше­ ния равенства».

Рассмотрение составных отношений в дальнейшем получает большое развитие в сочинениях последующих авторов, написавших труды по тригонометрии.

Сферическую теорему о секущих аль-Фараби дока­ зывает как Менелай, рассматривая три случая, а не как Птолемей, который ограничился только одним слу­ чаем, в том числе случай, когда хорда, лежащая в од­

89

ной плоскости с полудиаметром сферы, параллельна с ним. Все сказанное показывает, что аль-Фараби как комментатор Птолемея достаточно полно владел всем арсеналом тригонометрического наследия как грече­ ских математиков, так и своих арабских предшествен­ ников и современников.

§ 2. Учение о тригонометрических линиях

Аль-Фараби не удовлетворяют математические ме­ тоды, примененные Птолемеем в «Алмагесте». Поэтому в своей «Книге приложений» он разрабатывает специ­ альный математический аппарат в виде своеобразной теории тригонометрических линий. Собственно триго­ нометрии посвящены первые 14 глав этого сочинения аль-Фараби, но и в других главах имеются многие мес­ та, трактующие о соотношениях между тригонометри­ ческими линиями, о конкретном применении тригоно­ метрии в решении как плоских, так и сферических тре­ угольников, в определении неравенств движений Солн­ ца, Луны и остальных планет и др.

Как известно, у греческих математиков роль сину­ сов играли хорды, стягивающие углы. Индийцы доба­ вили синус, косинус и синус-версус.

В первой главе «Книги приложений» «О свойствах хорды и синуса» аль-Фараби рассматривает хорду, ли­ нии синуса, косинуса и синуеа-версуса. Он пишет: «АВС — круг, его центр Е, его диаметр — АС (рис. 27). Проведем ЕВ под прямым углом из точки Е. Зададим­ ся дугой AG, проведем линию AG, опустим GD перпен­

стр. 54—55].

Здесь аль-Фараби дает определение следующих триго­ нометрических линий—хорды (ватар), синуса (джайб), косинуса (джайб тамам), синуса-версуса (сахм). Причем для облегчения установления соотношения между хор­