книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби

200

Эти точки очень близки к указанным значениям:

log2-| -* 0,416, log2- f - « 0,585,

log24 ^ ° ,3 2 3 , log2-f-«0,169, ...

Этот факт еще раз демонстрирует правильность и плодотворность научного метода исследований музы­ кальных явлений, примененного аль-Фараби.

Вопросы функционального содержания затрагива­ ются аль-Фараби и в связи с его классификацией му­ зыкальных родов. Мы выше говорили, что деление кварты на три малых интервала составляет основу мо­ дуляций в музыке, потому что мелодия в конечном счете состоит из различных комбинаций этих малых интервалов. В зависимости от изменения величин са­ мих модулирующих интервалов и их взаимоотношений и взаиморасположений, по аль-Фараби, изменяется и качество созвучности соответствующих мелодий. Та­ ким образом, качество созвучности мелодий выступает как бы функцией от нескольких переменных; величи­ ны малых интервалов и их взаимоотношения и взаимо­ расположения будут соответственно аргументами этой функции. По этому поводу аль-Фараби пишет: «Если мы слушаем мелодию, в которой находим тона такого вида, при котором сумма центрального и последнего интервала больше, чем первый интервал, и сопоставля­ ем эту мелодию с другой, в которой имеются тона та­ кого вида, при котором сумма последних двух интерва­ лов меньше первого интервала, то мы обнаружим, что первая мелодия оказывает на нас куда более зна­ чительное воздействие: ее созвучность более выраже­ на, стройность заметнее и вся мелодия кажется нам бо­ лее естественной» [85, л. 19; 86, стр. 60].

После этого аль-Фараби исследует созвучность раз­ личных родов при изменении их интервалов-компонен­ тов. Он пишет: «Если первый интервал постепенно уве­ личивать, а два других уменьшать, мелодия делается все более слабой и доходит до диссонанса. Если же, на­ оборот, мы все больше станем ограничивать первый ин­ тервал и за счет его увеличивать постепенно величины

201

двух остальных, то мелодия становится от этого все сильнее и сильнее, звучность ее усиливается и достига­ ет наиболее сильной степени, продолжая затем в сто­ рону умеренной силы, сильные виды постепенно осла­ бевают, их звучность проходит все стадии ранее полу­ ченных видов мелодий, у которых интервалы организо­ ваны в обратном направлении. Когда два последних интервала постепенно уменьшают свое значение, полу­ ченные виды мелодий окажутся все более слабыми, мягкими, пока, достигнув наиболее слабой степени, их звучание более не воспринимается ухом. Тогда такой, вид мелодии будет казаться нам состоящим всего лишь из двух интервалов».

Эти исследования звучности мелодии аль-Фараби напоминают нам известное исследование изменений функций в какой-то области определения этих функ­ ций.

202

Некоторое представление об изменении качества созвучности вследствие изменения величины модули­ рующих интервалов дает таблица 6, (которая составле­ на на основе данных аль-Фараби. В этой таблице при­ ведена классификация (Музыкальных родов по измене­ ниям величин суммы двух последних (Интервалов.

Аналогичные эмпирические таблицы, характери­ зующие различные функциональные зависимости (соот­ ветствия), приведены аль-Фараби и в других разделах, посвященных делению кварты. Некоторые из этих таб­ лиц даны нами выше в главе, посвященной арифмети­ ке, теории музыки и алгебре аль-Фараби.

Представляет определенный интерес с точки зрения выявления функциональных зависимостей исследова­ ние аль-Фараби эволюций (движений) мелодии. Под эволюцией (движением) он понимает переход, по кото­ рому следует мелодия через посредство тонов, интерва­ лов и видов. В зависимости от характера движения ме­ лодий (аргумент) изменяется мелодический рисунок (функция). Мелодический рисунок есть совокупность движений мелодий вверх, вниз и на месте. Характер движений мелодии, в конце концов, обусловлен каче­ ством звуков, по которым проходят эти движения, а качество звуков, их созвучность или несозвучность, в свою очередь, зависят от длины струны и других физи­ ческих факторов, возбудивших эти тона. Таким обра­ зом, эволюция мелодий, мелодический рисунок пред­ ставляют собой сложную функциональную зависи­ мость.

Аль-Фараби классифицирует эволюции мелодий на прямую, извилистую по характеру следования эволю­ ции через множество тонов; эволюция может быть пре­ рывной и непрерывной в зависимости от того, пропу­ скается или не пропускается тон во время пути следо­ вания мелодии, при эволюции допустимы и остановки, т. е. повторение по нескольку раз одного и того же тона. По этому поводу аль-Фараби пишет: «Эволюция через посредство тонов может следовать по пути прямому или извилистому, путь этот считается прямым, если, исхо­ дя, например, от «низкой заданной», мы проигрываем низкую из главных, затем среднюю из основных и так

203

далее, проходя через последовательные тона и не воз­ вращаясь ни к одному из предшествующих тонов. Если же, наоборот, мы вернемся к тону, с которого мы на­ чали, или к какому-нибудь из тонов, которые нас от него отделяют, такая эволюция называется извилистой. В этом случае она может привести нас к исходному то­ ну либо после одного тона, либо после нескольких то­ нов.

Прямая эволюция бывает непрерывной и прерыв­ ной. Она непрерывна, если ни один тон не оказывает­ ся пропущенным во время пути мелодии, и бывает прерывной, когда пропускается один или несколько то­ нов. Во всех этих видах эволюции мы можем допускать остановки, т. е. по нескольку раз повторять один и тот же тон. Учитывая все эти определения, читателю будет нетрудно найти варианты каждой из форм эво­ люции» [85, л .44; 86, стр. 145].

Иначе говоря, вид движений мелодий в основном определяется порядком прохождения через выбранные тона.

Эволюция мелодий, мелодический рисунок также зависят от созвучности и н©созвучности между собой тонов, через которые приходит мелодия, т. е. которые используются при композиции мелодий. В связи с этим получается другая классификация эволюции мелодий, аль-Фараби по этому поводу пишет: «Если взять любой тон, то спарить его с любым произвольным тоном и по­ лучить при этом созвучность невозможно. Если мы хо­ тим провести эволюцию посредством тонов какой-ни­ будь шкалы, мы должны определить, какие тона для каждой из них созвучны из многих других. В качестве исходной точки могут служить при этом все ступени совершенной группы. Если мы выберем, следовательно, какой-либо тон из этой группы, то мы сможем осуще­ ствить эволюцию, если мы сумеем отличить тона, со­

Аль-Фараби здесь фактически ставит вопрос о на­ хождении совокупности всех тонов, созвучных данному тону какой-нибудь музыкальной шкалы, которой соот­ ветствует благозвучная эволюция мелодий. Это и есть,

204

по нашей терминологии, задача нахождения области определения функций.

Аль-Фараби не только ставит эту задачу, но и пред­ лагает оригинальный метод нахождения указанной со­ вокупности созвучных тонов путем построения своеоб­ разного графика движения мелодий. Аль-Фараби сна­ чала с помощью некоторых дополнительных условий несколько конкретизирует поставленную задачу и пе­ реходит непосредственно к изложению сущности самого метода. Он пишет: «Выберем ступень, которая занимает центр группы. Обозначим ее буквой I на прямой IB, где точка В будет изображать самый высокий тон [рис. 52].

В точке I построим прямую IA, перпендикулярную к IB. Расстояние IB равно IA. Прямая 1А, следователь­ но, будет равна 1В. На IA изобразим ступени низкой октавы, a IB ступени высокой октавы. Эти две октавы будут идентичными. Каждой из ступеней мы дадим числовое значение: I—60, В— 30, А — 120. То­ на, расположенные между ними, будут представлены дробями; тона между А и I будут представлены дро­ бями 120, а ступени между I и В — дробями 60> [85,

л. 45—45 об.; 86, стр. 177— 199].

205

Таким образом, аль-Фараби построит своеобразную систему «координат», т. е. две взаимно перпендикуляр­ ные прямые. На этих прямых отмечены числа, соответ­ ствующие тонам данной шкалы (низкая я высокая ок­ тавы), которая получена с помощью указанного выше экспериментально-теоретического метода. Назначение системы аль-Фараби принципиально другое, чем системы координат в геометрии, хотя в некоторых от­ ношениях можно указать у них общие моменты: тона

,аль-Фараби отождествляет с точками на прямой и каж­ дому тону ставит в соответствие определенное число, пара чисел (их отношение) определяет созвучность вы­ бранных двух тонов. Здесь мы обнаруживаем появле­ ние, хотя бы стихийно, несознательно своеобразной концепции континуума.

Опринципе работы этого графического метода аль-

Фараби пишет: «Построив такую фигуру, можно легко определить относительно созвучия и диссонансы тонов. Для этого достаточно сопоставить каждый тон с тона­ ми, фиксированными на той же линии, или рассматри­ вать каждый тон относительно каждого тона, который определен на другой линии. Если тон окажется с дру­ гим тоном в двойном или кратном отношении, то такие тона созвучны. Если они образуют малый интервал, у которых отношение равно отношению целого плюс часть целого, то эти тона также будут созвучными. То же самое происходит, когда тона принадлежат двум интервалам, с подобными тонами».

Математическая сущность этого метода заключает­ ся в установлении критерия созвучности двух тонов че­ рез отношения их числовых значений: если это отно-

Используя этот метод, аль-Фараби на конкретных примерах показывает способ нахождения различных форм эволюции при помощи тонов. Он пишет: «Если мы начнем с I, то мы направимся либо к А, либо к В. Если эволюция прямая, мы переходим от I к F, от F к Н, от Н к Z, и то же самое произойдет, если мы напра­ вимся,к В».

Действительно, отношение этих попарно взятых то­ нов

206

«Эволюция может быть извилистой, круговой с воз­ вратами к I. Возвраты могут осуществляться с перехо­ дами через уже проигранные тона: например, если мы играем I, F, Н, Z и Е, потом возвращаемся к Z, Н, F, I. Возвраты могут быть круговые (идя обратно через вто­ рую октаву): мы играем, например, тона I, F, Н, L,

К, 7.»

Впоследнем случае все отношения

I_

К

1

также вида 1Л +I —•.

«Извилистая эволюция может также осуществлять­ ся с отклонениями: играем, например, I, F, К, L, М, N, Z, Е».

Нетрудно убедиться, что и в этом случае отношения в последовательном порядке попарно взятых тонов бу­ дут отношениями вида

В заключение аль-Фараби пишет: «Все эти формы эволюций непрерывны или прерывны. Они прерывны, если пропускается один или несколько тонов... По то­ му, что мы здесь разъяснили, читатель сможет легко найти самостоятельно все другие формы эволюций»

[85, л. 46; 86, стр. 149].

Таким образом, с помощью сравнения пары чисел и используя свою «систему координат», аль-Фараби на­ ходит не только совокупность (область определения) со­ звучных тонов, пригодных для благоприятных эволю­

207

ций, но и графически определяет мелодический рису­ нок (область значений функций). Он также указывает способ расширения области определения эволюций ме­ лодий путем присоединения других тонов: «Если речь идет о переходе от одного тона к другому, который дис­ сонирует с первым, нужно использовать для этого тре­ тий тон, созвучный относительно каждого из назван­ ных двух тонов, а отсюда мы видим, сколь полезна и удобна эволюция извилистая и с отклонениями» [85,

л. 46; 86,стр. 149].

Рассмотренные задачи и соображения, приводящие­ ся к функциональным зависимостям, и попытки их графического изображения, которые появились у альФараби при создании математической теории музыки, являются вполне естественными и соответствуют исто­ рическому ходу развития понятий о функциях и функ­ циональной зависимости. Как известно, в появлении и усовершенствовании последних решающую роль сы­ грали многочисленные попытки математизации естест­ венных наук. «Большая книга музыки» аль-Фараби еще раз подтверждает справедливость этого положения.

Следует отметить, что изучение функциональных зависимостей у аль-Фараби носит не общий, универ­ сальный, а частный, специфический характер, которое еще не приводит к осознанию и формулировке общих понятий аргумента и его функций в общей форме. По периодизации А. П. Юшкевича это соответствует пер­ вому этапу развития идей функций, т. е. древности, ког­ да изучение отдельных зависимостей между величина­ ми не привело еще к осознанию и тем более формули­ ровке понятий переменного аргумента и его функций

[93, стр. 124— 125].

Дальнейшее развитие аналогичных идей мы встре­ чаем у ученых Европы эпохи Возрождения, которые были непосредственно или опосредственно хорошо зна­ комы с арабской физико-математической литературой.

В аналогичных же условиях, но в совершенно дру­ гой эпохе и другой социальной обстановке на основе высокого научно-культурного подъема, в процессе ма­ тематизации наук о природе в Европе получили разви­ тие такие математические теории, как учение о конти­ нууме, о широтах форм, об отношениях и др., появле­

2 0 8

нию и развитию которых в какой-то мере могли спо­ собствовать идеи и соображения их восточных учите­ лей, в частности аль-Фараби.

§3. Математический атомизм

В«Большой книге музыки» аль-Фараби имеется ряд интересных сведений инфинитезимального содержа­ ния, обусловленный обоснованием основных понятий и приемов теории музыки. Например, аль-Фараби допу­ скает возможность существования в природе чрезвычай­ но высоких и чрезвычайно низких звуков, в частности тонов. По этому поводу он пишет: «Ясно, что сами по себе тона растяжимы до бесконечности в обоих направ­ лениях, но с точки зрения чувства слухового восприя­ тия музыкальная шкала ограничена» [85, л. 13; 86,

стр. 40].

Аль-Фараби в другом случае утверждает бесконеч­ ность делимости музыкального интервала. Интересные инфинитезимальные идеи он высказывает и при обо­ сновании необходимости пересмотра двенадцатиполуто­ новой музыкальной шкалы, где остаточный интервал считается равным полутону и не совсем строго прини­ мается как мера для других интервалов: «Остаточный интервал, несомненно, меньше полутона, ибо если при­ дать ему значение полутона в интервале, в котором он содержится несколько раз, то такому интервалу при­ ходится дать значение, превышающее то, которое при­ суще ему в действительности» [85, л. 19 об.; 86, стр. 62].

Далее аль-Фараби замечает, что влияние этой по­ грешности не уловимо чувством, если рассматриваются небольшие интервалы, однако если число слагаемых остаточных интервалов достаточно большое, то соотно­ шение интервалов изменится заметно, т. е. количество как бы переходит в качество. Для объяснения этого яв­ ления он выставляет две гипотезы: «Это общее превы­ шение, которое наблюдается в последнем тоне, ... воз­ можно, существует в действительности и распределено между интервалами, но оказывается настолько ничтож­ ным, что его можно и не заметить. Или каждая из порций, составляющихэто превышение, в действитель­