книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби

50

ки мастерски пользуется всем этим арсеналом знаний. Иногда он доказывает новые теоремы, отсутствующие в «Началах» Евклида. Например, в своих комментари­ ях к пятой книге «Алмагеста» Птолемея приводит до­ казательство леммы о том, что длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Приво­ дим это доказательство аль-Фараби: «Пусть в треуголь­ нике АВС проведена DH параллельно его основанию [рис. 1] и пусть DE равна BD. Из точки Е проведем ли­ нию параллельно DH; пусть это будет EG. Тогда EG и СВ вместе вдвое больше DH.

[Доказательство]. Пусть проведем GK параллельно BE. Тогда ясно, GE и ВК вместе вдвое больше DF. По­ скольку СК относится к FH, как KG к FG, т. е. как BE к DE, а BE вдвое больше DE, то СК вдвое больше FH. Следовательно, GE и ВКС вместе вдвое больше DFH»

[54, стр. 87].

Эта лемма почти в таком же виде встречается в «Книге знаний» Ибн-Сины [55, стр. 95—96].

§ 2. О трактате аль-Фараби о геометрических построениях

Недавно нами был обнаружен до сих не известный геометрический трактат аль-Фараби, который называ­ ется «Книга духовных искусных приемов и природных тайн о тонкостях геометрических фигур».

Известный исследователь творчества аль-Фараби М. Штейншнейдер считал этот трактат совпадающим с трактатом «Цель надежды в искусстве песка и исправ­ лении фигур». Слова «искусство песка» понимались как геомантия (искусство гадания на песке), и оба трактата аль-Фараби относили к геомантии. Этим объ­ ясняется то, что обе эти рукописи до сих пор не изуча­ лись. Это два совершенно различных трактата.

Этот труд аль-Фараби, целиком посвященный геомет­ рическим построениям, важным в землемерии, архитек­ туре, технике и геодезии, состоит из введения и 10 книг (макалат); он был создан, как видно из названия «духовные искусные приемы», для приложений геоме­ трии к различным вопросам практики и других наук.

51

Во введении автор об этом пишет: «Так как совокуп­ ность наук многочисленна и искусства невозможно пе­ речислить,— мы видели это раньше, когда писали об этом,— а искусство геометрии нужно как для естест­ венных наук, так и для философских вопросов, и я ви­ дел, что книги ученых наполнены несущественным, и большинство полезного оставлено без внимания,— по­ этому я написал эту книгу» [11, стр. 91].

Аль-Фараби в данном трактате уделял основное вни­ мание алгоритмам геометрических построений, что соответствует общей характеристике математики сред­ невекового Востока, которая была прежде всего вы­ числительной математикой, совокупностью расчетных алгоритмов для решений арифметических, алгебраиче­ ских, геометрических задач [56, стр. 13]. Алгоритмы геометрических построений в конструктивной геоме­ трии играли ту же роль, что и расчетные алгоритмы в арифметике, числовой алгебре, тригонометрии и вычис­ лительной геометрии. Впрочем, аль-Фараби все построе­ ния дает без доказательств.

В первой книге, где первые предложения в рукопи­ си, по-видимому, отсутствуют, рассматриваются эле­ ментарные построения с помощью циркуля и линейки. Здесь же указаны два построения шаблона «зажига­ тельного зеркала», т. е. параболы. Здесь приводится механическое решение задач удвоения куба и шара, а также трисекции угла с помощью вставки.

Вторая книга трактата посвящена правильным мно­ гоугольникам, строящимся на данном отрезке, а тре­ тья книга — правильным многоугольникам, вписанным

вкруге.

Вчетвертой книге решаются задачи проведения круга, описанного около треугольника и правильных многоугольников, а в пятой книге — проведения круга,

вписанного в треугольник. Шестая книга посвящена построению правильных многоугольников, вписанных друг в друга. Построение треугольников в некоторых задачах основаны на применении метода гомотетии.

В седьмой книге рассматриваются задачи разделе­ ния треугольника на равные части, увеличения и уменьшения его в несколько раз; применяется метод гомотетии.

52

Восьмая книга посвящена разделению параллело­ граммов и трапеций прямыми, удовлетворяющими раз­ личным условиям. Здесь также применяется метод го­ мотетии.

В девятой книге решен ряд задач на преобразование квадрата из п2 квадратов, построение квадрата из 2 п2 и п2 + т2 квадратов и обратные задачи, различные способы построения квадрата из трех равных квадра­ тов. В этой же книге приводится критика аль-Фараби решения ремесленниками задачи утроения квадратов.

Десятая книга посвящена различным построениям на сфере, в том числе разделению сферы на правиль­ ные сферические многоугольники, равносильные по­ строению вписанных правильных многогранников, вер­ шинами которых являются вершины многоугольников.

В задачах о разделении многоугольника аль-Фара- би имел предшественника в лице упомянутого аль-Кин- ди, которому, как сообщает Ибн ан-Надим, принадле­ жит не дошедший до нас «Трактат о разделении тре­ угольника и квадрата и их построениях» (Рисала фи таксим ал-мусаллас ва-л-мурабба ва амалхума) [41,

стр. 257—258].

Трактат заканчивается словами: «Пора нам закон­ чить эту книгу. Молитва за Мухаммеда и его род и благодарность Аллаху, господину обоих миров. Сочи­ нение это было закончено рукой ученого Мухаммеда Абу Насра Мухаммеда ибн Узлага ибн Тархана альФараби одиннадцатого раджаба триста двадцать пер­ вого года (т. е. 7 июля 933 г.— А. К.). Бесконечная слава дарующему разум» [11, стр. 217].

Геометрический трактат аль-Фараби сыграл боль­ шую роль в развитии конструктивной геометрии. Мно­ гие идеи, высказанные в этом труде, были развиты в дальнейшем в трудах математиков как средневекового Востока, так и Европы эпохи Возрождения. Например, эта работа была почти полностью включена в трактат Абу-л-Вафы «Книга о том, что необходимо ремеслен­

нику из геометрических построений» [57, стр. 56— 130].

В своем трактате Абу-л-Вафа заменил введение альФараби и к материалу трактата аль-Фараби добавил первую главу «О линейке, циркуле и угольнике», пер­

53

вые 10 предложений второй главы и последние 11 пред­ ложений одиннадцатой главы, в которых к задачам аль-Фараби о разделении сферы, соответствующем по­ строению правильных многогранников, добавлены за­ дачи о разделении сферы, соответствующем построению полуправильных многогранников.

В следующих параграфах мы более подробно оста­ новимся на основных достижениях аль-Фараби в тео­ рии и практике геометрических построений. При этом мы кроме своих переводов, публикаций и исследований [11, стр. 89—228] используем работы С. А. Красновой и других авторов о геометрических преобразованиях в трудах ученых средневекового Ближнего и Среднего Востока [58].

§ 3. Элементарные построения и построения классических задач

Истоки геометрических построений уходят в глубо­ кую древность. Различная практическая деятельность людей, связанных земледелием, строительством, архи­ тектурой и др., привела к решению различных задач на построение.

Самая древняя книга, где специально рассматрива­ лись задачи на построение — это сочинение индийских математиков VII—V вв. до н. э. «Правила веревки», по­ священное в основном правилам постройки алтарей

[56,стр. 112].

Вопросам геометрических построений придавалось большое значение и в математике древних греков, в «Началах» Евклида, «Конических сочинениях» Апол­

идеализацией построений, с помощью реальных инстру­ ментов. Впрочем, у античных математиков были и ин­ струменты для построений, не выполняемых с помощью циркуля и линейки.

Имелось значительное количество сочинений о гео­ метрических построениях и у ученых средневекового Востока [58]. Здесь прежде всего следует назвать имя

54

Сабита ибн Корры (826—901). «Книга Архимеда о по­ строении круга, разделенного на семь равных частей» в его обработке, трактат «Книга о построении вписан­ ной в шар телесной фигуры с четырнадцатью основа­ ниями» посвящены геометрическим построениям. Гео­ метрические построения имеются также в других со­ чинениях ученого («Книга предположений» и др.).

Интересные задачи на построение имеются в «Кни­ ге об измерении плоских и сферических фигур» братьев Бану Муса. Поэтому, естественно, аль-Фараби при со­ ставлении указанного труда по геометрическим по­ строениям в значительной степени опирался на дости­ жения своих предшественников. Как греческие, так и арабские предшественники аль-Фараби определенные задачи посвятили элементарным построениям с помо­ щью циркуля и линейки. Например, такие построения имеются в «Началах» Евклида, в «Книге предположе­ ний» Сабита ибн Корры и др.

Вслед за ними в геометрическом трактате аль-Фа­ раби также приводит ряд элементарных построений. Так, в первой книге трактата он приводит следующие построения: 1) определение центра круга; 2) дополне­ ние дуги до полного круга; 3) проведение касательной к кругу из точек вне его; 4) проведение касательной к кругу через точку, расположенную на нем; 5) построе­ ние между сторонами треугольника отрезка, парал­ лельного третьей стороне и равного данному отрезку; 6) проведение между сторонами треугольника отрезка, параллельного третьей стороне и равного отрезку, от­ секаемому от одной из сторон; 7) проведение между сторонами треугольника отрезка, параллельного тре­ тьему отрезку и равного отрезку, отсекаемому от одной из сторон, и некоторому данному отрезку; 8) построе­ ние треугольника, равного другому треугольнику.

Абу-л-Вафа в «Книге о том, что необходимо реме­ сленнику из геометрических построений» добавил к этим еще ряд построений [57, стр. 56—65].

Здесь помимо задач, решаемых циркулем и линей­ кой, аль-Фараби решает также классические задачи древности, неразрешимые с помощью циркуля и линей­ ки: об удвоении куба (у аль-Фараби «удвоение дома

55

или шара», о трисекции угла (деление угла на три рав­ ные части).

Задача о трисекции угла, за исключением случая трисекции прямого угла, не может быть решена с по­ мощью циркуля и линейки. Для решения задачи трисек­ ции угла древнегреческие математики прибегали к ме­ ханическим средствам. Так, например, Архимед приме­ няет метод вставок. Эта задача, сводимая к кубическо­

му уравнению вида coscp=4cos3|-— 3cos|-, в средние ве­

точку В за центр и опишем на расстоянии ВА круг ВАС [рис. 3]. Поставим BD на ВС под прямым углом и про­ должим СВ [до пересечения с кругом] в [точке] Е. При­ ложим линейку к точке А и будем двигать ее по окруж­ ности круга CDE до тех пор, пока линия HF, которая на­ ходится между перпендикуляром DB и дугой DE, не станет равной линии DB, причем линейка не сойдет с точки А. Далее построим дугу ЕК, равную дуге EF, про­ ведем КВ и продолжим ее в направлении до точки L. Тогда угол LBC — треть угла АВС. Далее разделим угол ABL пополам» [11, стр. 99—100].

В первом случае, когда угол прямой, правильность построения непосредственно вытекает из того, что угол ABD равен половине угла DBC, или 30°. Во втором слу­ чае, когда угол меньше прямого угла, аль-Фараби, как и Архимед, пользовался вставкой, под которой пони­ мается построение отрезка определенной длины между

56

двумя линиями. Этот отрезок или его продолжение про­ ходят через данную точку.

Для доказательства правильности построения альФараби во втором случае продолжим HF до пересече­ ния с продолжением BE, проведем BE, а также ЕМ па­ раллельно BE. Отсюда видно, что H F = F K = B D и по­ этому Z-ABC=/LBAF + /_AKB=/_AFB + ZJFBE— = 2/_FBE- 2ZLFBE + ZJFBE= 3 Z.FBE.

Заметим, что в отличие от Архимеда аль-Фараби здесь 1этмеченный отрезок, равный радиусу круга, бе­ рет не снаружи, а внутри круга, что, по-видимому, обу­ словлено общей установкой этого сочинения — решения прикладных задач.

О другом способе трисекции угла, также основанно­ го на применении вставки, аль-Фараби пишет: «По­ строим острый угол АВС и, если мы хотим разделить его на три равные части, опустим из точки А перпен­ дикуляр АН [на линию ВС и проведем из точки] А ли­ нию AD параллельно ВС [рис. 4]. Приложим линейку к точке В и будем двигать ее по линиям DA и АН до тех пор, пока линия, которая находится между линиями AD и АН, не станет равной удвоенной линии АВ. Это, например, линия DEB, так что линия DE — удвоенная линия АВ. Тогда угол DBC треть угла АВСь [11,

стр. 98].

Нетрудно заметить, что идея этой трисекции такая же, как и в предыдущей задаче. Здесь только исполь­ зована вставка между двумя прямыми, тогда как там

57

применена вставка между прямой и окружностью. Для доказательства правильности построения из верши­ ны AED опустим медиану AF, тогда DF—F E = A B —

—A F ; отсюда /LABD= Z-AFB— 2/LCBD

Z-CBD=~/LABC.

О

Это построение имелось и у Сабита ибн Корры, ко­ торый, возможно, в свою очередь, заимствовал его у древнегреческих математиков (Никомед, Папп).

При помощи трисекции угла аль-Фараби делит ду­ гу на три равные части. Трисекцией угла позднее зани­ маются аль-Бируни, ас-Сиджизи (951— 1024). Напри­ мер, последний предложил 15 способов построения этой задачи [59, стр. 117— 120], среди которых имеется и только что упомянутое построение Сабита ибн Корры.

Задача удвоения куба является частным случаем задачи о двух пропорциональных, т. е. задачи о по­ строении по данным а и &таких величин х и у, что о : х — х : у = у : в. Греческие математики предложили различные варианты решения этой задачи. Построение двух средних пропорциональных первыми из математи­ ков стран ислама приводили Бану Муса (IX в.), в XVI и XVII предложениях «Книги измерения плоских и сферических фигур» [60, стр. 410—415]. Аль-Фараби ставит эту задачу в более общем виде как задачу уве­ личения или уменьшения в п раз объемов куба и шара и приводит способ решения только для случая удвоения. Нетрудно видеть, что и в остальных случаях задача решается точно таким же построением. Приво­ дим решение аль-Фараби: «О построении дома или ша­ ра, равных удвоенному другому дому или шару или [взятых] в других отношениях. Если он сказал, как по­

58

строить квадратный дом с равными длиной, шириной и высотой, являющийся удвоенным другим квадратным домом, или каким образом построить шар, являющий­ ся удвоенным другим шаром, или разделить пополам, или взять в других отношениях, то построим линию АВ [равную] длине дома и диаметру шара, построим ли­ нию АС, равную удвоенной линии АВ, под прямым уг­ лом и дополним плоскую фигуру DABC [рис. 5]. Про­ ведем диагонали AD и ВС, они разделятся пополам в точке F, и продолжим линии DC и DB в их направле­ нии. Установим край линейки на точку А и будем дви­ гать ее по линиям GC и ЕВ до тех пор, пока линии GF и FE будут равны. Тогда длина дома или диаметр ша­ ра есть линия ВЕ» [11, стр. 102].

Доказательство основано на АВ : BE—BE : GC—

— GC : АС, откуда ВЕ3= 2 А В 3. Это построение совпа­ дает с построением в «Механике» Герона [61, стр. 461].

Указанные построения классических задач аль-Фа­ раби показывают, что он весьма одобрительно относил­ ся к применению движения в математике, по крайней мере, в ее прикладных областях.

§4. Построение конических сечений

В«Конических сечениях» Аполлония, переведен­ ных в IX в. на арабский язык, имеется много задач на построение конических сечений. Арабские геометры, продолжая традицию греков, решали различные зада­ чи на построение параболы, эллипса и гиперболы. В

трудах математиков стран ислама встречаются по­ строения конических сечений как по отдельным точ­ кам циркулем и линейкой, так и непрерывное построе­ ние с помощью специальных приборов.

К непрерывному построению конических сечений относится способ черчения эллипса, изложенный альХасаном ибн Мусой ибн Шакиром (один из трех бра­ тьев Вану Муса) в недошедшем до нас трактате «Об уд­ линенном круге» (Фи дайра мустатила). Это название известно из «Истории мудрецов» ибн аль-Кифти [28, стр. 288], а предлагаемое в нем построение эллипса упоминается в «Трактате об описании конических се­ чений» ас-Сиджизи [62, стр. 112—115].

59

Конические сечения не могут быть построены точ­ но с помощью циркуля и линейки, но, используя их, можно получить сколько угодно точек этих кривых. Аль-Фараби в первой книге своего трактата приводит два построения шаблона зажигательного зеркала, т. е. параболы по точкам, основанные на свойстве, которое можно 'записать уравнением у2— 2рх. Параболу он на­ зывает «зажигательным зеркалом», имея в виду изве­ стное оптическое свойство параболы, согласно которому пучок параллельных лучей, направленных по диамет­ рам параболы, отразившись от параболы, соберется в ее фокусе, и если поместить в фокус горючее вещество, оно загорится (этим и объясняется название focus, оз­ начающее огонь или очаг).

Первый способ построения параболы, по аль-Фара- би, имеет такой вид: «О построении зажигательного зеркала. Если мы хотим построить зеркало, которое за­ жигает при помощи солнечных лучей предмет на неко­ тором растоянии, то построим сначала лекало, опреде­ ляющее зеркало. Для этого проведем круг, полудиаметр которого равен величине расстояния, на котором мы хотим зажечь предмет. Пусть это круг АВС. Проведем его диаметр ADC (рис. 6). Отложим на линию DC от точки С несколько равных отрезков. Чем эти отрезки