книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби

130

безусловно, было важным методологическим и естест­ веннонаучным достижением ученого.

Функциональный подход аль-Фараби к изучению неравномерности движения выступает уже в зрелом виде у аль-Бируни, который, например, в «Каноне Ма- с’уда» приводит изящные исследования различных функций, применяемых в описании движения Солнца. Аль-Бируни делает попытки геометрической интерпре­ тации хода функций на заданном интервале. Наиболее важным в подходе аль-Бируни к изучению поведения функций является разработка общих методов исследо­ вания рассматриваемых им функциональных зависи­ мостей, приведенная в связи с изложением правил ин­ терполирования для всех таблиц» [81, стр. 18—19].

Теория движения планет как Птолемея, так и аль-

известна по наблюдению. В — центр эпицикла. Прове­ дем линии BE, GB и НВ, а также линии GF и HI, пер­ пендикулярные к BI. Угол ЕВН есть угол уравнения.

131

Угол АЕВ центральный угол, поэтому угол FEG из­ вестен, угол F прямой; следовательно, угол FGE изве­ стен, GE известна, поэтому каждая из EF и FG извест­

стна. Ее квадрат вместе с квадратом Ш равен квадрату НВ; НВ известна. Если сделаем точку В центром, на расстоянии ВН опишем круг, то Ш будет синусом ду­ ги угла IBH в отношении величины ВН. Следователь­ но, Ш известна в отношении ВН, которая предполага­ ется равной шестидесяти частям. Это и есть синус угла уравнения» [54,стр. 172].

Таким образом, аль-Фараби здесь, как и раньше, нахождение уравнения планет приводит к решению це­ почки простейших алгебраических и тригонометриче­ ских уравнений.

§ 3. Решение задач сферической астрономии

Аль-Фараби, искусно применяя математические ме­ тоды (особенно методы сферической тригонометрии), успешно решает многие задачи сферической астроно­ мии, которым посвящены большинство глав его «Книги приложений». При решении треугольников он совер­ шенно не пользуется теоремой Менелая, а применяет правила, равносильные теоремам синусов и тангенсов для прямоугольного сферического треугольника. АльФараби ограничивается в основном решением задач, приводящих к рассмотрению прямоугольных треуголь­ ников. Ниже мы приводим некоторые образцы приме­ нения аль-Фараби тригонометрии в сферической астро­ номии.

Одной из центральных задач сферической астроно­ мии является определение положения светил на небес­ ной сфере — относительно экватора, эклиптики и гори­ зонта. В первом случае положение светил определяется системой экваториальных координат — склонение (первое) 8i и прямое восхождение, или «восхождение в прямой сфере» а; во втором случае —- системой эклип­

132

тических координат — долгота к и широта р, а также второе склонение 62, в третьем случае — системой гори­ зонтальных координат — азимут А и высота h. Не менее важными для сферической астрономии были за­ дачи взаимного перехода между этими тремя система­ ми координат на небесной сфере, которые сводятся так­ же к задачам сферической тригонометрии.

Аль-Фараби в «Книге приложений» уделяет боль­ шое внимание решению задач на нахождение этих коор­ динат и рассматривает некоторые частные случаи фор­ мул перехода от одной системы координат на небесной сфере к другой. Рассмотрим некоторые из этих задач.

Определение широты Луны.

В двадцать седьмой главе «Книги приложений» аль-Фараби предлагает способ определения широты Лу­

[Рис. 44]. [Рис. 45].

ны. Он пишет: «Пусть дан ABCD — круг с центром Е, проходящий через полюсы наклонного круга и эклипти­

сто Луны на эклиптике, а К — тело Луны на наклон­ ном круге. Нет отличия между ним и местом на эпи­ цикле, так как плоскость эпицикла лежит на плоскости наклонного круга. ЕЕ — аномалия широты. Через Я проведем дуги FHG и IHK. Дуга НК и есть широта Лу­ ны... Я утверждаю, что НК известна, а Доказательство этого. В треугольнике ЕНК угол

Я «г:;прямой,- 'Тогда,.яго-доказанному, в двадцать шестой

133

главе, синус ЕН относится к тангенсу НК, как синус большей дуги к тангенсу ВС. ЕН — аномалия Луны, BE — четверть круга, ВС — полная дуга. Поэтому тан­ генс НК известен, следовательно, его дуга известна. Это и есть искомая широта. Это то, что мы хотели доказать»

[54, стр. 178].

Судя по тексту, аль-Фараби по доказанному им же в предыдущей главе теореме тангенсов для прямо­ угольного треугольника предлагает формулу определе­ ния широты Луны. А именно: из прямоугольного тре­ угольника ЕНК по этой теореме составляет пропор­ цию:

где Ъ— дуга между наклонным кругом и эклиптикой. Определение первого склонения. Древние астрономы под первым склонением понимали склонение точек эк­ липтики. Аль-Фараби по своей первоначальной установ­ ке этот вопрос, как и другие вопросы практической астрономии, рассматривает в чисто теоретическом ас­ пекте, т. е. он выводит алгебраическое правило вычис­ ления искомой величины, почти целиком отвлекаясь от числовых данных наблюдений и арифметических вы­

числений, производимых над этими данными.

Этой теме, т. е. определению первого склонения, аль-Фараби посвятил двадцать восьмую главу «Книги приложений», в которой он пишет: «Пусть ABCD — крут, проходящий через два полюса экватора и эклип­ тики ; АС — экватор, BD — эклиптика [рис. 45]. Е — одна из точек равноденствий, пусть дана ЕН на эклип­ тике; мы хотим определить ее первое склонение. Опи­ шем дугу FHG, дуга HG и есть склонение дуги ЕН. Я ут­ верждаю, что оно известно.

Доказательство этого. В треугольнике EHG угол G — прямой, Е — угол полного склонения. Синус ЕН отно­ сится к синусу HG, как синус большей дуги к синусу угла Е. ЕН известна; полное склонение известно по на­ блюдению. Следовательно, HG известна» [54, стр. 178].

134

По аль-Фараби, «полное» или «общее» склонение есть то, что мы сейчас называем наклонением эклипти­ ки, которое является важным элементом в астрономи­ ческих вычислениях. За значение наклонения эклипти­ ки аль-Фараби, следуя за астрономами аль-Мамуна, принимает е=23°35', что подтверждает его передовые позиции в этом важном вопросе астрономии (ошибка

— 017"). Аль-Фараби, пользуясь теоремой синусов для прямоугольного треугольника, дает правило определе­ ния склонения отдельных точек эклиптики:

sin90° sinHG=sinEH •sinЕ; sm H G sin E

sin6i = sin/,-sine;

( 2)

6] = arcsin(sin^, •sine).

Заметим, это же самое правило приводит и аль-Бируни во второй главе 4 части «Канона Мас’уда» [82, стр. 53].

Позднее такое же правило предлагает и Улугбек: «Чтобы получить другие склонения точек эклип­ тики, я умножаю синус расстояния между дан­ ной точкой и ближайшей точкой равноденствия на синус полного склонения и в произведении имею синус склонения требуе­ мой точки» [76, стр. 157].

Определение прямо­ го восхождения Зодиака. Решению задачи опреде­ ления прямого восхожде­

ния Зодиака, т. е. точки эклиптики (Р =0), аль-Фараби посвящает двадцать девятую главу «Книги приложе­ ний» : «Пусть ABCD — круг, проходящий через полюс, AEG — экватор с полюсом в точке F, BED — эклипти­ ка; Е — одна из точек равноденствий [рис. 46]. Пусть дается ЕН на эклиптике. Мы хотим найти ее прямое

135

восхождение. Опишем дугу FHG. EG и есть восхожде­ ние. Я утверждаю, что оно известно.

Доказательство этого. В треугольнике FGC углы В и С прямые, a F — не прямой. Синус FH относится к синусу НВ, как синус FG к синусу GC, FH — дополне­ ние дуги склонения, а НВ — дополнение ЕН в эклип­ тике ; FG — четверть круга. Поэтому GC известна. Она дополнение EG. Итак, EG известна» [54, стр. 178— 179].

Здесь аль-Фараби, используя следствия применения сферической теоремы синусов для прямоугольных сфе­ рических треугольников FGC и FHB с общим углом F и с прямыми углами С и В, составляет пропорцию и на­ ходит искомую величину:

o.=arc cos coscosа

В этом случае прямое восхождение и эклиптическую долготу можно связать в виде следующих соотношений:

cos X______

a(X)=arc cos

/ 1 — sin2Xsin2s

и

X(a)=arccos (cos a* cos \)=arc cos ( cos aУ 1— sin2Xsin2e) .

Аль-Фараби тут же дает другое решение этой зада­ чи, в котором он применяет теорему тангенсов: «А так­ же в треугольнике EHG угол G прямой. Поэтому синус EG относится к тангенсу GH, как синус ЕС к тангенсу СВ. GH — склонение, ЕС — четверть круга, СВ — пол­ ное склонение. Следовательно, синус EG известен. Это то, что мы хотели доказать».

136

Таким образом,

отсюда

(4)

a = arc sin (S1)-

Из формул (3) и (4) можно вывести следующие соот­ ношения, связывающие прямое восхождение и эклип­ тическую долготу:

Указанные исследования аль-Фараби в дальнейшем были развиты и дополнены учеными стран ислама. Так, аль-Бируни в «Каноне Мас’уда», последовательно пользуясь этими частными случаями, решает задачу преобразования координат в общем виде [81, стр. 12].

В тринадцатой главе «Книги приложений» для на­ хождения второго склонения, т. е. широты точек эква­ тора, аль-Фараби приводит правило, равносильное фор­ муле

tg62=sinl-tge,

62= arctg(sin>. •tge).

Определение расстояния светил от экватора. В трид­ цать первой главе «Книги приложений» аль-Фараби приводит метод определения расстояния светил от эк­

1 3 7

Опишем дуги KFG и LIG. HG — широта светила» HF — его второе склонение, a GI — его расстояние от экватора. Я утверждаю, что оно известно.

Доказательство этого. Треугольники GFI и KFC по­ добные, так как углы F

уних равные, а углы С

иI прямые. Тогда синус FG относится к синусу GI, как синус FK к си­ нусу КС. FG известна, она равна широте свети­ ла вместе со вторым склрнением; FK — до­ полнение второго скло­ нения, а КС — дополне­ ние наибольшего скло­ нения, потому что KL — наибольшее склонение. Следовательно, GI изве­ стна» [54,стр. 179].

Здесь аль-Фараби, используя другой вариант след­ ствия применения сферической теоремы синусов для прямоугольных треугольников GFI и KFC с общим уг­ лом F и прямыми углами С и / , составляет пропорцию- и находит искомую величину:

отсюда

sin (P+S2) coss

Эта формула точно в таком же виде встречается у ас­ трономов школы Улугбека [76, стр. 161],

Аль-Фараби этими же средствами решает другой случай этой задачи, когда широта и второе склонение светила расположены в разных направлениях. Он пи­

138

шет: «Пусть светило находится в точке X и пусть его широта и второе склонение расположены в разных на­ правлениях. Опишем дуги МХО и NXP, РХ — его ши­

синус ZN к синусу NA. ZX — известна, ZN — дополне­ ние второго склонения. NA — дополнение наибольше­ го склонения, так как MN — наибольшее склонение. ■Следовательно, ХО известна. Это и есть то, что мы хо­ тели доказать» [54, стр. 179—180].

Таким образом,

отсюда

Отметим, что в «Каноне Мас’уда» для определения склонения светила в произвольной точке небесной сфе­ ры (Р¥=0) аль-Бируни, развивая метод аль-Фараби, до­ казывает правило, равносильное формуле

sin 8Х= sin({3± 82) * У 1— cos2А.sin 2s [81, стр. 13].

В последующих главах «Книги приложений» альФараби выводит также формулы нахождения горизон­ тальных координат светил.

Определение «уравнения дня» данной местности. «Уравнением дня» восточные астрономы называют ду­ гу малого круга, описываемую Солнцем от горизонта до пересечения с кругом склонений, проходящим через точку востока и запада (полюса меридиана). Аль-Фара­ би в тридцать седьмой главе «Книги приложений» оп-

ВНМ — экватор с полюсом F. И пусть точка D нахо­ дится на пересечении эклиптики и горизонта [рис. 48]. Мы хотим найти ее уравнение дня. Проведем через нее дугу FGD. Тогда DG —

склонение точки D,

BG — уравнение дня этой точки. Каждая из дуг ВЫ и ВА — четверть круга. В тре­ угольниках BGD и ВНА угол В общий, а углы G, Н прямые. По­ этому синус BG отно­ сится к тангенсу GD, как синус ВН к тан­ генсу НА. GD — скло­ нение точки D, ВН — четверть круга, НА — дополнение широты

местности. Следовательно, BG известна» [54, стр. 184]. Аль-Фараби по теореме тангенсов составляет про­

порцию :

Далее, пользуясь соотношениями tga=ctg(90°— a)

и tg a = ctget

этой формулы: «Таким образом,— пишет он,— он равен делению тангенса склонения на котангенс широ­ ты местности. Поскольку произведение каждого числа на тангенс дуги равно делению этого числа на котан­ генс той же дуги, то произведение тангенса склонения на тангенс широты местности дает синус BG. Следова­ тельно, BG известна».