книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби

70

роны лежали на двух сторонах. Далее продолжим сто­ роны малого квадрата до пересечения [со сторонами большого квадрата] и выделим из большого квадрата [прямоугольник] со стороной малого квадрата, парал­ лельной другой стороне [большого квадрата]. Тогда в большом квадрате останется прямоугольник. Отсечем от прямоугольника, выделенного из большого квадрата, часть, составляющую с малым квадратом другой пря­ моугольник. Тогда от большого квадрата останется ма­ лый. Сохраним его. Далее пересечем два прямоугольни­ ка их диагоналями, получаются четыре треугольника. Их гипотенуза является стороной искомого квадрата. Затем поместим малый квадрат, сохраненный нами, в середину и присоединим к нему четыре треугольника, каждый из них — к одной из его сторон так, чтобы прямые углы из квадрата примыкали к [прямым] уг­ лам треугольников. Получится большой квадрат, со­ стоящий из двух квадратов» [11, стр. 201—202].

Аль-Фараби это правило иллюстрирует следующим образом: пусть меньший квадрат FGEH или DGEH [рис. 15] накладывается на большой квадрат DCAB.

чс

[Рис. 15].

Тогда их сумма состоит из суммы площадей прямо­ угольников DGKB и DCIH и малого квадрата EIAK. Если прямоугольники делим диагоналями НС и BG, то получаются четыре равных прямоугольных треуголь­ ника, расположив которые вокруг малого квадрата, по­ лучим искомый квадрат, равный сумме двух данных квадратов.

Это построение, по существу, содержит доказатель­ ство теоремы Пифагора, базирующееся на принципе

71

равносоставленности и близкое доказательству, данно­ му Сабитом ибн Коррой, которое известно нам в пере­ даче ан-Найризи (умер в 922 г.) [66, стр. 90]. Для доказательства того, что квадрат, построенный на ги­ потенузе прямоугольного треугольника, равен сумме

ходного прямоугольного треугольника DHC в решении аль-Фараби как с, а, Ъ, то площадь полученного квад­ рата выразится алгебраически:

с2= 4 ~ + (а— b)2= a 2 + bi,

что основано на разбивание квадрата, построенного на гипотенузе, на четыре треугольника, конгруэнтных данному, и внутренний квадрат со стороной, равной разности катетов.

Указанное построение аль-Фараби, якобы принад­ лежащее Абу-л-Вафе, приводится в популярной книге Б. А. Кордемского и Н. В. Русалева «Удивительный квадрат» (М.—Л., 1952, стр. 37—38).

72

§ 7. Построения с помощью циркуля постоянного раствора

Вдревней Греции встречаются задачи на построении

спомощью линейки и циркуля постоянного раствора. Так, Герои, используя только эти средства, дает по­

строение перпендикуляра, выставленного в одном из концов отрезка [66, стр. 54]. Об аналогичных решениях геометрических задач упоминает и Папп [67, т. III, стр. 1074]. Первые построения с циркулем постоянного раствора восходят, возможно, к индийским «Правилам веревки» [56,стр. 263].

На средневековом Востоке начали рассматриваться такие построения, по-видимому, из-за запросов ремес­ ленников и геодезистов. Аль-Фараби систематизирует целую группу построений с помощью линейки и цирку­ ля постоянного раствора и открыто выделяет сам прин­ цип решения таких задач, хотя он не доказывает, что этими средствами можно выполнить любое построение, производимое линейкой и обычным циркулем. Аль-Фа­ раби при этом исходит из запросов практики, ибо ре­ зультаты получаются более точными, чем при проведе­ нии окружности различных радиусов.

С помощью линейки и циркуля постоянного раство­ ра он решает в первой книге задачу построения каса­ тельной к данной точке окружности; во второй и тре­ тьей книгах после обычных построений правильных многоугольников по данной стороне рассматривает их построение с помощью линейки и циркуля постоянного раствора. Иногда аль-Фараби ради простоты раствор циркуля принимает не произвольным, а равным неко­ торому отрезку.

Приводим для примера некоторые построения альФараби указанного характера. Он правильный пяти­ угольник строит следующим образом: «Если он ска­ зал: как построить на линии АВ равносторонний пя­ тиугольник, имея [только] раствор циркуля, равный линии АВ, так, чтобы его положение не изменялось, то восставим на линии АВ линию ВС, перпендикулярную к ней и равную линии АВ. Разделим линию АВ попо­ лам в точке D, соединим с С и из точки D как из цен­ тра на расстоянии АВ на линии DC отметим [точку] 7,

разделим DI пополам в точке К и восставим в точке К перпендикуляр КЕ, пересекающий линию АВ в точке Е [рис. 17]. Далее из каждой из точек А и Е как из

Р. С

Е

[Рис. 17]. [Рис. 18].

центров на расстоянии АВ опишем дуги, которые пере­ секутся в точке М. Проведем ВМ и продолжим ее в ее направлении до G и сделаем MG, равной линии АВ, Соединим А и G. Примем точки А и G за центры и на расстоянии АВ отметим точку Н. Примем точки В и G за центры и на расстоянии АВ отметим [точку] F. Проведем линии АН, HG, GF и FB. Получится равно­ сторонний пятиугольник ABFGH» [11, стр. 106— 107].

Если провести вспомогательные линии ЕМ, МА и

MNJLAB, то A B = B C = D I= E K = E M = M A — M G = = G H = A H —BF = GF. Поэтому Z ABM =72°, и дока­ зательство правильности построения опирается на пред­ ложение 10 книги IV «Начал» Евклида о построении равнобедренного треугольника AGB с углами 72° при основании и углом 36° при вершине [65, т. 1, стр. 132].

С помощью циркуля постоянного раствора аль-Фа­ раби строил и многоугольники, вписанные в круг. О по­ строении вписанного квадрата он пишет: «Если он сказал: как вписать в круг равносторонний и равно­ угольный четырехугольник, имея раствор циркуля» равный полудиаметру круга ABCD, то проведем диа­ метр АС, Примем точку А за центр и раствором цирку­ ля отметим точки Е и G, соединим Е и G [рис. 18].

74

Примем точку С за центр и на расстоянии АЕ отметим

правильного пятиугольника с помощью циркуля посто­ янного раствора. Берется отрезок АВ, радиусом АВ из его концов описываются окружности, пересекающие­ ся в С и D (рис. 19). Из D описывается окружность, проходящая через точки А, В и пересекающая две пер­ вые окружности в точках F и G. Соединяя F и G с се­ рединой L прямой АВ и проводя FL и GL, получаем на этих окружностях точки Н и К. Принимаем НА, АВ, ВК за стороны пятиугольника; описывая из Н и К окружности радиуса АВ, получаем и две последние стороны пятиугольника: Ш и KI [65, т. 1, стр. 362—363 (68)]. Дальнейшие исследования в том же направлении были проведены в конце XVIII в. Л. Маскерони, а в XIX в. Ж. Понселе и Я. Штейнером, которые доказали, что всякая задача на построение конечного числа то­ чек, разрешимая посредством циркуля и линейки, вы­ полнима и при одной линейке, если на плоскости построена окружность с отмеченным центром. Из этой

75

теоремы вытекает разрешимость подобных задач при использовании лишь односторонней линейки и циркуля постоянного раствора [69, стр. 241—246].

§8. Построение в пространстве

иидея многомерного куба

Встереометрических книгах «Начал» Евклида со­ держатся и различные задачи на построение в простран­ стве. В тринадцатой книге он приводит построения пра­ вильных многогранников — тетраэдров, октаэдров, ку­ бов, икосаэдров и додекаэдров, вписанных в данную сферу.

Как известно, Архимед также занимался аналогич­ ными построениями. Он определил 13 «полуправильных многогранников» [61, стр. 383— 386].

На средневековом арабском Востоке построение в пространстве впервые мы находим у Сабита ибн Корры, который изложил построение полуправильного четырнадцатигранника с шестью квадратными и восемью треугольными гранями [61, стр. 387— 390].

В геометрическом трактате аль-Фараби имеется собственно одно построение в пространстве. В девятой главе после изложения удобного для ремесленников метода построения квадрата, равновеликого трем рав­ ным квадратам, аль-Фараби предлагает еще один ме­ тод решения этой задачи. Этот метод он называет «ме­ тодом геометров», так как при этом не указывается, как надо разрезать данные три квадрата, чтобы сло­ жить из них большой квадрат.

Об этом способе построения аль-Фараби пишет: «Если же геометр спросит о построении квадрата из большего или меньшего числа квадратов, то он находит линию, квадрат которой равен этим квадратам, и не обращает внимания на разделение квадратов. Поэтому когда его спрашивают о построении квадрата из трех квадратов, то он проводит диагональ одного квадрата, восставляет в одном из концов диагонали линию, пер­ пендикулярную ей и равную стороне квадрата, и со­ единяет конец [перпендикуляра] и другой [конец] диагонали прямой линией; получается сторона ква­ драта, состоящего из трех равных квадратов.

76

Пример этого. Мы хотим построить квадрат, равный трем квадратам, каждый из которых равен квадрату ABDC [рис. 20]. Проведем диагональ AD. Тогда AD —> сторона [квадрата], по­ строенного из двух ква­ дратов. Далее восставим в точке А к линии AD перпендикуляр АЕ, рав­ ный линии АС, и соеди­ ним Е с D; тогда линия ED — сторона квадрата, равного трем квадратам, каждый из которых ра­

вен квадрату АВС. Когда геометр полу­

чает эту линию, он не пи­ шет способа разделения этих квадратов, а говорит о по­ строении на линии ED квадрата, равного трем квадра­ там» [11, стр. 199—200].

Таким образом, согласно этому методу, сторона ис­ комого квадрата равна диагонали куба, ребра которого равны стороне одного из данных квадратов. Это по­ строение удобно тем, что при замене куба параллелепи­ педом оно дает сторону квадрата, равновеликого трем неравным квадратам.

После изложения этого построения аль-Фараби пи­ шет: «Точно так же обстоит дело, если мы хотим [по­ строить] квадрат, состоящий более чем из трех или ме­ нее чем из трех квадратов», т. е. он утверждает, что аналогичное построение применимо и в случае, когда число квадратов больше трех. Поскольку «способ гео­ метров» понимался аль-Фараби как пространственное, а не плоское построение, то эти слова, по-видимому, следует понимать как указание на мысленное построе­ ние в многомерном кубе. Тогда выходит, что сторона квадрата, равновеликого равным квадратам, равна диа­ гонали л-мерного куба, ребро которого равно стороне одного из данных квадратов.

Этот намек аль-Фараби на мысленное построение в многомерном кубе позволяет сделать предположение о содержании упомянутого выше не дошедшего до нас его трактата «Введение в воображаемую геометрию*

77

(Китаб ал-мадхал ила ал-хандаса ал-вахмиййа), о ко­ тором упоминает Ибн Аби Усейбиа (умер в 1270 г.) в своих «Источниках сведений о разрядах врачей» [27,

стр. 140].

Весьма вероятно, что под «воображаемой геометри­ ей» аль-Фараби имел в виду именно многомерную гео­ метрию, в частности многомерное обобщение куба. Кро­ ме того, возможно, к этому времени арабские алгебраи­

зывали «квадрато-квадратом» (мал ал-мал), «квадратокубом» (мал ал-ка’б) и «кубо-кубом» (ка’б ал-ка’б), что позволяло аль-Фараби понимать эти геометрические термины как названия многомерных обобщений куба.

Последняя десятая книга трактата аль-Фараби по­ священа построениям на сфере. Здесь основным источ­ ником, кроме «Начал», могли быть «Сферика» Теодо-

шого круга через две данные точки. Затем он решает ряд задач на разделение сферы на некоторое число сферических многоугольников, что равносильно по­ строению правильных вписанных многогранников, а именно октаэдра, тетраэдра, куба, икосаэдра. Сфериче­ ские многогранники являются соответственно проекция­ ми их граней на поверхности сферы, проведенными из ее центра.

Например, чтобы решить задачу разделения сферы на двадцать равных частей, являющихся правильны­ ми сферическими треугольниками, аль-Фараби пред­ лагает следующий способ: «Если он сказал: как раз­ делить сферу на двадцать равных частей, являющихся равносторонними и равноугольными, то проведем на сфере большой круг, пусть это круг АВС, а его полю­

78

стоянии дуги ВС опишем два круга, пересекающихся в точках Z со стороны полюса Н.

Затем примем точки В и С за полюсы и на расстоя­

треугольников с вершинами в точке G. Таким образом, мы разделили сферу на двадцать равносторонних и рав­ ноугольных треугольников» [11, стр. 213—214].

Это построение аль-Фараби равносильно построению икосаэдра, вписанного в сферу в предложении 16 кни­ ги XIII «Начал» Евклида. Абу-л-Вафа в указанном вы­ ше трактате, продолжая исследования аль-Фараби в том же направлении, дополнительно дает построения додекаэдра, двух из 13 открытых Архимедом полупра-

вильных многогранников и еще трех многогранников

[57, стр. 125—130].

Наконец, отметим, что геометрические построения на сфере широко применялись в доказательствах тео­ рем сферической тригонометрии и астрономии в трудах

как самого аль-Фараби, так и его последователей на средневековом Востоке — Абу-л-Вафы, аль-Бируни, Насра ад-Дина ат-Туси и др.

§ 9. Предмет и содержание геометрической оптики по аль-Фараби

В «Перечислении наук» аль-Фараби, исходя из гре­ ческого наследия, по-видимому, в первую очередь из трудов по оптике Евклида и Птолемея, определяет так­ же предмет и содержание оптики, которая в то время тесно примыкала к геометрии, так как в оптике при изучении хода лучей, свойств зеркал различной формы были нужны специальные геометрические знания. Подчеркивая близость и общность предметов геометрии и оптики, аль-Фараби пишет: «Наука оптика, как и наука геометрия, рассматривает формы, величины, по­ рядок, положение, равенство и различие и др. Однако геометрия рассматривает линии, поверхности и тела абсолютно. Предмет геометрии более общий.

Но науку оптики было необходимо выделить, хотя она входит во все то же, что и геометрия...» [11, стр. 22].

О специфике и особенностях объекта оптика аль-Фа­ раби пишет: «С помощью оптики подлинное различа­ ется от кажущегося и объясняются причины этого ис­

искусных приемов для предотвращения ошибок в до­ стижении истины в рассматриваемой вещи, ее размере, форме, положении, порядке и во всем, в чем может ошибиться зрение» [11, стр. 23].

К предмету оптики аль-Фараби относит и многие вопросы, рассматриваемые ныне в прикладной триго­ нометрии: «Благодаря этому искусству человек может определить размер и величину отдаленных, трудно до­ ступных предметов, их удаленность от нас, расстояние одних предметов от других, например, высоту деревьев, длину стен, ширину долин и рек, можно определить высоту гор и глубину долин и рек, если зрение попадает на их границу. С помощью этого искусства можно уз­ нать расстояние облаков и других вещей от нашего