книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби

150

отношения равны между собой, то мы берем это отно­ шение в самой простой его форме. Умножаем каждый из двух членов на самого себя. Полученные произведе­ ния и будут находиться друг к другу в искомом отно­ шении» [85, л. 23 об.; 86, стр. 74].

Это можно записать так:

А А _А - А _

каждого из этих отношений равны 4 и 3), то умножим последние на самих себя. Тогда эти два числа дадут соответственно 16 и 9. Отношение этих чисел и будет искомым отношением» [85, л. 23 об; 86, стр. 74].

В данном примере

(1+ х)'(1+ х)=х *■х =Чг •

Аль-Фараби это правило обобщает для сколько угод­ но слагаемых.

Аналогичное правило предлагается им и для слу­ чая, когда слагаемые отношения не равны между со­ бой. Он пишет: «Если слагаемые отношения не равны между собой, то они будут либо последовательными,

либо непоследовательными. Отношения 1 - ( - у и 1+

+, например, последовательные. Отношения 1+ ~~-

и1 + - у непоследовательные.

Если слагаемые отношения последовательны, то бе­ рем самые простые числа каждого из них и видим, что самое малое число в одном из отношений является од­ новременно наибольшим в другом из отношений. Та­ ким образом, мы получим три последовательные чис­ ла — два крайних и одно среднее. Отношение самого большого к самому меньшему будет суммой отноше­ ний».

151

Аль-Фараби называет «последовательными» отно­ шения вида

! + V ’ 1+i^pi 1+n "+ 2 ---

сложения которых состоит в том, что

Далее аль-Фараби пишет: «Когда оба отношения, подлежащие сложению, неравны и непоследовательны, то действуем следующим образом: берем самые про­ стые их члены. Они дают нам четыре числа. Самое большое из них выражает самое большое крайнее зна­ чение, самое маленькое — самое малое из крайних значений. Два промежуточных числа, т. е. средние чис­ ла, близки: одно к самому большему крайнему числу, второе к самому крайнему малому числу.

Если умножить число, близкое к наибольшему чис­ лу, на малое число, а число, близкое к наименьшему числу, на самое большое число, то оба полученные числа окажутся в искомом отношении» [85, л. 23 об.; 86, стр. 75].

По-видимому, аль-Фараби «непоследовательными» отношениями считает отношения вида:

п+2 ’ п+4 И ДР*’

сложение которых действительно выполняется по ука­ занному правилу. Например, при сложении отношений

тг + 1, п+4, п + 5. Перемножая их попарно по указанно­ му правилу, получаем отношение

153

Здесь, по существу, аль-Фараби прибегает к нахожде­ нию k чисел, образующих арифметическую прогрес­ сию, у которой крайние члены суть k(n+d), kn и раз­ ность d = (n + d )—п.

Этот пример подобран не случайно, так как в дан­ ном случае в разложении участвуют только отношения вида, которые «чаще всего встречаются» в музыке.

Аль-Фараби дает правило и для другого случая, когда приходится делить одно отношение на несколько других отношений, члены которых отличаются друг от друга, на неравные числа. Для этого он предлагает сна­ чала делить данное отношение по указанному способу на несколько других отношений, члены которых отли­ чаются друг от друга, на равные числа, а затем эти по­ лученные отношения, в свою очередь, делятся таким же образом. Аль-Фараби замечает, что имеются и дру­ гие способы разложения числовых отношений.

Вычитание отношений аль-Фараби рассматривает как обратное действие сложению отношений. Он пред­ лагает правило, которое, по существу, совпадает с сов­ ременным правилом деления дробей: «Если нам нуж­ но вычесть одно отношение из другого, то следуем сле­ дующему правилу: выбираем самые простые члены обоих отношений, умножаем наименьший одного на наибольший член другого, затем наименьший член этого последнего на наибольший первого. В результате этих двух операций получаются два числа, которые между собой окажутся в остаточном отношении» [85,

л. 24; 86, стр. 76].

Это можно записать так:

А . С A -D

В' D В-С •

Указанное правило иллюстрируется следующим примером: «Если, например, нам нужно вычесть отно­

154

шение 1+ из отношения 1+ то мы видим, что

простейшими членами этих двух отношений будут соответственно: 4 и 3, 3 и 2. Умножаем 3, т. е. самый

4. В результате этих двух операций получим два чис­

ла, т. е. 9 и 8, отношение которых, т. е. 1-I— , и будет

О

искомым отношением, т. е. остатком». В данном примере:

(‘+т)=(1+ т Н = т - й - 4 -

В связи с этим следует отметить, что термины сло­ жение и вычитание отношений применялись в восточ­ ной, а затем и в европейской математической литерату­ ре вплоть до XVII в. Ими пользовался, например, Штяфель (1486—1567) в своей «Полной арифметике», в ко­ торой он дает следующий алгоритм вычитания отноше­ ний, т. е. деления отношения на отношение: «Вычитай делительное отношение, пока либо получится равенст­ во, т. е. не будет остатка, либо изменится род отноше­ ния, т. е. отношение, бывшее больше 1, станет меньше 1. Частное состоит тогда из суммы единиц, которыми

•отмечаются отдельные вычитания, ибо для каждого производимого вычитания надо брать одну единицу»

[87, л. 53 об.].

Операция вычитания отношений явилась важным инструментом в создании и развитии учения о дроб­ ных показателях, которое сыграло существенную роль

яподготовке изобретений логарифмов в начале XVII в.

Вполучении разнообразных музыкальных интерва­ лов, видов, групп аль-Фараби искусно применяет все

эти правила операций над отношениями и при этом он вынужден решать многочисленные, порой весьма слож­ ные задачи арифметико-вычислительного характера. Здесь он выступает как виртуозный практик-вычисли­ тель. Ограничимся лишь одним примером.

1 5 7

Остальные числа этого столбца, соответствующие двум другим тонам, получаются соответственно из следующих пропорций:

У

Следует отметить, что аль-Фараби, возможно, для теории музыки или, скорее всего, следуя укоренившей­ ся традиции среди математиков того времени, получен­ ные числовые отношения, т. е. дроби, всячески старает­ ся представить через основные дроби. Впрочем, у него встречаются все виды основных дробей.

Эта традиция в наиболее полной и отчетливой фор­ ме выступает позднее у Абу-л-Вафы в его трактате «Книга о том, что нужно знать писцам, дельцам и другим в науке арифметике» [88].

В заключение можно сказать, что хотя нам извест­ ны не все сочинения аль-Фараби арифметического со­ держания, приведенный выше анализ известных нам его трудов позволяет отметить большие достижения как в методологическом плане, так и в конкретных во­ просах теоретической и практической арифметики. Все эти тенденции и ростки получают в дальнейшем зна­ чительное развитие у его последователей — «Братьев чистоты», Абу-л-Вафы, Ибн-Сины, Омара Хайяма и др.

§3. Определение предмета алгебры

ирасширение понятия числа

Аль-Фараби в «Перечислении наук» с арифметикой связывает целый ряд числовых приемов, которые высту­ пают у него под общим названием «арифметические искусные приемы» и являются частями особого разде­ ла математики, названного им «духовными искусными приемами».

Аль-Фараби не дает классификацию этих числовых приемов, однако, судя по определению предмета, сюда

1 5 8

можно отнести различные числовые приемы, как, на­ пример, тройное правило, правила двух ложных поло­ жений и другие.

Аль-Фараби алгебру также относит к «арифмети­ ческим искусным приемам», однако в отличие от дру­ гих числовых искусных приемов он относит ее не только к арифметике, но и к геометрии. В этой связи большой интерес представляет определение предмета алгебры, данное аль-Фараби.

Как известно, впервые специальную работу по ал­ гебре написал выдающийся среднеазиатский математик Мухаммед аль-Хорезми. В ней он излагает теорию ре­ шения алгебраических уравнений первой и второй сте­ пени. Однако ни аль-Хорезми, ни другие авторы, пи­ савшие вслед за ним трактаты по алгебре, не дали чет­ кого определения предмета этого нового раздела мате­ матики.

Аль-Фараби пытается восполнить этот пробел. Он следующим образом определяет предмет алгебры: «Од­ ним из искусных приемов являются числовые приемы;, причем они бывают многообразными. Среди них нау­ ка, называемая нашими современниками алгеброй и алмукабалой. Эта наука является общей как для ариф­ метики, так и для геометрии. Она содержит разнообраз­ ные искусные методы нахождения чисел, основы кото­ рых для рациональных и иррациональных величин да­ ны в десятой книге «Начал» Евклида и в том, что не приведено в этой книге» [11, стр. 33— 34].

Здесь аль-Фараби, по-видимому, имеет в виду про­ водившуюся рядом математиков X в. арифметизацию и алгебраизацию результатов X книги «Начал» Евклида и аналогичных результатов для более общих иррацио­ нальностей, о которых говорилось в V книге «Начал».

Как видно из приведенного отрывка, аль-Фараби одним из первых в истории математики определяет ал­ гебру как раздел математики, предметом которой яв­ ляется нахождение методов числовых значений неиз­ вестных. При этом неизвестными, а также коэффициен­ тами алгебраических уравнений могут служить как. числа, так и непрерывные геометрические величины.

После аль-Фараби аналогичное определение пред­ мета алгебры встречаем у выдающегося среднеазиат-:

159

ского математика Омара Хайяма, который, видимо, был знаком с определением аль-Фараби [43, стр. 70—71].

Для более широкого охвата рассматриваемых алгеб­ рой объектов аль-Фараби предлагает идею расширения понятия числа до положительного действительного чис­ ла. Исходя из теоретических положений древнегрече­ ских математиков, в первую очередь из «Начал» Ев­ клида, а также новых достижений алгебраистов и прак- тиков-вычислителей средневековья, он одним из первых устанавливает однозначное соответствие между геоме­ трическими величинами (рациональные и иррациональ­ ные) и числами (рациональными и иррациональными), и при этом вводит особый термин «узм» («величина» или «великость») для количественной (числовой) харак­ теристики величин.

По этому поводу аль-Фараби пишет: «Поскольку рациональные и иррациональные величины относятся одни к другим как числа к числам, постольку каждое число по величине (узм) будет равно рациональной или иррациональной величине.

Если находятся те числа, которые равны по величи­ не (узм) некоторым величинам, то и эти величины на­ ходятся каким-нибудь образом. Поэтому некоторые числа считаются рациональными, а некоторые — ирра­ циональными в зависимости от того, будут ли они по величине (узм) равны рациональным и иррациональ­ ным величинам» [11, стр. 34].

Таким образом, по аль-Фараби, каждая геометри­ ческая величина имеет числовую характеристику — узм, который, нам кажется, является предтечей поня­ тия «знаменований» рациональных и иррациональных отношений.

Расширение понятия числа в данном случае естест­ венным образом связано аль-Фараби с предметом ал­ гебры, так как исторически одним из объективных сти­ мулов в расширении понятия числа явились многочис­ ленные попытки числового решения задач алгебраиче­ ского характера. Эти попытки, в свою очередь, настоя­ тельно требовали арифметизации теории отношений и учения об иррациональности древних греков, изложен­ ные в пятой и десятой книгах «Начал» Евклида, кото­ рые имеет в виду и аль-Фараби.