книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби

1 6 0

Действительно, история этих книг как раз и яви­ лась историей арифметизадии геометрии, историей эво­ люции числа.

Нам кажется, что намек на расширение понятия числа в философском плане имеется уже в упомяну­ том выше трактате аль-Фараби «О происхождении наук», где он определяет науку о числе как «науку об умножении одних частей субстанции на другие, о де­ лении одних на другие, о прибавлении одних к другим, об отнятии одних от других, о нахождении корня всех тех частей, которые имеют корни, о нахождении их пропорции и т. д. Так как он при объяснении причины происхождения науки чисел, следуя греческой тради­ ции, определяет число как «множество, составленное из единиц», здесь, очевидно, к рассматриваемым им «частям субстанции» относятся не только числа, но и величины значительно более широкого класса. В рас­ суждении аль-Фараби о числах и науке о числах в неявной форме заключено более научное определение числа как отношения одних частей субстанции к дру­ гим частям.

В «Большой книге музыки» аль-Фараби не делает особого различия между числовыми отношениями и ■отношениями геометрических величин. Он, по существу, рассматривает числовое отношение как частный случай отношения величин. Преобразуя музыкальные интерва­ лы, выражаемые числовыми отношениями, аль-Фараби постоянно опирается на пятую книгу «Начал» Евкли-

А С

да. Например, из пропорции -g = ^ , где А, В, С, D —

числовые значения соответствующих тонов, аль-Фара-

казательство, приведенное Евклидом в указанной кни­ ге. Более того, во многих рассуждениях в этом тракта­ те тона аль-Фараби отождествляет с точками на пря­ мой и каждому тону ставит в соответствие определен­ ное число, что показывает наличие, хотя и в стихий­ ной форме, концепции континуума. Все это говорит, о том, что одним из решающих факторов, вдохновляв­

162

«уравнения дня», которое гласит: «Произведение каж­ дого числа на тангенс дуги равно делению этого числа на котангенс той же дуги», т. е.

d>tga= d , где d — любое число [54, стр. 194].

Доказательство этого соотношения у аль-Фараби в сохранившихся главах рукописи «Книги приложений» отсутствует, оно, по-видимому, дано в отсутствующих главах (22—26 главы), содержавших доказательства теорем сферической тригонометрии (в частности, тео­ ремы синусов и тангенсов для сферического прямо­ угольного треугольника).

Доказательство указанной формулы мы находим у ближайшего последователя и ученика аль-Фараби Абу-л-Вафы, который, следуя за аль-Фараби, это пред­ ложение приводит в своем «Алмагесте» сразу же после доказательства указанных теорем сферической триго­ нометрии и в дальнейшем применяет данную формулу для той же цели, что и аль-Фараби. Правда, Абу-л-Вафа терминологически несколько более осторожен по пово­ ду отождествления чисел и величин. Приводим это ме­ сто из рукописи «Алмагеста» Абу-л-Вафы: «Для каж­ дой дуги [частное] от того [числа], что делится на одну из теней, равно произведению того же [числа] на вторую тень.

Пусть А — прямая тень данной дуги, а В — ее об­ ратная тень; С — гномон.

При делении [числа] величины D на А получится

есть то, что мы хотели доказать» [104, л. 18 об.].

163

Это предложение и его доказательство интересны тем, что показывают наличие у аль-Фараби идеи еди­ ничного тригонометрического круга, т. е. числовое зна­ чение радиуса круга-гномона аль-Фараби предполагает равным единице. Это позволяет аль-Фараби и Абу-л- Вафе не всегда соблюдать при преобразованиях равен­ ства размерность обеих частей

B D = C E ,

B -D =E

или

АС

£= £ , А В— С2= С , где С— единица, A = ctgcc, B = tga.

Такое новшество, как нам кажется, прежде всего служит этим математикам для определения числовых значений линий тангенса и котангенса данной дуги, исходя из числовых значений линий синуса и косину­ са той же дуги, что было вызвано необходимостью со­ ставления более точных таблиц тангенсов и котанген­ сов. При этом они пользуются соотношениями:

полученными благодаря рассмотрению всех тригономе­ трических линий в единичном круге.

Мы полагаем, что эта попытка нахождения числово­ го выражения отношения линии тангенса к единично­ му отрезку через отношение линий синусов (или коси­ нусов) вполне могла послужить основой для распростра­ нения аналогичных рассуждений и на другие отноше­ ния линий.

Аль-Фараби и Абу-л-Вафа имели в этом отношении последователя в лице аль-Бируни, который в V главе III книги «Канона Мас’уда» писал: «У окружности кру­ га к его диаметру имеется некое отношение, поэтому у числа окружности к числу диаметра также есть отно­ шение, хотя оно иррационально» [105, стр. 271]. При этом «число диаметра» предполагается равным двум единицам. Заметим, что как аль-Фараби, так и аль-Би-

164

'Руни отличают считаемое (ма’дуд) от абстрактного чис­ ла, а также условную делимую единицу от истинной не­ делимой единицы,

Аль-Бируни, как и аль-Фараби и Абу-л-Вафа, по­ стоянно применяет к геометрическим величинам ариф­ метические термины «умножение», «деление» и др., что совершенно было неприемлемо для греческих матема­ тиков классической древности. У аль-Бируни мы также находим попытку дальнейшего обобщения исследова­ ний аль-Фараби и Абу-л-Вафы по определению отноше­ ний тригонометрических линий. Он во II главе V книги «Канона Мас’уда», рассматривая составные отношения, выражающие сферическую теорему Менелая, пишет об одном из входящих в них отношений, об отношении

sin СБ : <<®сли разделить синус FC на синус СВ, по­

лучится то, что относится к единице как синус FC к

синусу СВ* [105, стр. 477].

Далее, вводя аналогичные величины для других из этих отношений, аль-Бируни говорит, что в силу опре­ деления «составного отношения» первая из этих вели­ чин является произведением двух других.

Нечто аналогичное имелось уже у аль-Фараби, ко­ торый, проводя операции над составными отношения­ ми, выражающими ту же теорему Менелая, неявно предполагает, что каждое отношение тригонометриче­ ских линий характеризуется определенным числом. Обобщая метод Птолемея по вычитанию одного число­ вого отношения из другого, аль-Фараби пишет: «Для легкого способа отбрасывания отношения от отношения мы требуем два числа отношения, которые были бы не больше и не меньше его, тогда отношение одного к другому — как одно из двух отношений, остающихся [при отбрасывании] из него, и находится третье чис­ ло.; затем рассматриваем отношение этого третьего чис­ ла ко второму из двух первых чисел, которое не больше и не меньше его. Если нет отношения, то [имеем отно­ шение] к другому, это отношение двух этих неизвест­ ных» [48,стр. 17].

Здесь, по-видимому, аль-Фараби для каждого из трех отношений тригонометрических;линий старается

165

найти определенное число и произвести арифметиче­ ские действия уже над этими числами.

Следующей ступенью в расширении понятия числа были знаменитые исследования Омара Хайяма, в ко­ торых он обобщает способ определения числовой вели­ чины отношения тригонометрических линий на отно­ шение любых однородных непрерывных величин. Для обоснования того, что составление отношений можно рассматривать как умножение, Хайям явно предлагает расширить понятие числа и рассматривать как число любые непрерывные величины. Хайям при этом также вводит единицу и полагает ее отношение некоторой ве-

личине G равным отношению -g. По этому поводу

он пишет: «Будем смотреть на величину G не как на линию, поверхность, тело или время, а как на величи­ ну, отвлеченную разумом от всего этого и принадлежа­ щую к числам, но не к числам абсолютным и истинным, так как отношение А к В часто может не быть число­ вым, т. е. нельзя найти двух чисел, отношение которых было бы равно этому отношению» [43, стр. 144—145],

При обосновании такого определения Омар Хайям также опирается на практику вычислителей.

В заключение отметим, что попытки расширения понятия числа у аль-Фараби, Абу-л-Вафы, аль-Бируни, Омара Хайяма и др. служили для обоснования вычис­ лений корней алгебраических уравнений и тригономе­ трических величин и явились большим вкладом в соз­ дание теории вещественных чисел.

§ 5. Сочинения аль-Фараби по математической теории музыки

К арифметике и алгебре тесно примыкает теория музыки аль-Фараби, в создании которой он в значитель­ ной степени пользовался арифметико-алгебраическими методами. В «Перечислении наук», следуя традиции древних греков, он теорию музыки относит к числу математических наук. Аль-Фараби следующим обра­ зом определяет предмет науки о музыке: «Что касается науки о музыке, то в общем она заключается в изуче­ нии видов мелодий: из чего они слагаются, для чего их

166

слагают, какими они должны быть, чтобы их действие было наиболее проникающим и впечатляющим. Под этим названием понимаются две науки: во-первых, практическая наука о музыке, во-вторых, теоретиче­ ская наука о музыке» [11, стр. 29].

Аль-Фараби, как и в случаях арифметики, геоме­ трии и астрономии, противопоставляет практическую и теоретическую науки о музыке. Он особое значение придает теоретической науке о музыке, которая, неся сугубо умозрительный, отвлеченный от материи ха­ рактер, дает знание о тонах и мелодиях на основе фи­ зико-математических наук.

По аль-Фараби, теоретическая наука о музыке со­ стоит из пяти крупных частей. Первая часть изучает общие начала и принципы наук и искусства; во второй части «речь идет об элементах этого искусства, об из­ влечении тонов, о количестве, качестве их видов, объ­ ясняет отношение одних тонов к другим и доказатель­ ство всего этого. В нем также разъясняются виды рас­ положения и порядка тонов, благодаря которым послед­ ние становятся согласованными, с той целью, чтобы можно было подбирать подходящие тона и слагать из них мелодии» [11, стр. 30—31].

Аль-Фараби считает, что именно эта часть теории музыки больше всего нуждается в услугах арифмети­ ки и других математических наук.

В третьей части исследуется применение того, что разъяснялось об элементах, началах учения о музыке путем доказательств и рассуждений, в различных музы­ кальных инструментах. В четвертой части науки музы­ ки, по аль-Фараби, изучаются виды естественных рит­ мов, составляющих метрическую основу тонов, а пред­ метом пятой части служит составление мелодий вообще.

Аль-Фараби принадлежит ряд сочинений по теории музыки, таких, как «Большая книга музыки», «Книга об элементах науки о музыке», «Классификация рит­ мов», «Введение в музыку» и др.

Трактат «Большая книга музыки» является одним из фундаментальных его трудов. В 1930— 1935 гг. он был переведен на французский язык.

По замыслу автора «Большая книга музыки» долж­ на была состоять из двух книг. Однако вторая книга,

167

посвященная истории музыкальных учений, комменти­ рованию и критике музыкальных сочинений предшест­ венников аль-Фараби, либо до нас не дошла, либо и вовсе не была написана.

По структуре основные части этого трактата соот­ ветствуют указанным выше пяти частям теоретической науки о музыке. Первая книга содержит четыре боль­ ших раздела: 1) введение в теорию музыки; 2) начала науки о музыке; 3) инструменты; 4) композиция.

Для ознакомления со структурой этого великого со­ чинения аль-Фараби считаем целесообразным привести краткий обзор каждого из разделов.

Первый раздел — «Введение в теорию музыки» со­ стоит из двух частей, освещает следующие вопросы: оп­ ределение мелодии, музыка теоретическая и музыка практическая; инструменты, музыкальное предраспо­ ложение, создание мелодий; различные жанры (роды) музыки; музыкальный талант (голос) и звуки инстру­ ментов; происхождение музыки; изобретение инстру­ ментов; музыкальное воспитание; теоретическая нау­ ка; теоретическое музыкальное искусство; суждение о чувствах и разуме; начальные принципы; что имеется «естественного» в музыке; гармония и созвучие, несозвучие; поиски «естественных тонов»; музыкальные интервалы; октавы; инструменты, предназначенные производить (порождать) естественные тона; шахруд и лютнл (инструменты); группировки однородных тонов, гамма; основные интервалы: октава, квинта, кварта, тон; интервал остатка или «лимма»; деление кварты на три интервала, роды (жанры); дискуссии о полутоне, шкала, образованная двенадцатью полутонами; при­ чина высоких и низких звуков; изображение тонов чис­ лами; теоретическая и практическая идея тонов; со­ звучия (консонансы); простые отношения, произведе­ ние (сложение), деление (вычитание) и разложение (де­ ление).

Второй раздел — «Начала науки о музыке», состоя­ щий также из двух частей, включает следующие во­ просы: принципы физики; создание звука и его пере­ дача ; тон, его определение; тела, производящие звуки; причины высокого и низкого звука; причины, которые можно измерить, и причины, которые нельзя оценить;

168

отношение тонов; о музыкальном интервале; двойная октава, кварта, квинта, тон; отношение созвучий и от­ ношение диссонансов; большие, средние и малые ин­ тервалы; арифметические правила для сложения, де­ ления и вычитания интервалов; различные виды ин­ тервалов созвучий; большие, средние и малые интерва­ лы; роды (жанры); группы большие, чем кварта; со­ вершенная группа или двойная октава; название тонов в группе; тона неподвижные и тона подвижные; то­ нальность; смешение тонов и интервалов; смешение групп и тональностей; эволюция (движение) мелодии через тона; создание инструмента для эксперименталь­ ной проверки теории.

Третий раздел — «Инструменты», состоящий из двух частей, включает следующие вопросы: инструмен­ ты, рассматриваемые как экспериментальный кон­ троль теории; описание лютни, ее лады и лигатуры; обычный строй, тона октавы; интервалы, осуществляе­ мые на лютне; шкала лютни и тона особенные, их чис­ ло; созвучие тонов лютни между собой; созвучие «лиммы» и четверти тона; созвучия «случайные»; расши­ рение шкалы лютни, пятая струна; аккорды (т. е. на­ стройки) иные, чем обычные; о танбурах; танбур баг­ дадский; лады равноотстающие и лады переменные; другие аккорды; фиксация родов (жанров) на этом ин­ струменте; танбур хорасанский; соответствие тонов хорасанского танбура шкале лютни; другие аккорды; флейты; высота и низкость звука во флейтах; ва­ рианты флейт; рабаб; другие аккорды на рабабе; арфы.

Четвертый раздел — «Композиция», состоящий из двух частей, содержит следующие вопросы: определе­ ние мелодии, группы полные и неполные; таблицы групп; созвучия и диссонансы; эволюция; ритм; ос­ новной ритм; ритмы сходящиеся, ритмы расходящие­ ся; удары повторяющиеся, удары дополнительные; традиционные арабские ритмы; композиция мелодий; голосовые мелодии; человеческий голос; фонемы и фразы; приспособление слова к мелодии; тона пустые и тона заполненные; пение пустых тонов и пение за­ полненных тонов; пение смешанное; пение сходящееся и расходящееся; композиция голосовых мелодий; на­

169

чало и конец пения; мелодийный эффект; украшение мелодий, их отношение к страстям.

Каждый из этих разделов, особенно первые два, представляют собой подлинные шедевры средневековой научной мысли вообще, физико-математической — в особенности.

§6. Метод построения теории музыки

уаль-Фараби

Вэтом трактате в широком плане затрагиваются не только вопросы музыки, математики, физики и дру­ гих отраслей знания, но и весьма важные методологи­ ческие проблемы науки и искусства. В этом отношении большой интерес представляет его экспериментально­ математический метод построения теории музыки, при­ мыкающий к аксиоматическому методу Евклида, по которому были построены его «Начала».

Аль-Фараби в начале трактата об основных прин­ ципах своего метода пишет: «Чтобы быть хорошим тео­ ретиком, независимо от науки, к которой это относит­ ся, необходимы три условия:

1.Хорошо знать все принципы.

2.Уметь делать необходимые выводы из этих прин­ ципов и данных, относящихся к этой науке.

3.Уметь отвечать на ошибочные теории и анализи­ ровать мнения, высказанные другими авторами, чтобы отличить истину от лжи и исправлять ошибки» [85,

л. 1 об.; 86, стр. 2].

В совершенстве владея наследием древних, в пер­ вую очередь Аристотеля, Евклида и античных теорети­ ков музыки, исходя из их принципиальных положе­ ний, аль-Фараби создает оригинальный метод построе­ ния теории музыки, которая была в то время одной из самых совершенных отраслей науки, занимавшей сты­ ковое положение между физикой, математикой и ис­ кусством [89].

Аль-Фараби прежде всего выявляет первые принци­ пы учения о музыке. Следует отметить, что хотя альФараби преимущественно говорит о теории музыки, однако многие его рассуждения носят общий характер и их в принципе можно применить для создания и