книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби

230

чаев, так и было бы определено, насколько одни случаи могут легче встретиться, чем другие. Но здесь мы, повидимому, встречаем препятствие, так как только крайне редко это возможно сделать и почти нигде не удается, кроме игр, зависящих от случая, которые пер­ вые изобретатели постарались сделать безобидными, устроили так, чтобы были совершенно известны числа случаев, влекущих выигрыш или проигрыш, а сами случаи могли бы встретиться одинаково легко. В боль­ шинстве же других явлений, зависящих или от дейст­ вия сил естественных, или от свободной воли людей, не имеет места ни то, ни другое... Кто из смертных когдалибо определит каково число случаев, например, болез­ ней, и насколько одна болезнь легче погубит человека, чем другая, например чума по сравнению е водобояз­ нью» [103, стр. 31— 32].

Результат в этих случаях, рассуждает Я. Бернулли, «зависит от причин, совершенно скрытых, и сверх того, вследствие бесконечного разнообразия их сочетаний, всегда ускользающих от нашего познания, и было бы совершенно безумно желать что-либо узнать таким пу­ тем. Но здесь нам открывается другая дорога для до­ стижения искомого. И что не дано вывести a priori, то по крайней мере можно получить a posteriori, т. е. из многократного наблюдения результатов в подобных примерах. Потому, что нужно предполагать, что неко­ торые явления впоследствии в стольких же случаях могут случиться или не случиться, в скольких при по­ добном же положении вещей раньше они были отмече­ ны случившимися и неслучившимися... Этот опытный способ определения числа случаев по наблюдениям не нов и не необычен... То же все постоянно соблюдают в повседневной практике» [103, стр. 22— 23].

Здесь Бернулли рассуждает также в духе аль-Фара­ би о роли опыта и наблюдений при изучении массовых возможных явлений. При этом он замечает, что этот способ «не нов и не необычен», что показывает наличие давнишней традиции опытного определения вероятно­ сти того или иного явления.

Далее Бернулли, еще более глубоко развивая свою мысль о статистическом определении вероятностей, пе­ ред которыми остановились его предшественники (в

231

том числе аль-Фараби), пишет: «Для такого рассужде­ ния... требуется большой запас наблюдений.

Хотя это, естественно, всем известно, но доказа­ тельство, извлекаемое из научных оснований, вовсе не так обычно и потому нам предстоит его здесь изложить. Причем я счел бы для себя малой заслугой, если бы остановился на доказательстве того, что все знают. Здесь для рассмотрения остается нечто, о чем до сих пор, может быть, никто и не думал. Именно остается исследовать, может ли при таком увеличении числа наблюдений вероятность достичь действительного от­ ношения между числами случаев, при которых какоелибо событие может случиться или не случиться, по­ стоянно возрастать так, чтобы, наконец, превзойти вся­ кую степень достоверности, или же задача, так ска­ зать, имеет свою асимптоту, т. е. имеется такая степень достоверности, которую никогда нельзя превзойти, как бы ни умножались наблюдения» [103, стр. 23— 24].

Только после такого философского введения Бер­ нулли приступает к доказательству закона больших чисел.

Таким образом, философские рассуждения ученых о вероятностях не остаются бесследными, а служат ме­ тодологической основой теоретико-математических изысканий, направленных на предугадывание, обнару­ жение закономерностей массовых случайных явлений и тем самым благоприятствуют возникновению научной теории вероятностей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В литературе, посвященной истории науки, до по­ следнего времени роль аль-Фараби в развитии частных наук почти не освещалась, он в основном характеризо­ вался как философ, подражатель Аристотеля, занимав­ шийся лишь отдельными методологическими вопроса­ ми естествознания, в частности математики.

Более внимательное изучение научных и научно­ философских трудов аль-Фараби показывает, что он ос­ тавил богатое, содержательное наследие по разным от­ раслям математики своей эпохи.

Математические достижения аль-Фараби охватыва­ ют три между собой тесно связанных, взаимопереплетающихся круга вопросов: как крупнейший философаристотелик он принимал активное участие в разработ­ ке актуальных методологических проблем математики; аль-Фараби оставил блестящие образцы применения математических теорий и методов к решению разнооб­ разных задач естествознания и практики; наконец, ему принадлежат крупные оригинальные исследования по чисто теоретическим вопросам математики. При этом он, естественно, исходил из богатого научного наследия древнегреческих корифеев науки и своих арабских и среднеазиатских предшественников.

Аль-Фараби философски правильно объяснил при­ чины происхождения математических наук, он дал их оригинальную классификацию как по происхождению, так и по изучению. В системе наук он уделял большое внимание естественно-математическим наукам.

В «Перечислении наук» аль-Фараби по-своему ста­ рается определить разделы, предмет и содержание всех

233

отраслей математики того времени (арифметика, гео­ метрия, оптика, математическая астрономия, музыка, наука о тяжестях и наука об искусных приемах). АльФараби одним из первых в истории математики опре­ деляет предмет алгебры, которая, по его мнению, буду­ чи общей наукой как для арифметики, так и для гео­ метрии, рассматривает обобщенные методы нахождения числовых значений неизвестных величин. В связи с этим он предлагает идею расширения понятия числа до положительного действительного числа.

Идея по отождествлению чисел и геометрических величин высказывается аль-Фараби в ряде мест его об­ работок «Алмагеста». Он вводит термины «число отно­ шения», «число линий», «количество величины»; при этом аль-Фараби свободно умножает и делит числа на тригонометрические линии. В его работах присутствует в неразвитом виде концепция континуума.

Аль-Фараби методологически весьма правильную позицию занимал в решении очень сложной и чрезвы­ чайно актуальной проблемы математизации наук; он пытался обосновать идею об универсальной при­ менимости математики к решению различных задач ес­ тествознания и практики. По его утверждению, ариф­ метика и геометрия «проникают во все науки», так как они оперируют понятиями и отношениями, абстрагиро­ ванными от реальных предметов и от реально сущест­ вующих взаимосвязей и взаимоотношений между эти­ ми предметами. В этом вопросе аль-Фараби существен­ но дополнил Аристотеля, который, как известно, ставил определенные ограничения повсеместному применению математики.

Характерно определение, данное аль-Фараби послед­ нему разделу математики — «Наука об искусных прие­ мах», как науке о применении математики в практике, т. е. как прикладной области математики.

У аль-Фараби встречаем интересные философские высказывания о вероятностных понятиях. Исходя из идей Аристотеля, высказанных в «Аналитиках» и дру­ гих сочинениях, а также из данных естественных наук и практики своего времени, он классифицирует воз­ можные случайные явления по их вероятности: «невоз­ можное», «редко возможное», «равновозможное», «воз­

234

можное в большинстве случаев», «необходимое (досто­ верное)»; логически обосновывает существование нау­ ки о явлениях, «возможных в большинстве случаев», т. е. о массовых случайных явлениях.

В комментариях к «Началам» Евклида аль-Фараби рассматривает основные понятия геометрии и критику­ ет порядок изложения этих понятий у Евклида. На ос­ нове синтеза логических идей Аристотеля о структуре науки, аксиоматического метода Евклида и экспери­ ментального, т. е. эмпирического подхода к изучению физических закономерностей, аль-Фараби в «Боль­ шой книге музыки» создает своеобразный эксперимен­ тально-математический метод построения теоретиче­ ских наук (в некотором смысле, соответствующий сов­ ременному методу принципов).

Аль-Фараби предвосхитил некоторые идеи матема­ тической логики. Хотя он и следовал в целом за логи­ ческой доктриной Аристотеля, но уже сделал первые шаги в разработке теории материальной импликации. Предвосхищая идеи Р. Бэкона и др., аль-Фараби объек­ том математических наук считает количественные от­ ношения. У него категории количества и меры являют­ ся центральными, с помощью которых он старается выражать такие важнейшие категории, как «субстан­ ция», «время», «качество» и др.

Методологические установки и рекомендации альФараби о применении математики не остаются в виде философской декларации, а успешно используются им в создании прикладных областей математики, а также отраслей математического естествознания. Его теория музыки в «Большой книге музыки», математическая астрономия в «Книге приложений к „Алмагесту” », а также теория построения геометрических фигур, необхо­ димых практикам-ремесленникам, показывают, что альФараби был крупным специалистом, теоретиком, мате­ матического естествознания и прикладной математики.

В «Большой книге музыки» и в его обработках «Алмагеста» рассматривались функциональные зависимо­ сти, комбинаторные задачи, инфинитезимальные идеи и другие вопросы математического содержания. Боль­ шой интерес представляют функциональные зависимо­ сти, рассмотренные аль-Фараби в связи с созданием

235

теории музыки, а также его попытки эмпирико-графи­ ческого изображения количественно-качественных соот­ ношений, характеризующих различные музыкальные явления. Хотя аль-Фараби, следуя за Аристотелем, приг держивается концепции о бесконечной делимости вели­ чин, однако в создании теории музыки он время, дви­ жение рассматривает дискретными и прерывными. Ато­ мистическая модель непрерывной субстанции позволя­ ет аль-Фараби еще более математизировать изучаемые объекты.

Большой интерес для истории математики представ­ ляют исследования аль-Фараби по тригонометрии и геометрии. В тригонометрических главах «Книги при­ ложений к „Алмагесту” » он излагает основные понятия о тригонометрических линиях и принципах составления тригонометрических таблиц, находит более точные, чем ранее, значения хорды, синуса и косинуса одного градуса, вводит тангенс и котангенс в тригонометриче­ ском круге. Одним из первых он доказал теоремы си­ нусов и тангенсов для прямоугольного сферического треугольника, которые сыграли большую роль в преды­ стории сферической тригонометрии. Аль-Фараби также доказал плоскую теорему синусов для прямоугольного треугольника. Он широко применяет тригонометрию для решения разнообразных задач математической ас­ трономии и географии. Тригонометрические достижения аль-Фараби явились важным вкладом в развитие как плоской, так и сферической тригонометрии.

Рассмотренные труды по геометрии аль-Фараби по­ казывают, что он наряду с решением методологических проблем и конкретных задач геометрии выдвигал очень важные абстрактные геометрические идеи. В «Книге духовных искусных приемов» он впервые в истории математики в систематической форме излагает методы решения задач конструктивной геометрии, особо важ­ ны задачи на построение с помощью циркуля постоян­ ного раствора, построение параболы, задачи на преоб­ разование многоугольников, в одной из которых встре­ чается намек на многомерное обобщение куба, а также задачи на построение на сфере. Аль-Фараби принадле­ жит пока не найденный трактат «Введение в воображае­ мую геометрию».

236

Отмечены большие достижения аль-Фараби как в шетодологическом плане, так и в конкретных вопросах теоретической и практической арифметики, которые легли в основу его математической теории музыки.

Труды аль-Фараби по математике оказали боль­ шое воздействие на математическое творчество «Брать­ ев чистоты», Абу-л-Вафы, Ибн-Сины, аль-Бируни, Ома­ ра Хайяма, Насра ад-Дина ат Туей, Роджера Бэкона, Леонардо да Винчи и др. В историко-философской ли­ тературе в последнее время часто встречается мнение о том, что арабский аристотелизм оказался более тесно связанным с конкретными науками — математикой, астрономией и др. Это подтверждает и научная дея­ тельность аль-Фараби, который, будучи основополож­ ником восточного перипатетизма, одновременно был одним из крупнейших математиков эпохи восточного средневековья.

иИрана VII— XII вв. М., 1960.

3.Х а й р у л л а е в М. М. Мировоззрение Фараби и его зна­ чение в истории философии. Ташкент, 1967.

4.A 1-F а г a b i. Grand Traite de la Musique (ed. R. d’Erlan­ ger). Paris, 1930.

9.История отечественной математики, т, 1. Киев, 1966.

10.Тезисы докладов (по приглашению) Международного кон­

13.Б и р у н и. Памятники минувших поколений. Избр. про­ изведения, т. 1. Ташкент, 1957.

14.История Казахской ССР, т. 1. Алма-Ата, 1957.

15. М а л о в С. Е. Памятники древнетюркской письменно­ сти. М. — Л., 1951.

16.Наука Советского Казахстана. Алма-Ата, 1960.

17.Всемирная история, т. 2. М., 1956.

238

18.«Вестник АН КазССР», 1970, № 8.

19.Историко-математические исследования, вып. XIII. М„

26.A t e s A. Farabinin eserlerinin bibliografyasi. Turk tarih feurumu. Belleten, с. XV. Ankara, 1951, 57.

27.Ibn Abi Usaibia. Uyun el-arba fi tabaqat al-tibba, herausg. v.on A. Muller, Konigsberg, Bd. II, 1884.

28.Ibn el Qifti. Tarich el-hokama. Kahr, 1909.

29.S t e i n s c h n e i d e r M. Al-Farabi, des arabischen Philo-

senschaften (De scientiss , Sitz. d. phys.-med. Soz. in Erlangen. Bd. 39, 1907, 74— 101.

cal treatise of Al-Farabi, Archives intemationales d’histoire des sci­ ences fond. A ; Meili. Paris, 1969, v. 86—87, p. 50.

33.Х а й р е т д и н о в а H. Г. Тригонометрия в трудах альФараби и Ибн-Сины. «Вопросы истории естествознания и техни­ ки», 1969, вып. 3 (28), стр. 29— 32.

34.А л ь - Ф а р а б и . Большая книга музыки (на араб. яз.).

Каир, 1967.

35.К у б е с о в А. Вопросы арифметики у аль-Фараби. Мате­ риалы Всесоюзного симпозиума по теории чисел. Алма-Ата, 1969, стр. 34— 37.

36.Х а й р у л л а е в М. М. Фараби— крупнейший мыслитель Средневековья. Ташкент, 1973.

239

42. К у р а н т Р., Р о б б и н с Г. Что такое математика? Пер. с англ. М., 1967.

43.О м а р Х а й я м . Трактаты, пер. В. А. Розенфельда, всту­ пительная статья и комментарии В. А. Розенфельда и А. П. Юш­ кевича. М., 1961.

44.А б д у р а х м а н о в А. Математика в астрономических

трудах Бируни. Автореф. дис. на соиск. ученой степени кандидата физико-математических наук. Ташкент, 1970.

45. А л ь - Ф а р а б и . О происхождении наук, пер. А. В. Са-

гадеева, в кн. [2].

46. Е. K o l m a n . L’ anticipation de certaines idees de la Iogique mathematique chez Al-Farabi; XII Congres International d’ffistoire des sciences Paris 1968, Actes tome 1П A, Science et Philo­ sophic Antiqnete — Moyen Age — Renaissance. Paris, 1971.

47.С т я ж к и н H. И. Формирование математической логи­ ки. M., 1967.

48.Б э к о н Р. О музыке. В кн. В. П. Шестакова «Музыкаль­

ная эстетика стран западноевропейского средневековья и возрож­ дения». М., 1966.

49.Т р а х т а н б е р г О. В. Очерки по истории западноев­ ропейской философии. М., 1957.

50.К е д р о в Б. М. Классификация наук, т. 1. М., 1963.

51.З у б о в В. Г. Аристотель. М., 1963.

52.Б е р н а л Д ж. Наука в истории общества. М., 1956.

ги знания» (Донишнома). Душанбе, 1967.

56. Ю ш к е в и ч А. П. История математики в средние века.

М., 1961.

57.А б у - л - В а ф а а л ь - Б у з д ж а н и . Книга о том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений, пер. и прим. С. А. Красновой, «Физико-математические науки в странах Востока», 1966, вып. 1(IV), стр. 56— 130.

58.К р а с н о в а С. А. Геометрические построения на Ближ­ нем и Среднем Востоке в средние века. Автореф. дис. М., 1965.