книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби

190

Некоторые вопросы комбинаторного содержания встречаются и в его рассуждениях относительно сме­ щения тонов, групп, тональностей и др.

Таким образом, мы обнаруживаем у аль-Фараби в его «Большой книге музыки» постановку и решение многих задач комбинаторики, возникшие в связи с изу­ чением музыкальных явлений математическими и ло­ гическими средствами. Это еще раз подтверждает не только плодотворность математических приемов в ис­ следовании явлений природы и искусства, но и решаю­ щую роль последних в успешном развитии самой мате­ матики.

В индийской математике (Бхаскара, XII в.) также имелись приемы вычислений перестановок с повторе­ ниями или без повторений, возникшие в индийской поэтике в связи с подсчетом возможных комбинаций из долгих и кратких слогов в несложной системе [56,

стр. 151].

Здесь уместно сказать, что сам аль-Фараби в «Боль­ шой книге музыки» неоднократно упоминает о родст­ ве и сходстве структур музыкальных и стихотворных образований (композиций). Например, в вводной части трактата он пишет: «Музыкальное сочинение можно сравнить с поэмой. В поэзии первичными элементами являются фонемы; они образуют основы (размеры), та­ кие, как сабаб, валад и сочетания этих размеров. Эти основы образуют полустишья, которые, в свою очередь, образуют стих. В музыке первичными элементами яв­ ляются тона; они играют роль фонем в поэзии; но му­ зыкальное сочинение содержит другие промежуточные элементы...» [85, л. 10 об.; 86, стр. 26].

Как бы то ни было, попытка применения математи­ ческих рассуждений по исследованию структур музы­ кальных и поэтических образований — большое дости­ жение ученого, правильность которого, безусловно, подтверждает современное состояние математической лингвистики.

После аль-Фараби среди ученых стран ислама альБируни в XIII главе «Индии» с целью «познакомить с тем, как индийцы применяют арифметику в метрике», решает некоторые задачи комбинаторики примени­

191

тельно к правилам индийского стихосложения [91,

стр. 158—170].

В Европе в XVI и XVII вв. теория соединений ши­ роко применялась как в музыке, так и при составлении анаграмм, стихов протей, под которыми понимались стихи, составленные из слов данного стиха. Так, на­ пример, французский теоретик музыки Мерсенн (1588— 1648) в своих музыкальных трактатах часто ил­ люстрирует изложение численными примерами, в част­ ности из области элементарной комбинаторики. Он, на­ пример, использовал перестановки из п символов (нот, букв и т. п.) как различных, так и с повторениями не­ которых из них [91а, стр. 4].

Мы здесь обнаруживаем появление аналогичных за­ дач и приемов их решения под действием сходных мо­ тивов — практических потребностей, в одном случае музыки, а в другом — поэзии. Это еще раз подтвержда­ ет правильность марксистской методологической уста­ новки об объективности развития научного познания, о решающей роли общественной практики в возникнове­ нии новых научных проблем и средств их эффективно­ го решения.

§ 2. Функциональные зависимости

Как мы уже выше не раз отмечали, аль-Фараби в «Большой книге музыки» и в других сочинениях мето­ дологически правильно решает ряд вопросов, связан­ ных с математизацией наук о природе. Теория музыки, будучи тесно связанной е математикой, предъявила все большие требования перед последней и тем самым в известной степени вполне могла способствовать разви­ тию новых направлений в математике. Одними из та­ ких направлений являются проявления различных функциональных зависимостей в связи с решением тех или иных задач музыкальной науки.

Первоначальные ростки понятия функциональной зависимости имелись в греческой науке. Уже пифаго­ рейцы с целью установления простейших законов му­ зыкальной акустики рассматривали количественные соотношения между различными физическими величи­ нами, такими, как высота тона, длина и толщина стру-

192

ны. Так появляются в науке представления о законах природы типа функциональной зависимости.

В «Большой книге музыки» аль-Фараби такие ко­ личественные взаимосвязи глубже и шире. Он считает, что высота музыкальных звуков объективно зависит от ряда физических величин, т. е. является как бы функцией от многих переменных, но форму этой зави­ симости не всегда легко найти.

Для более глубокого исследования этой функцио­ нальной зависимости аль-Фараби, исходя из своего общего метода, предлагает применять различные экс­ перименты. «Поскольку мы не можем измерить степень интенсивности той причины, которая обусловливает более или менее низкий звук, порождаемый источни­ ками звука, когда нам известно, что одна из причин, обусловливающих высоту или низкость звука, усили­ лась, нам необходимо установить это путем эксперимен­ та» [85, л. 20 об.; 86, стр. 64—65].

Из всех причин, влияющих на высоту звука при колебании струны, аль-Фараби считает как более дей­ ственную и наиболее поддающуюся измерению длину струны. Он пишет: «Причины, обусловливающие вы­ соту звуков, многочисленны. Длина струны является наиболее действенной из таких причин, которая по­ зволяет нам легче остальных узнать ступень тона по отношению к другим тонам. Чем длиннее струна, тем ниже кажется тон, ею порождаемый. Чем струна коро­ че, тем такой тон выше и звук острее. Это при том ус­ ловии, что обе струны, о которых идет речь, равны с точки зрения всех остальных причин, обусловливаю­ щих большую или малую высоту звука» [85, л. 20 об.; 86, стр. 65].

По аль-Фараби, высота тона обратно пропорцио­ нальна длине порождающей его струны. При этом он не принимает во внимание другие причины, считая их постоянными, т. е. они «равны с точки зрения всех ос­ тальных причин» для сравнимых струн.

Если высоту звука обозначить у, а длину струны — х, то словесно выраженную указанную зависимость можно записать в виде

194

Он пишет: «Существуют также такие причины, обу­ словливающие высоту и низкость звука, которые мы не смогли бы определить: у вас просто кет средства для их измерения. Каким образом можно было бы, напри­ мер, уточнить: до какой степени гладка или шерохова­ та поверхность какого-либо тела? Как можно устано­ вить, насколько медь глаже дерева или насколько де­ рево шероховатее меди? Если два тела отличаются друг от друга степенью гладкости их поверхности, то для нас невозможно будет установить отношение между высотой полученного тона на одной струне по сравне­ нию с низкостью тона, полученного на другой струне»

[85, л. 25 об.; 86, стр. 84].

Однако в принципе ступень тона, мера которой из­ мерена указанным выше методом, служит аль-Фараби и для измерения отношения тонов, вызванных другими причинами. Таким образом, одна функциональная за­ висимость между определенными величинами как бы аппроксимируется, заменяется другими, более просты­ ми зависимостями между другими же величинами то­ го же рода. По этому поводу он пишет: «Возьмем два тела с гладкой поверхностью. Если одно из них дает тон, идентичный тону короткой струны, а другое дает тон, идентичный тону длинной струны, то мы скажем, что оба эти тона находятся в том же отношении, что и тона, порождаемые соответствующими струнами» [86,

л .26; 86, стр. 85].

Аль-Фараби экспериментально-теоретическим спосо­ бом находит и более сложные количественные соотно­ шения между различными физическими величинами. Например, высота звука (у) в трубе духового инстру­ мента, по его определению, выражается через другие величины с помощью следующей функциональной за­ висимости:

где D — диаметр трубы, h — расстояние отверстия от мундштука, d — диаметр отверстия, а — характери­ стика гладкости, F — сила двувания источника.

Все эти соотношения аль-Фараби выражает словес­ но, об аналитическом задании этих зависимостей в тб

1 9 5

время речи не могло быть. Например, характер зависи­ мости высоты звука (тона) от диаметра трубы (D) альФараби устанавливает следующим образом: «Если же мы представим себе серию флейт с приводящими труб­ ками равной длины и равной степени гладкости, но с неодинаковым диаметром отверстий в каком-то изве­ стном отношении, то тоны, порождаемые этими флей­ тами при неизменном импульсе вдувания, окажутся между собой в отношении, обратном отношению диа­ метров трубок» [85, л. 77; 86, стр. 265].

О зависимости высоты звука (тона) от диаметра (d) поперечных отверстий он пишет: «Представим серию флейт, наделенных каждая поперечными отверстиями для выхода воздуха. Предположим, что эти отверстия прорезаны на равном расстоянии от мундштуков и что диаметры их отличаются в известном отношении. Тог­ да тона, порождаемые такими флейтами, окажутся между собой в отношениях, обратных этим диаметрам. При этом предполагается, что проводящие трубки име­ ют одинаковый размер и обладают равной степенью гладкости стенок, а также импульс вдувания всегда одинаков» [85, л. 77 об., 86, стр. 266].

Аналогичным образом устанавливается и зависи­ мость высоты звука (тона) от расстояния отверстия от мундштука (й). По этому поводу аль-Фараби пишет: «Возьмем одну отдельную флейту, обладающую попе­ речными отверстиями, через которые выходит воздух. Предположим, что эти отверстия размещены по пря­ мой линии по направлению к мундштуку и что они на­ ходятся от отверстия, через которое получается самый низкий тон, на расстояниях, находящихся между со­ бой в известном отношении. В этом случае тоны, по­ рожденные этими отверстиями, окажутся между собой в тех же отношениях, что и эти расстояния».

По мнению аль-Фараби, каждая из указанных ве­ личин может воздействовать на высоту звука как в отдельности, так и в совокупности с другими величи­ нами. Он пишет: «Все эти причины могут возникнуть отдельно, но также и действовать в комбинации друг с другом и одновременно воздействовать в определении низкости или высоты тонов».

редь, являются функциями от ряда физических вели­ чин. Он, пользуясь указанным выше эксперименталь­ но-математическим методом, находит зависимость вы­ соты различных тонов от длины звучащей струны и

[Рис. 50].

Принимая за длину струны число 36, он основным тонам ставит в соответствие число А —36, J—32, Н—27, Z—24, С— 18, которые он графически изображает на отрезке прямой линии (рис. 50).

Из отношения этих чисел получаются числовые значения основных интервалов:

Величины интервалов аль-Фараби изображает так­ же графически с помощью кругов, числовые значения диаметров которых равны разностям чисел, соответст­ вующих сопоставляемым тонам (рис. 51).

Одним из выдающихся достижений теории музыки является создание равномерной логарифмической две­ надцатиполутоновой музыкальной шкалы (темпарированный строй), которая возникла в результате дли­ тельного развития музыки и математики в XVIII в. на основе алгебры иррациональных чисел и изучения ло­ гарифмической функции.

В трактате «Большая книга музыки» аль-Фараби имеются -наброски этой шкалы, которая получена им Не чисто теоретическим, а экспериментально-теорети­

197

ческим путем. Аль-Фараби, руководствуясь своим ме­ тодом, получает особую единицу измерения интерва­ лов — остаточный интервал, который приблизительно равен полутону. Он пишет: «Если мы из кварты выч-

[Рис. 51].

тем два интервала тона, то получим излишек, имею­ щийся в кварте по сравнению с дитоном, и этот интер­ вал мы назовем разницей, или остаточным интерва­ лом. Поищем же его значение относительно тона. Для этой же цели мы воспользуемся очень изящным мето­ дом, хотя и не слишком стропим, легким, но несколько замедленным» [85, л. 18; 86, стр. 54].

С помощью упомянутого метода аль-Фараби дока­ зывает, что остаточный интервал равен полутону. При этом он фактически приближенно решает уравнение:

Это и есть числовое значение остаточного интервала. Заметим, что оно только в грубом приближении равно значению полутона, которое находится из соотноше­ ния :

причем на нестрогость указанного метода указывает сам аль-Фараби; однако для анализа музыкальных сведений он принимает это положение как временную рабочую гипотезу.

Если сопоставить значения основных интервалов, полученных аль-Фараби из сравнений длины отрезков

198

звучащей струны с тоновыми величинами тех же ин­ тервалов, полученных им из сравнений с остаточным интервалом, который служит мерой в создании двенад­ цатиполутоновой равномерной шкалы, получается следующая таблица (табл. 4).

(и)

При внимательном изучении этой таблицы между соответствующими числами первого и второго ряда можно обнаружить некоторую функциональную зави­ симость, а именно: числа, расположенные во втором ряду, являются логарифмами соответствующих чисел первого ряда при некотором основании: сложению и вычитанию чисел первого ряда соответствуют прибли­ зительно умножение и деление соответствующих чисел второго ряда. Например: 7+ 5= 12 соответствует

Оказывается, это не совсем случайное совпадение. Аль-Фараби, комбинируя теоретические рассуждения с экспериментами в табличной форме, сам, возможно, не зная, устанавливает функциональное соответствие, ко­ торое в наших обозначениях можно записать в виде:

у = logax ,

где а яа HI (остаточный интервал).

Аль-Фараби, далее принимая за октаву число щ ,

для остальных интервалов получает соответственно сле­ дующие значения:

В этой таблице функциональный характер соответ­ ствия между числами первого и второго ряда обнару­ живается еще более наглядно. Здесь в табличной форме установлено следующее соответствие, которое аналити­ чески можно записать с помощью логарифмической функции при основании а = 2, т. е. j/« lo g 2:r. На самом деле:

Следует заметить, что современная двенадцатиступенная музыкальная шкала строится также на лога­ рифмической оси делением отрезка единичной длины на 12 равных частей точками деления:

-§~0,083; ~ «0,167; -§-«0,250;

§ -«0 ,3 3 ;-§ -«0 ,4 1 8 ; § -«0 ,5 8 3 ; § -«1 ,0 0 0

[9 2 ,стр.15].