книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби

90

дами и новыми тригонометрическими линиями они ха­ рактеризуются параллельно. Как видно из текста, си­ нусы, косинусы аль-Фараби рассматривает в первой четверти, а хорды, как и Птолемей, на верхней полу­ плоскости.

Из текста и рисунка можно установить следующие соотношения:

sina=cos(90°—a), cosa=sin(90°—a),

sin2a+eos2a= К2,

а также то, что величина линии синуса в первой чет­ верти возрастает, а линии косинуса убывает.

Во второй главе аль-Фараби доказывает лемму о том, что «каждая хорда относится к диаметру как си­ нус половины дуги к полудиаметру круга», т. е.

а

При этом замечает, что с помощью этого предложения «всякое вычисление с помощью хорды и диаметра сво­ дится к вычислению с помощью синуса половины этой дуги». На самом деле, используя формулу (1), можно легко перевести тригонометрию хорд греков на языке синуса и косинуса. Некоторые образцы таких преоб­ разований мы покажем там, где будет идти речь о ме­ тоде составления тригонометрических таблиц аль-Фа­ раби.

Двенадцатая глава «О свойствах первой и второй тени» является центральным в учении аль-Фараби о тригонометрических линиях. Здесь он одним из первых в истории математики все основные тригонометриче­ ские линии рассматривает в круге. При вычислениях он считает его радиус равным 60 частям. Приводим ход рассуждений аль-Фараби: «Пусть ABCD — круг высо­ ты, его центр Е, а DI — пересечение плоскостей круга высоты и круга горизонта; DE — гномон, стоящий под прямым углом к плоскости горизонта в точке D, СК — пересечение плоскости круга высоты и плоскости, стоя­ щей под прямым углом к горизонту в точке С, а СЕ — гномон, стоящий на этой плоскости. Зададимся дугой

91

высоты — AG [рис. 28]. Проведем GEF, т. е. луч, со­ единяющий вершину гномона и конец тени; DF — есть тень гномона DE, называемая плоской тенью, или вто­ рой тенью, высоты A G ; a CL — тень гномона СЕ, назы­ ваемая обращенной тенью, или первой тенью, высо­ ты AG.

В

д

[Рис. 28].

[Рис. 29].

Если мы зададимся высотой BG, то для нее гномон второй, т. е. плоской тени, — СЕ, а гномон первой, т. е. обращенной тени,— DE; поэтому DF — первая тень высоты BG, a CL для нее вторая тень; BG — дополне­ ние AG, поэтому первая тень каждой высоты есть вто­ рая тень дополнения этой высоты, а вторая тень каж­ дой высоты — первая тень дополнения этой высоты.

Обращенная тень называется первой, так как она изменяется с появлением и увеличивается с увеличени­ ем высоты Солнца, а плоская называется второй тенью,

92

так как она уменьшается с увеличением этой высоты. Это то, что мы хотели объяснить» [11, стр. 73—74].

Таким образом, здесь аль-Фараби тангенс и котан­ генс вводит не через прямоугольный треугольник, а как отрезки касательных к окружности. Из текста и рисунка можно установить следующие соотношения tgcc=ctg(90— а) и ctga=tg(90°— а), а также то, что ве­ личина линии тангенса в первой четверти возрастает, а линии котангенса убывает.

Тангенс и котангенс были, возможно, известны альХорезми, но уверенно можно утверждать, что эти ли­ нии были уже известны аль-Мервази (ок. 774—874) — соратнику аль-Хорезми.

Тангенс и котангенс первоначально появились не как линии круга, а в гномонике при сравнении различ­ ных получающихся прямоугольных треугольников. Так, например, если через I обозначить высоту верти­ кального гномона, а через a — угловую высоту Солнца,

попытки определения линий тангенса и котангенса за пределами гномоники, которые изложены в его «Сабей­ ском зидже».

Как мы видим, эта тенденция получает дальнейшее развитие у аль-Фараби. Правда, аль-Фараби еще не мо­ жет полностью отречься от «теней» и при введении этих линий в значительной степени опирается на гномонику. За фиксированную окружность он принимает окружность, проходящую через данный вертикальный гномон, вершина которого служит центром, а длина высоты — радиусом для этой окружности, а также и через какую-либо точку линии, соединяющей вершину гномона и Солнце. Линии тангенса и котангенса полу­ чаются при пересечении плоскости этой окружности с плоскостью горизонта и плоскостью, перпендикулярной к этим плоскостям и проходящей через вершину гори­ зонтального гномона. Аль-Фараби рассматривает гно­

мон как в вертикальном, так и в горизонтальном поло­ жении.

93

Указанная конструкция (построение) носит у него формальный характер, т. е. в дальнейшем он почти полностью отбрасывает балласт гномоники, и линии тангенса и котангенса получает таким же образом, как сейчас их получают в учебниках элементарной триго­ нометрии.

Несколько слов о терминах аль-Фараби. Линии тан­ генса и котангенса он, как и его предшественники, на­ зывает соответственно обращенной тенью (зил ма’кус) и плоской тенью (зил мустав). Однако тут же аль-Фараби вводит методически более удобное назва­ ние для этой линии: тангенс называет первой тенью, а котангенс — второй тенью. Следует отметить, что по­ следняя терминология основана не на характере тени, как раньше, а на геометрическом свойстве вводимых линий (увеличение или уменьшение в зависимости от изменения угла). Это также новый принципальный шаг вперед на пути освобождения от гномоники. Впрочем, в ходе изложения аль-Фараби пользуется и терминами «тень» и «тень дополнения» (например, в 37 главе), ко­ торые предполагались некоторыми историками матема­ тики, введенными позднее в «Собрании правил науки астрономии» анонимного автора XI века [75, стр. 238].

Заметим, что вслед за аль-Фараби аль-Хазини (XII в.) в «Санджарских продуманных астрономических таблицах» линию тангенса называет «первой тенью», линию котангенса — «второй тенью», а Наср ад-Дин ат-Туси эти линии соответственно называет «первой тенью» или «обращенной тенью» и «второй тенью» или «прямой (плоской) тенью». Ан-Насави (умер. ок. 1030 г.) названия линий «синус» и «синус дополнения» (косинус) заменил на «первый синус» и «второй синус».

Учение о тригонометрических линиях аль-Фараби в дальнейшем было развито многими выдающимися учеными Востока, такими, как Абу-л-Вафа, аль-Бируни, Наср ад-Дин ат-Туси, Улугбек (1394— 1449) и др. Так, например, вслед за аль-Фараби Абу-л-Вафа делает сле­ дующий шаг, рассматривая все тригонометрические линии единообразно в единичном круге, устанавливает новые соотношения между тригонометрическими ли­ ниями. Продолжая традиции аль-Фараби и других уче­ ных в этом направлении, математики школы Улугбека

94

следующим образом вводят линии тангенса, котанген­ са: «Если принять за центр вершину гномона, а его вы­ соту за радиус и если описать дугу, заключенную меж­ ду гномоном и диаметром тени (т, е. гипотенузой обрэ зовавшегося прямоугольного треугольника), то, очевид­ но, что тень гномона будет обозначена линией, идущей от начала дуги, перпендикулярно к диаметру, проходя­ щему через это начало, и будет заканчиваться на пере­ сечении е другим диаметром [тени], проведенным че­ рез конец той же дуги. Именно в этом смысле астроно­ мы обозначают всякую линию, определенную таким путем по отношению к какой-нибудь дуге, названием

«тени» этой дуги и в дальнейшем пользуются этими ли­ ниями при своих астрономических вычислениях; а так как при такой манере выражаться: первая тень явля­ ется высотой светила, а вторая тень — ее дополнением до этой высоты, то отсюда следует, что под тенью ка­ кой-нибудь дуги они понимают первую тень этой дуги, а под тенью дополнения — вторую тень той же дуги»

[76,стр. 154— 155].

В тринадцатой главе «О нахождении [величины], первой тени» аль-Фараби дает правило нахождения вели­ чины линии тангенса через синус и косинус. Он пишет: «Пусть АВ круг высоты с центром Е, его диаметр АЕА, АВ — дуга высоты. Проведем [линию] EBG; восста­ вим перпендикуляр AG к АЕ. Опустим перпендикуляр

95

ВС также к АЕ [рис. 30]; AG — первая тень высоты АВ. Я утверждаю, что она известна.

Доказательство этого. GA и ВС — перпендикуляр­ ны к АЕ, поэтому они параллельны. Поэтому GA отно­ сится к АЕ, как ВС к СЕ. Но АЕ — полудиаметр, рав­ ный гномону в каких-нибудь предположенных нами частях. ВС — синус дуги АВ, а СЕ равна ее косинусу. Следовательно, AG известна. Это и есть то, что мы хо­ тели доказать» [11, стр. 76—77].

Таким образом,

где R — длина гномона, равная 60 частям.

В четырнадцатой главе «О нахождении [величины] второй тени» аль-Фараби дает правило нахождения ве­ личины линии котангенса через синус и косинус. АльФараби пишет: «Пусть АВ — круг высоты с центром Е, два его диаметра АЕА и DED; зададимся дугой высоты BD. Проведем EBG; восставим перпендикуляр AG к АЕ и опустим перпендикуляр ВС также к АЕ [рис. 31]; AG — вторая тень высоты DB. Я утверждаю, что она известна.

Доказательство этого. GA и ВС перпендикулярны к АЕ, поэтому они параллельны; поэтому GA относится к АЕ, как ВС к СЕ; но АЕ — полудиаметр, равный гно­ мону в каких-нибудь предположенных нами частях. ВС — косинус высоты, а СЕ равен синусу высоты; сле­ довательно, АЕ известна. Это и есть то, что мы хотели доказать» [11, стр. 77—78].

Таким образом,

где опять-таки R — длина гномона, равная 60 частям. Аналогичные правила определения линий тангенса и котангенса встречаются в «Каноне Мас’уда» аль-Би-

руни, который пишет: «Умножим косинус высоты на величину шеста и разделим произведения на синус вы­ соты, получится ее плоская тень; ... разделим синус

96

высоты на косинус высоты, получится ее обращенная тень» [77,стр. 337].

Те же правила мы находим и у Улугбека, который пишет: «Таким образом, если дана какая-нибудь дуга и я хочу узнать тень этой дуги, я делю ее синус на ее косинус и в частном имею первую тень; если же я, на­ оборот, делю косинус на синус, то получаю вторую тень — каждую из них в шестидесятых долях модуля»

[76, стр. 155].

Таким образом, мы в этом трактате аль-Фараби на­ ходим оригинальное учение о тригонометрических ли­ ниях, которые положили начало новому этапу в предыс­ тории тригонометрии, закончившемуся оформлением тригонометрии в весьма важную самостоятельную от­ расль математики.

§ 3. Теория составления тригонометрических таблиц. Вычисление хорды, синуса и косинуса

одного градуса

Разнообразные применения тригонометрии в теоре­ тических и практических целях, особенно решение тре­ угольников, как плоских, так и сферических, нуждают­ ся в специальных тригонометрических таблицах, из которых самыми ранними считаются таблицы хорд греков, приведенные в первой книге «Алмагеста» Пто­ лемея.

Птолемей делит круг на 360°, а его диаметр на 120 частей и, пользуясь шестидесятеричной системой, полу­ чает стороны некоторых правильных многоугольников, стягивающие соответствующие дуги. После этого с по­ мощью ряда предложений находит числовое значение хорды одного градуса. Таблицы хорд Птолемея, слу­ жившие в течение многих веков в астрономии, точны до пяти десятичных знаков.

Крупным достижением индийских ученых в этой области была замена таблиц хорд на таблицы синусов.

Таблицы, составленные в странах ислама в VIII в. на основе индийских «сиддхант», не сохранились. Из тригонометрических таблиц математиков халифата IX в. нам известны таблицы аль-Мервази и аль-Хорез­

98

т. е. стороны квадрата. Доказывается, что chd90°=

—R^2, откуда по формуле (1)

В четвертой главе «О нахождении величины хорды трети круга» указан способ вычисления хорды 120°, т. е. стороны правильного треугольника. Доказывается,

что сЬ(И20°=ДУЗ, по формуле (1)

В пятой главе «О нахождении величины хорд одной десятой и пятой круга» указан способ вычисления хорд 36 и 72°, т. е. сторон правильных десятиугольника и пятиугольника. Доказывается, что

R/ 5 - 1

—2 2

Вшестой главе «О предпосылке для того, что будет позже» приводится доказательство известной теоремы Птолемея, которую аль-Фараби формулирует следую­ щим образом: «В каждом четырехугольнике, вокруг которого описан круг, произведение каждой из противо­ положных сторон на другую, если сложить их, равно произведению диагоналей четырехугольника». Эта тео­ рема нужна аль-Фараби, как видно из названия, для доказательств дальнейших предложений.

Вседьмой главе доказывается правило вычисления хорды, стягивающей разность двух дуг, когда даны хорды, стягивающие эти дуги. Приведем ход рассуж­

99

дений аль-Фараби: «Пусть ABCD — полукруг, диаметр его AD и его хорды АВ и АС известны. Соединим В и С [рис. 32]. Я утверждаю, что ВС известна.

Доказательство этого. Проведем BD и CD, которые известны, так как они хор­ ды дополнений АВ и АС.

Тогда по тому, что доказа­ но в предпосылке [т. е. по теореме Птолемея], произ­ ведение АС на BD равно сумме произведений АВ на CD и AD на ВС; но произ­

ведение АС и BD известно; известно и произведение АВ и CD; следовательно, оставшееся произведение AD и ВС известно. Диаметр AD известен, поэтому известна и хорда ВС. Это и есть то, что мы хотели доказать» [П>

стр. 64— 65].

Если воспользоваться соотношением (1), выведен­ ным аль-Фараби для перехода от хорды к синусу, то легко доказывается равносильность этого правила на­ шей формуле:

sin(a— Р)— sina •cosp— sinp •cosa.

Действительно, по доказанному предложению имеем

Пусть данные дуги АС и АВ соответственно равны 2 а и 2 р, тогда по соотношению (1), заменяя хорды си­ нусами, получим

AD = chdl 8 0 °= 2sin90°= 2 ,

ВС = chd2(a— Р )= 2sin(a— Р), AC=chd2a=2sina,

BD=chd(180°—2p)=2stn(90°— p)= 2oosp,

AB=chd2p=sinp,

CD=chd(180°—2a)=2sin(90°—a) = 2cosa.