книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби

120

рается на эксцентрическую гипотезу, по которой Солн­ це движется в плоскости эклиптики по кругу с цент­ ром, не совпадающим с центром эклиптики (т. е. по эксцентрическому кругу).

По известным величинам: эксцентритету {ED= e), радиусу эксцентрического круга (BE= г= 60) и анома­ лии (ВЕН=х) аль-Фараби находит уравнение Солнца

(*/)•

Приводим ход рассуждений аль-Фараби в современ­ ных обозначениях. Поскольку ABEH~ADEG, то со­ ставим пропорцию:

Теперь из прямоугольного треугольника BDG по теореме Пифагора аль-Фараби находит BD:

BD = -р-Кe2+ r 4+2er2cos х .

Затем определяется отношение BD к DG, т. е. coseci/=

122

поводу он пишет: «Если аномалия больше девяноста [градусов], то проведенные линии имеют вид, указан­ ный в этом рисунке [рис. 38].

Дуга АВ и ее дополняющая ВС известна, следова­ тельно, угол СЕВ известен. Угол G — прямой, поэтому угол EDG известен; стороны треугольника EDG изве­ стны, так как DE — известна, BE — шестьдесят частей, следовательно, GB известна; ее квадрат вместе с квад­ ратом GD равен квадрату BD. Следовательно, BD из­ вестна. Остальные доказываются как в предыдущем предложении» [54, стр. 165—166].

Как видно из текста, ход рассуждений аль-Фараби в этом случае совершенно аналогичен приведенному вы­ ше и нетрудно проверить, что получается та же самая формула для описания движения Солнца, т. е.

y{t)= x(t)± y{t).

Метод вычисления уравнения Солнца аль-Фараби в дальнейшем на Востоке был развит в трудах ряда уче­ ных, среди которых особое место занимает исследова­ ние аль-Бируни.

Аль-Бируни описывает движение Солнца исходя из эксцентрической модели с помощью аналогичной функ­ ции, как и аль-Фараби [81, стр. 16].

Тригонометрические функции аль-Фараби применя­ ет и для описания движения Луны с помощью первого

123

и второго уравнений (неравенств). При этом он, как и Птолемей, пользуется комбинациями обеих гипотез — указанной выше эксцентрической и эпициклической, согласно которой небесное светило движется по неболь­ шому кругу — эпициклу, центр которого движется во­ круг Земли по концентричному с эклиптикой «несуще­ му кругу» — деференту.

В шестнадцатой главе «Книги приложений» альФараби приводит метод определения первого уравне­ ния (неравенства) Луны. Это неравенство движения Лу­ ны зависит от положения Луны относительно своего апогея. Он это уравнение находит следующим образом: «Пусть ABCD — круг эксцентритета, его центр Е, диа­ метр AD, G — центр наклонного круга, Н — точка экванта, [от которой к центру эпицикла проведена линия через апогей] и перигей эпицикла, т. е. через М и N [рис. 39]; LKC — круг эпицикла с центром в точке В; L — тело Луны. Угол GBH есть угол уравнения, AGB — угол двойной аномалии; EG и GH равны между собой и каждая из них равна двенадцати с половиной частям в отношении АЕ, которая берется равной шестидесяти частям. EF и Ш перпендикулярны к BI; угол EGF из­ вестен, а угол F — прямой, поэтому оставшийся угол Е также известен. Следовательно, стороны треугольни­ ка EGF известны, ЕВ содержит шестьдесят частей, ее квадрат равен квадратам BF и ЕЕ, отсюда BF известна и поэтому BG известна. Углы треугольника EGF рав­ ны соответственно углам треугольника GIH; поэтому GI относится к GF, как FE к HI.

Поскольку EG и GH равны между собой, то равны соответственно IG и GF, а также EF и Ш. Следователь­ но, сумма BI известна, ее квадрат вместе с квадратом Ш равен квадрату ВН, поэтому ВН известна. Если сде­ лаем точку В центром и опишем круг на расстоянии ВН, то Ш будет синусом угла IBH в отношении полудиаметра ВН, который предполагается равным шести­ десяти частям. Следовательно, Ш известна в отноше­ нии к ВН. Тогда угол IBH известен; поскольку угол IBH равен углу МВК, дуга МК известна. ML — анома­ лия Луны, a LK аномалия в отношении к АВ, которая является двойным расстоянием. Оно меньше девяноста градусов. Этим же способом определяется угол уравне­

125

В семнадцатой главе «Книги приложений» аль-Фа­ раби математически аналогичным образом дает описа­ ние движения Луны с помощью нахождения его второ­ го уравнения (неравенства), которое зависит от положе­ ния Луны относительно Солнца: «Пусть АВС — круг эксцентритета, его центр — точка Е ; С — центр на­ клонного круга, HF — эпицикл с центром в точке А [рис. 40]. Пусть F место Луны, поскольку Луна дви­

жется в эту сторону; проведем FA, FG и ЕК, перпенди­ кулярную к АН. Угол FGH есть угол уравнения; FK — синус аномалии уравнения, т. е. дуги FH, а А К —коси­ нус этой дуги. Каждая из них известна в отношении FA, которая равна пяти с четвертью частям. Посколь­ ку AF относится к FK как синус большего угла к си­ нусу аномалии и ЕА содержит шестьдесят частей, то GK известна. Ее квадрат вместе с квадратом KF равен квадрату FG\ отсюда FG известна. Если сделаем точ­ ку G центром и опишем круг на расстоянии FG, то FK будет синусом дуги угла FGK в отношении величи­ ны GF, которая нам известна. Следовательно, FK из­ вестна в отношении FG, которая содержит шестьдесят частей. Это и есть синус дуги уравнения. Подобное на­ блюдается, если Луна находится в точке D. Тогда угол DAE известен, DL — его синус, a AL — косинус. По первому способу получается DL в отношении GD, рав­

126

Теперь из прямоугольного треугольника FKG по тео­ реме Пифагора находит FG:

FG=V(e~\-r-\-acos x ^ + a ’ sin2* .

После этого аль-Фараби, описывая круг с центром в точке G с радиусом FG, принятым равным шестидесяти частям, определяет синус искомого угла, т. е. второго уравнения Луны:

Аль-Фараби дает аналогичный способ вычисления вто­ рого' уравнения и для случая, когда Луна принимает другое граничное положение, т. е. когда она находится в точке D, расположенной на пересечении линии GF с эпициклом.

В математическом отношении большой интерес представляет изучение аль-Фараби изменения видимо­ го радиуса эпицикла Луны и планет при их движениях от апогея к перигею. Он для этого в восемнадцатой гла­ ве предварительно доказывает следующую лемму:

«Если даны два угла при центре круга эклиптики», опирающиеся на равные дуги круга эксцентритета, од­ на из которых при апогее, другая — в перигее, то угол при перигее будет больше угла при апогее.

Пусть ABCD — круг эксцентритета, центр Е, диа­ метр AD [рис. 41]; G — центр круга эклиптики. А —

127

точка апогея, D — точка перигея; AGB и CGD — углы при центре эклиптики, которые на равных дугах АВ и CD. Я утверждаю, что угол CGD больше угла AGB.

Доказательство. Проводим ЕВ, ЕС; угол CGD как внешний угол треугольника CEG больше угла CEG, а угол CEG равен углу АЕВ, так как на равных дугах; угол АЕВ больше угла BGE. Следовательно, угол CGD подавно больше угла BGA. Это и есть то, что мы хотели доказать» [54, стр. 167— 168].

Эта лемма служит предпосылкой аль-Фараби для определения уравнения движения Луны и планет в лю­ бой точке орбиты. Он пишет: «Если линии GB и GH, как видно из этого рисунка [рис. 42], касательные к кру­ гу эпицикла, то углы BGA и CGH, охватывающие уг­ лы полудиаметров этих кругов. Поскольку величина полудиаметра эпицикла тем больше, чем дальше от точ­ ки А, тем меньше, чем ближе к ней, то всякое расстоя­ ние центра эпицикла от центра эклиптики относится к расстоянию GA как полудиаметр эпицикла при расстоя­ нии GA к полудиаметру при этом «равноценном» (такафи) расстоянии». Здесь следует указать на термино­ логию аль-Фараби «тем больше, чем дальше... тем мень­ ше, чем ближе», в которую он вкладывает смысл про­ порциональной зависимости; «равноценное расстоя­ ние», под которым он, по-видимому, понимает произ­ вольный радиус — вектор, т. е. переменную величину-

128

ного GC относится к GA, как АВ к СН при равноцен­ ном расстоянии; CG известна по доказанному в шест­

известна. Для Луны [берется] наибольшее расстояние, для других светил — среднее расстояние. Таким обра­ зом, СН и его дуга известны. Это и есть величина угла CGH, являющегося пределом второго уравнения при данном расстоянии» [54, стр. 168].

Здесь, по-видимому, кроме приведенной леммы, ис­ пользуется экстремальная теорема из третьей книги «Начал» Евклида (седьмое предложение), которая гла­ сит: «Если на диаметре круга взять некоторую точку, не являющуюся центром, и из нее провести к окруж­ ности несколько прямых, то наибольшей будет та, на которой находится центр, а наименьшей — ее остаток, а из остальных та, которая ближе к проходящей через центр, будет всегда больше более удаленной».

Итак, максимальное уравнение для Луны аль-Фа-

ношений, найденных выше в связи с определением пер­ вого уравнения Луны, выражает в виде следующей сложной функции: