книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби

170

других теорий. Он говорит: «Имеются виды искусств или науки, некоторые основные принципы которых от­ носятся к нашему инстинкту, другие объясняются в других науках, третьи вытекают из опыта способом, который мы объяснили. Этот последний случай и име­ ет место в музыкальной теории. Ее основные принципы либо обязаны своим появлением нашему инстинкту, ли­ бо объяснялись в смежных науках, или, кроме того,

физики, геометрии и арифметики. Об этих основах он пишет: «Учитывая, что учение о музыке включает от­ ношение различных длин, оно может воспользоваться также и геометрическими принципами.

Музыкальные интервалы имеют различные значе­ ния. Их можно делить и складывать. Следовательно, теоретик музыки должен быть знаком с известными числовыми отношениями и со способами сложения и вычитания этих отношений. Это касается области арифметики» [85, л. 20 об.; 86, стр. 65].

Тут же заметим, что Омар Хайям в своих коммен­ тариях к Евклиду высказывает аналогичную мысль о том, что «в каждом искусстве, основанном на доказа­ тельствах, ... имеются предпосылки, на которых осно­ вываются доказательства,— это или аксиома, как це­ лое большей части, или доказанное в другом искусстве,

Кстати отметить, что аль-Фараби арифметику и гео­ метрию причисляет к категории наук, основные прин­ ципы которых относятся к инстинкту людей, приоб­ ретенному «с момента рождения или еще в детстве в результате одного или нескольких восприятий». Та­ ким образом, аль-Фараби как бы расширяет область применения аксиоматического метода древних греков, примененных ими в основном при изложении геоме­ трии и арифметики, смело выдвигает идею повсемест­

ного применения его и в других разделах теоретическо­ го познания.

171

Дальнейший ход развития физико-математических наук полностью подтвердил правильность этого поло­ жения. Метод аль-Фараби очень близок к широко рас­ пространенному в физике со времени Ньютона методу принципов. По мнению С. И. Вавилова, желание по­ строить физику по образцу и подобию геометрии было желанием создать физику принципов. Согласно этому методу, сами принципы рассматриваются не как ап­ риорно принятые положения или постулаты, а как принимавшиеся на основании непосредственного опы­ та в качестве его обобщения. «Из тесно сформулиро­ ванных недоказуемых аксиом-принципов,— пишет С. И. Вавилов,— логически, математическим путем должны вытекать теоремы и леммы. Принципы — ак­ сиомы физики — доказуемы только опытом, они мо­ гут быть логически и недоказуемы. Принципы — это обобщенные факты» [90, стр 127].

С большой прозорливостью предугадывая далекую перспективу развития науки, аль-Фараби подробно ос­ танавливается именно на принципах теории музыки, добытых опытным путем. Для этого он, исходя из по­ ложений, установленных Аристотелем во «Вторых Ана­ литиках», применяет метод индукции.

Вторым звеном в построении той или иной научной теории он считает умение делать необходимые выво­ ды из установленных принципов, т. е. умение вывести надлежащие следствия. Здесь он вынужден прибегать к методу дедукции и широко применять математиче­ ские и логические средства. Аль-Фараби отчетливо по­ нимает органический характер связи между этими двумя приемами логического мышления, т. е. индук­ ции и дедукции.

Третье звено в построении теории музыки, как и любой другой теории, по аль-Фараби,— проверка дан­ ных теорий экспериментальным путем. В музыке это достигается созданием специальных музыкальных ин­ струментов.

В изложении самой теории музыки аль-Фара­ би в отличие от Евклида, который, по мнению аль-Фа­ раби, в построении своих «Начал» ограничился лишь приемом синтеза, успешно пользуется как анализом, так и синтезом, хотя аль-Фараби по многим вопросам

172

остается верным традиции Евклида. Так, например, ос­ новной раздел «Большой книги музыки» он, подражая Евклиду, называет «Началами» (истиксат) учения о музыке, кроме того, многие положения теории музыки и математической астрономии он формулирует и дока­ зывает в форме евклидовых предложений (шакл), по­ вторяя точно даже заключительную фразу «что и тре­ бовалось доказать» или «это и есть то, что мы хотели доказать».

Следует подчеркнуть, что в этом труде аль-Фараби методологически правильно решает ряд вопросов, свя­ занных с математизацией науки о природе. На приме­ ре теории музыки он демонстрирует плодотворность применения математических методов в исследовании объективных закономерностей природы и искусства. У него совершенно отсутствует числовой мистицизм, при­ сущий музыкальному учению пифагорейцев.

Правомерность применения математики к музыке аль-Фараби обосновывает тем, что музыкальные звуки и интервалы как реальные физические явления вполне могут быть охарактеризованы с помощью чисел и чис­ ловых отношений. По этому поводу он пишет: «Отно­ шение между двумя телами можно выразить только в том случае, если они обозначены числами одинакового вида, измерены при помощи единой единицы измерения и имеют единую меру, как это видно в геометрии. Рас­ смотрим тона различных ступеней как продукт струн, обладающих длиной сопоставимой величины, которые мы сравниваем между собой в числовом отношении»

[85, л. 20 об.; 86, стр. 65].

Аль-Фараби, следуя древнегреческим теоретикам музыки, каждому тону поставил в соответствие число, а музыкальным интервалам — отношения чисел. Приписание тонам определенного числа он физически свя­ зывает с длиной колеблющейся струны и поэтому пред­ полагает, что высокому тону соответствует большое число. По его мнению, числа отражают лишь количе­ ственные соотношения между взаимосвязанными пред­ метами, явлениями природы. В этой связи следует под­ черкнуть, что аль-Фараби в отличие от своих предшест­ венников явно высказывает мысль о том, что высота тона измеряется временем, необходимым для соверше­

173

ния определенного движения (колебания) струны, т. е. периодом колебания.

Аль-Фараби стоит на материалистической позиции и в решении вопросов взаимоотношения теории и прак­ тики. Он правильно трактует причины происхождения музыки, музыкальных инструментов, музыкальных традиций и др. Аль-Фараби, например, пишет: «Рас­ суждения и теоретические принципы единственно дают нам возможность восприятия звуков и их состояний и свойств. Ощущение, поддерживаемое правилами раз­ личных практических музыкальных традиций, един­ ственно дает нам возможность различить тоны естест­ венные от неестественных. Одним словом, теория и практика музыки дополняют друг друга, а совокуп­ ность их составляет учение о музыке» [85, л. 21; 86,

стр. 66].

В этой связи аль-Фараби подвергает резкой критике всех тех кто ошибочно полагал, что музыкальная практика и теория придуманы философами и мудреца­ ми. Аль-Фараби пишет: «Идея, что они образуются из философии и мудрости, ввела их в заблуждение: для них наука мудреца охватила все, как будто он изобрел практические искусства и обучал им людей. Не овла­ дение этими способностями, не красота их действий есть источник его мудрости, а живость его ума, способ­ ность познать и понять все. Это понятие мудреца, фи­ лософа не является четким; однако это вопрос, кото­ рый мы здесь обсуждать не будем. Нам важно только знать, что музыкальная практика значительно пред­ шествует теории. Теория появляется только тогда, ког­ да практика прошла все свое развитие, когда уже суще­ ствуют мелодии, завершенные музыкальные сочинения, ощущения кажутся естественными, а также многое дру­ гое, касающееся музыки» [85, л. 11; 86, стр. 33— 34].

При всем уважении к наследию древних греков аль-Фараби не преклоняется слепо перед авторитетами, когда их учения противоречат новым достижениям ес­ тествознания. Примером может служить критика аль-Фараби теории музыки и космологии пифагорейцев. «Мнение пифагорейцев,— пишет аль-Фараби,— о том, что планеты и звезды при их движении порождают зву­ ки, которые гармонически сочетаются, является оши-

174

бочным. В физике доказано, что их гипотеза невоз­ можна, что движение небесных светил и звезд не мо­ жет порождать какого-либо звука» [85, л. 10; 86,

стр. 28].

Таков в общих чертах экспериментально-теоретиче­ ский метод аль-Фараби, примененный им в «Большой книге музыки». При этом особо следует подчеркнуть три момента: во-первых, метод аль-Фараби не остается в виде философской декларации, а успешно применяет­ ся для создания весьма сложной теории музыки; вовторых, в его методе совершенно отсутствуют элементы схоластики, которая характерна для мышления средне­ вековья; в-третьих, этот метод открывает большой про­ стор применению математических методов в опытной (экспериментальной) науке.

Метод научного исследования, аналогичный методу аль-Фараби, мы встречаем в Европе у великого италь­ янского мыслителя Леонардо да Винчи и у одного из создателей новой физики Галилео Галилея. Здесь воз­ никает вопрос, могли бы быть в какой-то форме идеи аль-Фараби использованы корифеями науки в Европе эпохи Возрождения. Есть серьезные основания ответить на этот вопрос положительно. Дело в том, что еще в XII—XIII вв. многие труды аль-Фараби переводились на латинский язык и его имя (по латыни Alpharabius) было очень популярным в Европе. «Большая книга му­ зыки» аль-Фараби сыграла определенную роль в соз­ дании теории музыки в Европе. Знаменитый Роджер Бэкон в своем «Среднем труде» восторженно отозвал­ ся об аль-Фараби и поставил его имя в один ряд с

именами таких великих ученых, как Евклид, Птоле­ мей.

§ 7. Метод получения музыкальных интервалов, родов

Исходя из указанного экспериментально-математи­ ческого метода построения теории музыки аль-Фараби предлагает оригинальный метод получения музыкаль­ ных интервалов, основанный главным образом на при­ менении арифметики.

Аль-Фараби с помощью экспериментов и математи­ ческих рассуждений сначала получает числовые отно­

175

шения для некоторых интервалов. При этом созвуч­ ность полученных интервалов он каждый раз прове­ ряет непосредственно через игру на специальных ин­ струментах, так что теоретический подход у него орга­ нически сочетается с практикой.

По этому способу аль-Фараби получает числовые от-

---- и др. Непосредственно доказывает, что излишек

октавы над квинтой равен кварте и поэтому излишек октавы над квартой равен квинте.

На основе этих данных аль-Фараби выставляет сле­ дующую предпосылку (гипотезу): «Среди определен­ ных нами интервалов созвучными являются те, у ко­ торых отношение будет равно отношению целого к кратному или целого к целому плюс часть целого. Ос­ тальные в большинстве своем будут диссонирующими»

[85, л. 28; 86, стр. 91].

Таким образом, по аль-Фараби, созвучными будут кратные и эпимерные отношения, т. е. отношения вида

После этого аль-Фараби переходит ко второй части применения своего метода, по которому из установлен­ ных основных интервалов математически извлекаются все остальные интервалы, более или менее пригодные для музыки.

По этому поводу он пишет: «Деление струны по­ могает нам найти не только большие и средние интер­ валы, но также и малые. Тем не менее нет необходи­ мости в том, чтобы постоянно прибегать к делению струны всякий раз, когда нам нужно определить дру­ гие отношения, помимо найденных нами. В этом слу­ чае последние и послужат принципиальной основой, если речь пойдет о других видах интервалов. Ибо все остальные интервалы получаются при сложении двух или нескольких из найденных нами интервалов или же возникают при вычитании их друг из друга. Так что только в случае, если мы пожелали бы помочь уху вое-

176

принять то, что мы говорим теоретически об этих но­ вых интервалах, но уже в практическом исполнении на каком-нибудь инструменте, нам придется снова прибегнуть к разделению струны, так, чтобы очевид­ ным стало, что все наши доказательства и соображения имеют не только простое теоретическое значение, но и подтверждаются объективным фактом, явлением при­ роды или искусства» [85, л. 28 об.; 86, стр. 92].

Аль-Фараби при этом дает ряд специфических пра­ вил действий над интервалами, которые основаны на сведениях и правилах, заимствованных из арифметики.

1.Правило удвоения интервала -gr : если А — чис­

ло, соответствующее первому тону, а В — второму то­ нуло

179

~2 = —— j- = -у (октава плюс квинта).

Взаключение аль-Фараби приводит ряд рекоменда­ ций о практическом использовании этих операций для получения часто применяемых в музыке интервалов.

Втеории музыки особо важное значение придается делению интервала кварты на роды, с помощью которо­ го получают различные гаммы. Этот вопрос был пред­ метом широкого обсуждения и многих греческих мате­ матиков — теоретиков музыки. Они знали следующие виды гаммы: диатонический, хроматический, энгармо­ нический тетрахорды.

Аль-Фараби в «Большой книге музыки» подробно останавливается на проблеме деления кварты, для чего он широко привлекает известный ему математический аппарат.

Вопреки сложившимся традициям, аль-Фараби не канонизирует деление кварты именно на три интерва­ ла. В принципе, допуская деление кварты на более или менее, чем три интервала, он все-таки считает удобным и целесообразным такое деление.

На основе традиции предшественников он выдвига­ ет оригинальную классификацию музыкальных родов: «Математики древности назвали «родом» кварту, де­ ленную на три интервала. В одном роде отношение од­ ного из трех интервалов может быть выше или ниже, чем суммы отношений двух других. Род, в котором не имеется интервалов, отношение которых было бы выше отношения суммы двух других, называется сильным родом. В обратном случае мы называем его мягким ро­ дом» [85, л. 31 об.; 86, стр. 103].

Таким образом, если А, В, С — интервалы деления кварты, то для получения сильного, т. е. диатоническо­ го, рода необходимо выполнение следующих условий:

А< В + С , В < А + С, С с А + В ,

впротивном случае получаются мягкие роды — хрома­ тические и энгармонические. Мягкие роды, в свою оче­ редь, также имеют свои подразделения. Например, ес­