книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби

210

Интересные инфинитезимальные соображения вы­ сказывает он в связи с измерением отрезков времени, применяемых в музыкальной композиции. Их он назы­ вает ритмическими темпами. В связи с этим большой интерес представляет мысль аль-Фараби об установле­ нии единиц измерения различных физических вели­ чин. Здесь он высказывает идею об атомистической структуре измеряемых величин. По его мнению, этало­ ны измерения физических величин могут быть недели­ мы как по своей сущности, так и условно, по нашему по­ ложению. Он по этому поводу пишет: «Всякое измери­ мое количество можно измерить только через посредст­ во другого, подобного ему количества, длину с помощью длины, поверхность с помощью поверхности, длитель­ ность с помощью длительности. Исходная мера, или эталонная единица измерения какой-либо вещи, долж­ на быть неделимой и быть такой же природы, что и вещь, для измерения коей она служит. То, что являет­ ся неделимым, бывает таковым либо по самой природе, либо условно, то есть она является единицей как та­ ковой или же единицей, которую мы себе наметили. Последний случай относится, например, к мере измере­ ния, которую мы назовем локтем и с помощью которой измеряем длину, к гире весов, которая является мерой тяжести, или к часу, который измеряет время. Каждая из подобных единиц является в действительности, предполагаема единой, неделимой и рассматривается как самая малая величина, обладающая одинаковой сущностью с предметом, для измерения которого слу­ жит» [85, л. 46 об.; 86, стр. 150— 151].

Идея математического атомизма более отчетливо выступает у аль-Фараби в его рассуждениях относи­ тельно измерения времени, для чего он вводит в музы­ ке особую неделимую единицу, так называемое «аз-за- ман ал-аввал» — «первичное время», «время наиболее короткое, которое способно разделить восприятие двух музыкальных тонов. Длительность такого темпа будет такого рода, что третий тон между названными двумя тонами ввести невозможно, а следовательно, невозмож­ но разделить названный темп времени надвое. Поэто­

му такой темп называется «темп первичный» [85, л. 40 об.; 86, стр. 151].

211

Истоки атомистических воззрений в данном случае естественно искать у греческих ученых, у которых в математической теории музыки атомистический взгляд остается преобладающим на всем протяжении древно­ сти. Например, пифагорейцы (Аристоксен и др.) в ос­ нову измерения долготы тона положили неделимый минимум времени («первовремя»), в течение которого невозможно произнести два тона и два слога или сде­ лать два жеста, а только один. Аль-Фараби был хорошо знаком с идеями пифагорейцев по теории музыки, на них он не раз ссылается в «Большой книге музыки».

Однако аль-Фараби не слепо копирует математиче­ ский атомизм пифагорейцев, он налагает на эту кон­ цепцию свой собственный отпечаток. Атомизм аль-Фа­ раби временный — условный компромисс для более адекватного изучения с помощью математики музы­ кальных явлений, который выступает у него как удоб­ ный «искусный прием» для математизации науки му­ зыки. Это видно из следующего его тезиса о сущности восприятия тонов: «Восприятие — это толчок, данный твердому телу узкой и тонкой частью другого твердого тела. Следовательно, представим себе контакт воспри­ нимающего тела с телом, подверженным удару, как встречу последнего с какой-нибудь точкой. Быть тон­ ким, включать возможно меньшее число частей явля­ ется свойством воспринимающего тела. А слово «вос­ приятие» применяется к толчку, которому подвержено тело со стороны другого, более тонкого тела. И чем по­ следнее тело тоньше, тем употребление этого названия более оправданно. Поэтому контакт тела воспринимаю­ щего с телом, которое подвержено удару, мы представ­ ляем в виде точки. Концы ритмического темпа мы также ассоциируем в нашем представлении с точками. Поскольку музыкальное восприятие представляет со­ бой ряд толчков, который лучше всего представить не­ делимым, то такой толчок служит для нашего уха ме­ рой определения периода времени разделяющего тона между собой или моменты восприятия тонов» [85,

л. 46, 86, стр. 152].

Таким образом, аль-Фараби с помощью соответст­ вующих абстракций представляет как сами тона, так и их слуховое ощущение в виде условно неделимых то­

212

чек. Он также устанавливает неделимую единицу из­ мерения длительности паузы (покоя) как предельный случай времени, в течение которого происходит самое возможное краткое движение. Он при этом вводит по­ нятия отрицательного и положительного состояний дви­ жений, которые характеризуются «отсутствием» (’адам) и «наличием» (мулк) движений, и отрицательное со­ стояние количественно определяется через положи­ тельное состояние. Аль-Фараби пишет: «Чтобы соблю­ сти паузу, обладающую значительной длительностью, тот, кто играет на музыкальном инструменте, должен придать этой паузе длительность, равную периоду вре­ мени, в течение которого осуществляется наиболее краткое из измеримых движений, занимающих один темп. Наиболее короткая пауза будет, следовательно, равна отсутствию самого краткого из доступных изме­ рению движений. Такой род отсутствия может произой­ ти, только если оно соответствует «наличию». А такое «наличие» должно продлиться некоторое время, и, сле­ довательно, отсутствие его должно продлиться ровно столько же времени» [85, л. 46; 86; стр. 152].

По-видимому, положительное состояние (наличие) соответствует возрастанию движения, а отрицатель­ ное — (отсутствие) — убыванию движения. Аль-Фа- раби здесь находит минимальный предел величины из­ меримого времени, которое соответствует измеримому моменту движения. При этом заслуживает внимания его попытка характеризовать процессы убывания и увеличения с помощью противоположно направленных измеримых количеств. Заметим, что в индийской мате­ матике положительные числа назывались «имущест­ вом», что также соответствует арабскому выражению «мулк», а отрицательные «долгом». Это дает нам осно­ вания предполагать, что один из истоков появления отрицательных чисел, возможно, и были запросы ме­ тодически доходчивого изложения достижений матема­ тического естествознания.

В этой связи следует еще раз отметить, что во мно­ гих рассуждениях аль-Фараби, высказанных в этом трактате, тона, как правило, отождествляются с точка­ ми на прямой. Этим точкам ставятся в соответствия определенные целые или дробные числа, что ясно вид­

но из приведенного выше метода нахождения области определения эмпирических функций, связанных с ма­ тематизацией теории музыки.

Таким образом, хотя в своих философских тракта­ тах аль-Фараби строго придерживается установки Ари­ стотеля о бесконечной делимости величин, однако в ре­ шении конкретных задач естествознания он вынужден стоять и на точке зрения математического атомизма. Аль-Фараби тем самым как бы стихийно улавливает единство противоположностей, существующих между непрерывностью и дискретностью движения и времени. Аль-Фараби здесь фактически рассматривает атоми­ стическую модель непрерывной субстанции. Такой подход также встречается позднее в трудах ряда евро­ пейских ученых нового времени, которые, хотя теоре­ тически и высказались против неделимых, практически применяли метод неделимых, придавая ему эвристиче­ ское значение, что позволило им более математизиро­ вать изучаемые объекты. Например, Леонардо да Вин­ чи при исследовании истечения воды из сосуда, заме­ нил воду просом, которое служило удобной моделью единой и непрерывной субстанции — воды. Это он обо­ сновывает следующим образом: «И если ты скажешь, что этот опыт нехорош, поскольку вода сама по се­ бе — величина единая и непрерывная, а просо — дис­ кретная и прерывная, на это я тебе отвечу: я хочу по­ зволить себе такую вольность, общую с математиками, а именно: подобно тому, как они делят время на граду­ сы, превращая его из величины непрерывной в прерыв­ ную, так и я сделаю то же, приравнивая просо или пе­ сок к воде» [74, стр. 383].

Другой аспект этой проблемы применителен к про­ странству, т. е. геометрический атомизм был предметом «обсуждения впоследствии многих ученых Востока, как «Братья чистоты», аль-Бируни, Наср ад-Дин ат-Туси и др. Например, аль-Бируни в своей полемике с ИбнСиной о структуре пространства утверждает, что «уче­ ние о делимости тел до бесконечности еще более «по­ рочно», чем учение сторонников атомизма» [94,

стр. 139].

Г Л А В А VIII

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

УАЛЬ-ФАРАБИ

§1. О трактате аль-Фараби «Что правильно

ичто неправильно в приговорах звезд»

Исследования показывают, что на зарождение тео­ рии вероятностей известное влияние оказал накоплен­ ный в течение многих веков материал в философии, связанный с различными аспектами рассмотрения во­ просов о соотношении случайного и необходимого, о причинности и др. Следует отметить, что здесь речь шла в основном о качественной стороне современной концепции вероятности. Однако решение и обсужде­ ние этих вопросов помогали выработке основных веро­ ятностных понятий [95, стр, 10—11].

Аналогичные проблемы возникают и в астрономии в связи с логическим обоснованием правомерности или неправомерности предсказаний астрологов.

Трактат аль-Фараби «Что правильно и что непра­ вильно в приговорах звезд» относится к сочинениям, написанным в этом плане. Его содержание до сих пор недостаточно изучено историками науки. В этом труде на основе законов формальной логики и достижений естествознания аль-Фараби излагает свою концепцию о предмете науки о небесных светилах. Он одним из первых на Востоке подвергает уничтожающей критике юдициарную астрологию, согласно которой земные де­ ла и события управляются различными расположения­ ми небесных светил.

Как и многие другие, этот труд аль-Фараби создан по просьбе учеников. Он написан в весьма лаконичной, сжатой форме в виде отдельных, порой малосвязанных тезисов и изречений и носит полемический характер; автор как бы спорит со своими оппонентами, сторон­ никами астрологии. Сочинение начинается предислови-

215

©м багдадского ученого Абу Исхака Ибрахима ибн Абдаллаха аль-Багдади, из которого мы узнаем, что основным назначением этого труда является научное обоснование возможности и невозможности предска­ заний по звездам. Аль-Багдади по этому поводу пи­ шет: «Я очень хотел познать приговоры звезд, искрен­ не желал овладеть этой наукой, усиленно стремился изучить эти приговоры, постоянно занимался исследо­ ванием посвященных им книг. Увлеченный этим, жерт­ вуя своим временем, будучи уверенным в истинности этой науки, я не сомневался, что ошибки, обнаружен­ ные в ней, являются результатом ограниченности зна­ ний ученых относительно того, что необходимо для этой науки, а также недостаточного внимания со сто­ роны вычислителей, астрономов и наблюдателей, поль­ зующихся приборами.

Я не сомневался в том, что, когда исчезнут эти труд­ ности и отпадут эти преграды, будет достигнуто совер­ шенство во всем вышесказанном, и тогда они станут правильными; вместе с ростом знаний будет извле­ каться польза и в отношении приговоров звезд, и тогда эта наука охватит будущее, раскроются тайны, неизве­ стное станет известным.

И какое-то время я был убежден в этом. Вместе с тем в это время я укреплял свою веру путем вычисле­ ний, проверяя ее путем наблюдения с помощью раз­ личных приборов, путем сбора скрытых и очевидных фактов, но я не приблизился к постижению искомого, а только отдалился от него, так что пришел в отчая­ ние, почувствовал отвращение и стал сомневаться в них» [11, стр. 272—280].

Этот отрывок показывает, что во времена аль-Фара­ би юдициарная астрология (приговоры звезд) счита­ лась особой наукой, основанной на наблюдении и ма­ тематических вычислениях, предметом которой явилось предугадывание хода земных событий по расположе­ ниям планет и звезд. Например, судя по сведениям аль-Бируни, ученый середины IX в. Мухаммад ибн Али Мекки написал по этой науке специальное сочинение «Введение в искусство предсказаний» [96, стр. 130].

Другой крупный арабский астролог Абд аль-Азиз аль-Кабиси (X в.) также создал на эту тему трактат

2 1 6

«Введение в искусство приговоров звезд» (ал-мадхал ила сина’а ахкам ан-нуджум» [97, стр. 462]. В сред­ ние века астрология, геомантия, хиромантия, объеди­ нившись, получают общее название «Искусство пред­ угадывания». Это же название позднее вошло и в науку Европы.

Далее аль-Багдади пишет:

«Тогда я обратился к книгам древних ученых, ища в них спасение из того положения, в котором я нахо­ дился. Но я обнаружил, что в книгах мудрецов и обла­ дателей истины ничего об этом не говорится, их выска­ зывания не ясны, в них нет даже намека в отношении их применения. Тогда та уверенность, которая была у меня до этого, оказалась сомнением, убеждение — предположением, убежденность — подозрением, а ис­ кренность — колебанием.

Многие дни прошли, затянулся срок, а я все нахо­ дился в том положении, как упоминал, пока мне не случилось встретить Абу Насра Мухаммеда ибн Му­ хаммеда аль-Фараби ат-Тархани. Я пожаловался ему на это состояние и поведал ему об искреннем желании узнать, насколько истинна эта наука и что в ней пра­ вильно, а что неправильно и просил его открыть мне разумное из этой науки и объяснить, что известно из учения древних мудрецов. Я просил его ответить мне на то, поисками чего я занимался, и он стал меня настав­ лять основам основ и закону законов, посредством ко­ торых он достигает сущности и истины этой науки.

Он спорил со мной, и я возражал ему, и он вновь обращался ко мне, а я оспаривал сказанное им в от­ ношении этого.

Однажды он показал мне рукопись с главами и по­ метками, по-видимому, написанную в дни, в которые он специально занимался этим. Он сочинил это и оформил, как обычно, в виде книги или трактата. Я пе­ реписал полностью ее и, глубоко изучив ее, нашел в ней желамое и уяснил суть искомого, которое я тщет­ но разыскивал. Уменьшилась тревога в моем сердце, от которой я не мог прежде избавиться, и стал мне ясен путь к возможному и невозможному из приговоров звезд» [11, стр. 280— 282].

217

Аль-Фараби в этом трактате не ограничивается только вопросами предсказаний по звездам, а затраги­ вает общую проблему предугадываний явлений приро­ ды с помощью достижения науки и философии. В связи с этим он высказывает ряд интересных соображений вероятностного содержания.

Аль-Фараби сначала пытается раскрыть различные причины существования отдельных лженаук. По его мнению, это прежде всего субъективные причины, свя­ занные с личными недостатками людей.

Другую причину в распространении ложных уче­ ний аль-Фараби видит в неправильном применении за­ конов логики. По этому поводу он пишет: «Если име­ ются две похожие друг на друга вещи и далее обнару­ жится, что третья вещь является причиной одной из них, то поспешно предполагать, что она является при­ чиной и второй вещи. Это предположение не является правильным в отношении каждой из подобных вещей, так как сходство явлений может быть случайным сов­ падением, а может быть и совпадением по существу»

[11, стр. 284].

Здесь аль-Фараби предостерегает от допущения ло­ гических ошибок; а именно он требует осторожно об­ ращаться к аналогии при ее применении к неоднотип­ ным явлениям, тщательно изучать, что сходно и что не сходне в сопоставимых явлениях.

После таких замечаний общего характера аль-Фа­ раби переходит непосредственно к изложению основы учения о предугадывании явлений природы. Заметим, что прогностику — науку о предугадывании он считал самостоятельным разделом естествознания и в тракта­ те «О происхождении наук» ее называет первой среди восьми разделов естествознания (прогностика, медици­ на, нигромантия согласно физике, наука об образах, агрикультура, навигация, оптика).

§2. Вероятностные представления

уаль-Фараби

Познаваемые явления, по аль-Фараби, разделяют­ ся на два вида: потенциально-познаваемые и актуаль­ но, т. е. действительно познаваемые.

к

218

«Многие люди,— пишет аль-Фараби,— у которых нет интуиции, когда они обнаруживали неизвестные явления, исследовали их и стремились их познать, и расходились относительно их причин, пока не дости­ гали знания их и пока они не становились им известны, правильно допускали, что эти явления возможны по своей природе и считали, что не знают этого только из-за незнания их причин и что познание их будет до­ стигнуто путем исследования и изучения.

Но они не знали, что это явление по своей природе недоступно [невозможно], чтобы найти для него пред­ посылки каким-либо способом, хотя оно возможно по своей природе. А про существование того, что возмож­ но по своей природе, но непостижимо, нельзя судить утвердительно или отрицательно» [11, стр. 289—290].

По утверждению аль-Фараби, науки должны зани­ маться изучением действительно познаваемых явлений. Он подробно останавливается на возможности и невоз­ можности познания случайных явлений и дает естест­ венно-логическое обоснование общих принципов наук о случайных, неизвестных явлениях, имеющих опреде­ ленные доступные к исследованиям причины. При этом аль-Фараби исходит из логического учения Аристотеля о случайностях. Как известно, Аристотель доказывал отсутствие какого-либо научного знания о случайном, потому что, по его мнению, «случайное не есть то, что необходимо бывает, ни то, что бывает в большинстве случаев, но оно есть нечто такое, что происходит по­ мимо того и другого. Между тем доказывается либо то, либо другое» [98, стр. 241].

Аль-Фараби следующим образом отличает возмож­ ные случайные явления от чисто случайных: «Явления и их состояния в мире — двух родов. Одни явления, по причине которых возникают и имеют место такие фак­ ты, как, например, тепло от огня и от Солнца у тел, на­ ходящихся рядом с ними и напротив их. Так обстоит дело и с другими аналогичными явлениями. К другому роду относятся случайные явления, причины которых не известны, как, например, смерть человека или его рождение при восходе Солнца или при его закате.

Каждое явление, у которого есть известная причи­ на, предназначено, чтобы его узнали, овладели им и

219

люзнали. У случайных же явлений нет путей к тому, чтобы оно было известно, определено и изучено со всех сторон окончательно» [И . стр. 284—285].

Случайные явления — амур ал-иттифакиййа, до­ словно — «явления, характеризующиеся совпадением»,

•от слова иттифак — «совпадение». По аль-Фараби, характерным признаком случайных явлений служит отсутствие способа установления их причин. Указанный тезис является основным для критики аль-Фараби доктрин астрологов о возможности предсказаний зем­ ных событий по приговорам звезд. Наряду с этим он не отрицает объективной связи, существующей между не­ которыми небесными и земными явлениями, но требует тщательного изучения этой связи.

Аль-Фараби по-своему обосновывает существование случайных явлений. Он пишет: «Если бы в мире не бы­ ло случайных явлений, причины которых не известны, то исчезли бы страх и надежда, а если бы они исчезли, то не было бы совершенно порядка ни в делах челове­ ческих, ни в делах законности, ни в политике потому, что если бы не страх и надежда, то никто не приобре­

ваться того, чем он не воспользуется, глупый болтун»

.[11, стр. 285—286].

Аналогичное понимание категории случайности встречается еще у Аристотеля: «Уничтожение случая влечет за собой нелепые последствия. Есть многое, что совершается не по необходимости, а случайно. Если в явлениях нет случая, но все существует и возникает по необходимости, тогда не пришлось бы ни совещаться, ни действовать, для того, чтобы, если поступить так, было одно, а если иначе, то не было этого» [99].

Аль-Фараби допускает возможность обнаружения я установления иногда каких-либо соответствий между отдельными действиями человека (или другими явле­ ниями) и различными субъективными предположе­ ниями. Однако он это соответствие квалифицирует как чисто случайное совпадение: «Явления мира и состоя­