книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби

30

меть выделить решающие факторы, определяющие дан­ ный процесс, и, пренебрегая несущественными, полу­ чить упрощенную схему изучаемого объекта, достаточ­ но хорошо его описывающую и поддающуюся матема­ тической обработке.

Аль-Фараби принадлежит специальный трактат по науке об искусных приемах «Книга духовных искусных приемов и природных тайн о тонкостях геометрических фигур», о котором мы будем говорить ниже.

Кроме числовых искусных приемов, по аль-Фараби, имеются многочисленные геометрические искусные приемы: среди них «искусство руководства строитель­ ством», т. е. математическая основа архитектуры и строительства, «искусные приемы измерения различ­ ных видов тел», «искусные приемы изготовления ас­ трономических и музыкальных инструментов, а также многих практических искусств, например, луков и дру­ гих видов оружия». Под «видами оружия» аль-Фараби, по-видимому, понимает баллисты, катапульты и дру­ гие стенобитные орудия. К геометрическим искусным приемам он относит также «приемы изготовления оп­ тических приборов» и т. д.

Далее аль-Фараби, резюмируя все сказанное о нау­ ке об искусных приемах, пишет: «...Все в этом роде и составляет науки искусных приемов. Они представля­ ют собой математические основы практических граж­ данских искусств, которые находят приложение в те­ лах, фигурах, положениях, порядке и измерении, как, например, в искусствах строительства, столярного дела и т. д.» [11, стр. 35]. Искусным приемам по предмету родственна наука о тяжестях — статика, которая, по мнению аль-Фараби, «занимается тяжестями двояко. Во-первых, она рассматривает тяжести как определи­ мые или определяющие, это — изучение элементов уче­ ния о весах. Во-вторых, она рассматривает тяжести с точки зрения их движения или движения чего-то с их помощью, это — изучение элементов механизмов, с по­ мощью которых поднимают тяжелые вещи и переносят их с места на место» [11, стр. 32].

Первый раздел «науки о тяжестях» относится к статике. Эта наука, как известно, была основана Архи­

31

медом. Ей была посвящена «Книга о карастуне» багдад­ ского ученого IX в. Сабита Ибн Корры. После аль-Фа­ раби теория весов была предметом обсуждения многих ученых Востока: Ибн-Сины, аль-Бируни, Омара Хайя­ ма, аль-Хазини (XII в.) и др. Наиболее известен трак­ тат «Книга о весах мудрости» (Китаб мизан ал-хикма) аль-Хазини — ученика Омара Хайяма, который посвя­ щен определению удельных весов различных твердых тел и жидкостей.

Второй раздел «науки о тяжестях», по-видимому, основанный на «Механических проблемах» Аристотеля, также относятся к статике, однако здесь уже имеются элементы движения. Аль-Фараби здесь под механиз­ мом (алат) имеет в виду простые машины — рычаг, блок, ворот, винт и клин. Впоследствии Ибн-Сина по­ свящает этим механизмам «Мерило разума».

Идея повсеместного применения математики (в смысле арифметики и геометрии) в астрономии, меха­ нике, музыке, в разнообразных прикладных областям также указывает на тесную связь математических по­ нятий и методов у аль-Фараби с реальным миром. Он при этом не ограничивается только лишь методологи­ ческими, хотя очень важными, декларациями и уста­ новками, но и показывает незаурядные способности при создании отдельных отраслей математического естест­ вознания и прикладной математики своего времени. Об этом мы расскажем ниже.

§ 3. Вопросы обоснования и изложения основных понятий математики

Как известно, установление основных понятий и положений математики Аристотель отнес к функции философов, а не специалистов-математиков. Он, на­ пример, считал, что в математике «следует приступить к [доказательству] уже будучи знакомым с этими ак­ сиомами, а не заниматься [только еще] установлени­ ем» [41,стр. 62].

Аль-Фараби, развивая это положение Аристотеля в своем «Перечислении наук», данные вопросы относит к метафизике. По его классификации, второй из трех лодразделов метафизики «изучает основы доказа-

32

хельств теоретических частных наук, каждая из кото­ рых обособляется для рассмотрения чего-либо особен­ ного. Таковы, например, логика, геометрия, арифмети­ ка и остальные частные науки, подобные им. Он [вто­ рой подраздел] изучает основы логики, математики, физики и ищет подтверждения и объяснения их сущ­ ности и особенностей. В нем перечисляются порочные гипотезы древних об основах этих наук (например, по­ ложение о том, что точка, единицы, линии и поверхно­ сти являются некими субстанциями и отличаются друг ют друга), а также все подобные предположения об ос­ новах наук, они порицаются и объясняется их пороч­ ность» [23, стр. 173].

Здесь достойна внимания критика аль-Фараби ут­ верждений тех, кто считал основные понятия матема­ тики — точка, единицы, линии и плоскости и др.— са­ мостоятельными субстанциями. В связи с этим отме­ тим, что в математике в течение столетий такая точка зрения была доминирующей. Только математики де­ вятнадцатого столетия были убеждены, что значение этих понятий как субстанциональных объектов в мате­ матике не имеет смысла. «Ясное осознание необходи­ мости отказа от представления об основных математи­ ческих понятиях как реально существующих предме­ тах, явились одним из самых важных и плодотворных завоеваний современного аксиоматического развития математики» [42, стр. 23]. Установки Аль-Фараби об отнесении вопроса о сущностях точек, прямых, плоско­ стей, чисел и др. в раздел не математики, а метафизики впоследствии придерживались Омар Хайям, Наср ад-Дин ат-Туси и др. Например, Омар Хайям в тракта­ те «Комментарии к трудностям во введениях книги Ев­ клида» по этому поводу пишет: «Что касается точки, линии, поверхности, угла, круга, прямой линии, пло­ ской поверхности и тому подобных принципов, то их установлением и истинным определением занимаются те, кто владеет общей наукой философией» [43,

стр. 114].

Обоснованию основных геометрических понятий аль-Фараби посвятил специальный трактат «Коммента­ рии к трудностям во введении к первой и пятой книгам Евклида». Здесь аль-Фараби высказывает глубокие

34

щению, и второй, выдвигающий вперед то, что ближе для разума. Резюмируя свою мысль, аль-Фараби пи­ шет: «...Желательно, чтобы разум действительно, на­ правил сначала свое действие от ощущаемого в направ­ лении анализа, пока не дойдет до точки; а затем уже желателен порядок, соответствующий разуму, т. е. синтез свойств» [11,стр. 239].

Аль-Фараби в «Перечислении наук», почти повторяя эту же самую мысль, критикует метод изложения «На­ чал» Евклида за чрезмерное увлечение приемом синте­ за и считает необходимым применение для этой цели и приема анализа. Он говорит: «Эти начала (т. е. нача­ ла геометрии.— А. К.) изучаются двумя методами, методом анализа и методом синтеза. Древние матема­ тики в своих сочинениях сочетали эти оба метода. Ев­ клид построил свою книгу только методом синтеза»

[11, стр. 22].

Аль-Фараби в своем капитальном труде «Большая книга музыки» успешно сочетает эти два логических приема. Об этом его сочинении более подробно будет сказано в шестой главе.

Таким образом, в комментариях к Евклиду (IV— III в. до н. э.) аль-Фараби утверждает, что последова­ тельность изложений основных геометрических поня­ тий должна повторять их появление в процессе абстра­ гировании от физических тел, т. е. порядок «от частно­ го к общему» (тело, поверхность, линия, точка). Как известно, Евклид в своих «Началах» принимает поря­ док «от общего к частному» (точка, линия, поверх­ ность, тело), при котором сначала определяются боль­ шие абстракции, а затем меньшие абстракции. Этот ха­ рактерный для дедуктивного изложения науки прием соответствовал требованию философии Платона. АльФараби критикует порядок изложения Евклида, исходя из материалистической позиции Аристотеля на проис­ хождение математических образов.

Интересно отметить, что аль-Фараби здесь затраги­ вает некоторые вопросы, связанные с преподаванием математики. Он подчеркивает, что вначале обучения ученик более силен в том, что ощущается, и поэтому целесообразно начать с конкретного ощущаемого тела. Он предлагает затем перейти к рассмотрению матема­

35

тического тела, т. е. тела, взятого вне физических ка­ честв. Это есть принцип, который приблизительно соот­ ветствует принципу наглядности в современной мето­ дике преподавания математики.

В трудах аль-Фараби имеется много правильных ценных идей по доступному и доходчивому изложению научно-теоретических вопросов (в том числе математи­ ки). Непревзойденными для своего времени образцами методически зрелого изложения являются его много­ численные комментарии к трудам античных авторов: Платона, Аристотеля, Евклида, Птолемея (II в.) и др. Например, как мы указывали выше, Ибн-Сина перво­ начально изучал «Метафизику» Аристотеля по ком­ ментариям аль-Фараби, а его «Большая книга музыки» для многих поколений ученых явилась примером стро­ гого и доступного изложения труднейших проблем ма­ тематического естествознания. Педагогическая и мето­ дическая стороны его научной деятельности, как и мно­ гих ученых Востока, почти не изучены и требуют ис­ следований.

Конкретные стороны критики отдельных определе­ ний Евклида мы приводим в главе, посвященной геоме­ трии аль-Фараби. Здесь только ограничимся указанием, что этот философско-математический трактат впослед­ ствии оказал большое влияние на математиков Восто­ ка, которые занимались проблематикой, связанной с критикой, усовершенствованием «Начал» Евклида. На­ пример, Омар Хайям под сильным воздействием «Ком­ ментариев» аль-Фараби написал «Комментарии к труд­ ностям во введениях книги Евклида», где некоторые положения, вроде «согласно ученым, несомненно, что линия может существовать только на поверхности, а поверхность — в теле, т. е. линия может быть только в теле и не может предшествовать поверхности» [43, стр. 115], перекликаются с аналогичными положения­ ми аль-Фараби.

Как известно, геометрический трактат Омара Хайя­ ма сыграл существенную роль в предыстории неевкли­ довой геометрии.

Отметим, что аль-Бируни под непосредственным влиянием идей, изложенных в этом сочинении аль-Фа­ раби, в «Книге вразумления в начатках искусства звез-

36

дочетства» в отличие от Евклида основные понятия гео­ метрии определяет в порядке возрастания их абстракт­ ности, т. е. сначала приводит определение геометриче­ ского тела (полученного из физического тела абстра­ гированием от его физических свойств), затем поверх­ ности (получаемой из геометрического тела абстраги­ рованием от его толщины), затем линии (получаемой из поверхности абстрагированием от ее ширины) и, на­ конец, точки (получаемой из линии абстрагированием от ее длины) [44, стр. 8].

В разделе «Рассуждение о количестве» своих «Ком­ ментариев к «Категориям» Аристотеля» аль-Фараби в духе Аристотеля определяет категорию количества, ко­ торое есть «все то, совокупность чего измерена его частью», и относит к нему числа, линии, поверхности, тела, время, слова и др., объясняет сущность аристоте­ левских определений непрерывных и раздельных ко­ личеств. Например, «непрерывное количество — это то, в середине чего можно предположить некую межу или границу, где примыкают друг к другу части данной вещи, расположенные по обе стороны предполагаемой границы. И тогда граница эта будет общей для обеих частей» [37,стр. 179].

Эти определения аль-Фараби иллюстрирует конкрет­ но на примерах линии, плоскости, тела, времени и др.

§ 4. Вопросы математики в трактате аль-Фараби «О происхождении наук»

Трактат «О происхождении наук» является одним из наиболее известных трудов аль-Фараби. Он посвя­ щен общеметодологическим вопросам классификации наук по порядку их происхождения и изучения.

Рассуждения аль-Фараби по объяснению явлений природы основываются на субстанции и акциденции. По его концепции, существующая сама по себе сущ­ ность предмета называется субстанцией, а что не су­ ществует само по себе будет акциденцией. Субстанция едина, подвижна и познаваема. Но субстанцию позна­ ет только разум, причем посредствующим звеном яв­ ляется акциденция. А акциденцию воспринимают пять чувств: зрение, слух, обоняние, чувства вкуса и осяза­

37

ния. Например, разум познает, что за цветом находится

следующим образом толкует причину происхождения науки о числе: «Я утверждаю, что число, которое пред­ ставляет собой множество, составленное из единицы, возникло благодаря тому, что субстанция может быть разделена многими способами и содержит различные части. Так как субстанция по своей природе может быть потенциально разделена до бесконечности, то и число потенциально бесконечно. Наука о числе — это наука об умножении одних частей субстанции на дру­ гие, о делении одних на другие, о прибавлении одних к другим, об отнятии одних от других, о нахождении корня всех тех частей, которые имеют корни, о нахож­ дении их пропорции и т. д. Отсюда ясно, каким обра­ зом было получено число, откуда оно возникло и ста­ ло умножаться, какова была причина, благодаря ко­ торой оно получило бытие, перешло от возможности к

рия) всегда и везде обладает потенциально количест­ венной природой; она имеет меру и может выражаться в числах. Эта числовая измеримость или выражаемость объективной действительности есть идея, лежащая в основе современной науки. В этом толковании, как не­ трудно заметить, примат находится на стороне субстан­ ции, она предшествует возникновению числа и опера­ ции над числами, а не наоборот, как учили пифагорей­ цы. Здесь он, безусловно, стоит на правильной позиции.

Как мы уже указали, ближайший предшественник аль-Фараби аль-Кинди не смог полностью отречься от влияния числового мистицизма и, подобно пифагорей­ цам, в основу мироздания положил целые числа и их отношения.

Относительно причины, благодаря которой возник­ ла наука измерения, аль-Фараби пишет: «Я утверж­

38

даю, что после того, как субстанция начала делиться на множество частей, как мы показали раньше, про­ изошло то, что каждой из ее частей стали приписывать какую-либо фигуру и располагать ее известным обра­ зом. Таким образом, получились круглые фигуры, тре­ угольники, четырехугольники, пятиугольники; так они возникли согласно порядку чисел до бесконечности, которая проявилась в частях разделенной субстанции. Так, потребовалась наука, благодаря которой мы по­ знали бы те фигуры, которые содержат эти части. Бла­ годаря ей мы можем сравнивать фигуры и находить их общую меру; благодаря ей мы узнаем, какая фигура подобна другой, какая фигура входит в другую фигуру и какая заключает в себе другую фигуру и другие свой­ ства фигур. Эта наука есть наука измерения. Итак, из­ меряющая наука — это та, благодаря которой мы уз­ наем меры и можем сравнивать между собой линии, поверхности и тела, она называется по-гречески геоме­ трией. Отсюда ясно, каким образом появилась наука измерения и откуда она произошла, какова была при­ чина ее перехода от возможности к действительности и от небытия к бытию» [45, стр. 149— 150].

И здесь также аль-Фараби исходит из материали­ стического понимания сущности геометрии. И арифме­ тика, и геометрия, по мнению аль-Фараби, имеют свои­ ми предметами весьма реальные субстанции. Эти его воззрения на происхождение математики весьма про­ грессивны по сравнению с мистическими воззрениями пифагорейцев и платоников о сверхъестественном влия­ нии числовых отношений и геометрических форм на реальный мир. Его рассуждение о возникновении ма­ тематических дисциплин в некотором отношении при­ ближается к современному определению математики как науки о количественных отношениях и пространст­ венных формах реального мира.

Аль-Фараби аналогично объясняет причины про­ исхождения и других математических наук — астроно­ мии и гармонии. Следует подчеркнуть, однако, что в силу исторических условий, при которых он жил, альФараби не мог подняться до полного выяснения всех предпосылок появления различных наук. В основном,

39

объясняя причины происхождения математических наук материалистически, он рассматривает их изоли­ рованно, вне связи с жизнью человеческого общества.

§ 5. Предвосхищение некоторых идей математической логики

Аль-Фараби оставил много трудов по логике, кото­ рые пока изучены весьма слабо. В трактатах «Пере­ числение наук», «О происхождении наук» он опреде­ ляет предмет и задачи логики и при этом исходит из логических сочинений Аристотеля. Он рассматривает логику отдельно от метафизики и считает ее конкрет­ ной точной наукой, родственной грамматике, математи­ ке и другим наукам. «Это искусство,— пишет аль-Фа­ раби,— родственно искусству грамматическому, ибо отношение [искусства] логики к интеллекту и умопо­ стигаемым объектам интеллекции такое же, как отно­ шение грамматики к языку и словам; грамматика в [своих] законах о словах дает нам такие же образцы, какие дает логика касательно умопостигаемых интеллекций.

Равным образом это искусство (т. е. логика) близка просодии (т. е. метрике.— А. К.). Отношение логики к умопостигаемым объектам интеллекции параллельно отношению просодии к размерам стиха; а модели всех тех законов, которые даются наукой о стихе для раз­ меров стиха, дает нам также логика относительно умо­ постигаемых объектов интеллекции» [23, стр. 119].

Таким образом, логические понятия, по аль-Фара­ би, являются абстракциями умопостигаемых объектов. Идею об образовании научных понятий путем абстрак­ ции, которая освобождает субъекта от тех или иных конкретных связей, ученый не ограничил областью ма­ тематики, а перенес в другие науки, тем самым он пошел дальше Аристотеля [46]. Эта тенденция к вос­ хождению от конкретного к абстрактному проявилась особенно полно у аль-Фараби в его подходе к логике в целом. Он стал рассматривать ее как теоретическую науку о необходимых выводах из необходимых основ и принципов. Эти начала устанавливаются, как и пер­ воначальные понятия и положения геометрии, арифме­