книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби

140

Если широту местности HF обозначим через <р, а «уравнение дня» — Да, то эта формула имеет вид:

sin A a = tg 6 -tg<p, Д а— arc sin(tg6i-tgcp).

Следует отметить, что исходя из своей концепции о расширении понятия числа до положительного дейст­ вительного числа, аль-Фараби сознательно не делает особого различия между числом и геометрическим от­ резком, что и позволило ему успешно применять ариф­ метико-алгебраические методы в астрономии.

Указанный способ определения уравнения дня точ­ но в таком же виде имеется и у астрономов школы Улугбека (так называемый «первый способ Улугбека»), по которому, «умножив тангенс первого склонения на тангенс широты местности, в произведении мы получим синус уравнения дня данного градуса эклиптики»

[76, стр. 167].

Далее аль-Фараби, применяя теорему синусов, пред­ лагает другой способ решения этой же задачи, о кото­ ром он пишет: «А также синус расстояния восхода DB относится к уравнению дня как синус дополнения склонения FD к широте местности FC. Отсюда, умно­ жая синус «амплитуды восхода» на синус широты ме­ стности и деля на косинус склонения, получим синус уравнения дня».

Таким образом, аль-Фараби составляет пропорцию:

«Амплитуду восхода» a, т. e. дугу горизонта между точкой востока и точкой восхода светила, аль-Фараби определяет через его склонение и широту местности. Это правило имеется и у аль-Бируни [81, стр. 13].

Последний способ определения уравнения дня при­ водится и ученым школы Улугбека: «Мы умножаем синус дуги, заключающейся между центром восходя­ щего светила и востоком, на синус широты местности и делим произведение на косинус первого склоне­

142

Это равносильно формуле аль-Фараби по опреде­ лению первого склонения

sin<5=sin?. •sine.

Таким образом, опираясь на математические дости­ жения предшественников и свои собственные иссле­ дования, аль-Фараби дает классические примеры при­ менения тригонометрии в астрономии, которые были широко использованы и блестяще развиты учеными по­ следующих поколений.

Г Л А В А VI

АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ МУЗЫКИ АЛЬ-ФАРАБИ.

РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА

§ 1. Аль-Фараби о предмете и содержании арифметики

В математических и других сочинениях аль-Фараби много мест отведено арифметике и алгебре. В «Пере­ числении наук», исходя из достижений своих предше­ ственников, он определяет предмет арифметики, уста­ навливает ее раздел и дает сжатую характеристику каждому из них. Он разделяет науку о числе на прак­ тическую и теоретическую арифметику.

Определяя предмет практической арифметики, альФараби исходит из концепции, что она произошла не из чистого мышления, а возникла в результате практи­ ческих потребностей людей; натуральные числа, яв­ ляющиеся основой всей арифметики, являются как бы безусловной составной частью восприятия мира людь­ ми начиная с самых ранних ступеней их умственного развития.

Практическая арифметика, по аль-Фараби, изучает «числа постольку, поскольку речь идет о числах счи­ таемых, нуждающихся в определении их числа, и про­ чее. Например, число людей, лошадей, динаров, дирхе­ мов и прочих вещей, обладающих числом. Эту науку людей применяют в рыночных и гражданских делах»

[11,стр. 17].

Здесь считаемое (ма’дуд) — конкретный предмет, являющийся объектом пересчитывания в отличие от абстрактного числа (’адад). Еще Сабит ибн Корра в трактате «Вопросы, заданные Абу Мусой ибн Усейдом», рассматривая философские вопросы математики, под­ черкивал абстрактный характер числа в отличие от конкретного «считаемого» [83, стр. 35].

144

После аль-Фараби различие между «числом» и -«считаемым» также отмечается в энциклопедии — в «Посланиях братьев чистоты» [84, стр. 272], ибн альХайсамом в его комментариях к Евклиду и другими крупными математиками стран ислама.

В противовес практической арифметике, по аль-Фа­ раби, «теоретическая арифметика изучает числа в абсолютном смысле, отвлеченно от всего, что подлежит подсчету в конкретно ощутимых предметах и числа здесь выступают, как общие, как для чувственно-ощу­ тимых, так и для чувственно неощутимых предметов»

[11, стр. 17— 18].

Определение назначения теоретической арифметики у аль-Фараби близко подходит к современному толко­ ванию предмета арифметики. В самом деле, арифмети­ ческие действия определяют связь, точнее отношение между числами. Но отношения между числами явля­ ются отвлеченными образами реальных количествен­ ных отношений между совокупностями предметов. Именно эта особенность теоретической арифметики, т. е. ее абстрактность, делает ее универсальной. Она «проникает во все науки» и благодаря своему абстракт­ ному характеру наука о числе может применяться во всех науках.

Аль-Фараби, в свою очередь, теоретическую арифме­ тику разделяет на три части:

1) учение об отдельных числах, которое «изучает все то, что присуще их сущностям, без соотнесения од­ них к другим. Например, четные и нечетные числа, квадратные, плоские, телесные числа, совершенные и несовершенные числа и другие» [11, стр. 18].

Таким образом, по аль-Фараби, этот раздел теорети­ ческой арифметики рассматривает четные и нечетные, совершенные и несовершенные, фигурные и другие чис­ ла, взятые отдельно, т. е. изучает их индивидуальные свойства;

2) учение о зависимых числах, которые «изучают все то, что присуще им при соотнесении (сравнении) од­ них к другим как равенство и неравенство чисел, что какое-то число является одной или несколькими доля­ ми другого числа, или кратным, или равным ему, либо превосходящим его на одну или несколько долей, про­

146

§2. Вопросы арифметики

в«Большой книге музыки»

Всвоем трактате «Большая книга музыки» аль-Фа­ раби особо останавливается на числовых отношениях, которые, будучи предметом теоретической арифметики, находят разнообразное применение в теории музыки.

Вэтой связи большой интерес представляет следующее утверждение аль-Фараби, высказанное им в заключи­ тельной части введения своего трактата: «Вот и все, что нам нужно знать из арифметики для пользования этими знаниями в учении о музыке. Там, в изложен­ ном выше, мы показали, каким образом нам нужно рассматривать тоны и интервалы, чтобы можно было определить их значение и выразить его при помощи отдельных чисел. Мы показали также, с какой точки зрения нужно к ним подходить, чтобы можно было вы­ разить эти значения с помощью соотнесенных чисел»

[85, л. 24; 86, стр. 76].

Здесь интересны термины аль-Фараби: «отдельные числа» (адад ал-муфрада), «соотнесенные числа» (адад ал-мудафа), которые у него уже выступают соответст­

тельное количество, т. е. не отнесенное к какому-либо количеству, называется целым, как, например, едини­ ца, два, десять, пятнадцать, сто; если же рассматривать количество, отнесенное к другому количеству, то оно называется дробью, а то, к чему оно отнесено, называ­ ется знаменателем, таковы, например, единица из двух, называемая половиной, три из пяти, т. е. три пятых единицы» [78, стр. 13].

По поводу этого Г. П. Матвиевская замечает: «Та­ ким образом, у аль-Каши понятия «самостоятельного» («отдельного») и «зависимого» количества, заимство­ ванные из теоретической арифметики, становятся по­ нятиями практической арифметики, соответствующими целому числу и дроби» [31, стр. 136— 137].

147

Во введении «Большой книги музыки» аль-Фараби специально выделяет те вопросы учения о числе, кото­ рые в той или иной мере могут быть использованы в по­ строении теории музыки. Он называет их принципами, заимствованными из арифметики.

Аль-Фараби особо интересуют числовые отношения, получающиеся при сравнении целых чисел. Он пишет: «Каждое число можно рассматривать двояко: как чис­ ло само по себе, или относительно другого числа, кото­ рое служит в данном случае членом сравнения. В пер­ вом случае речь идет, например, о числе «один», кото­ рое мы рассматриваем само по себе, не сопоставляя его с двойкой и не говоря, что один представляет собой половину от двойки. Или мы можем рассматривать двойку саму по себе, не соотнося ее к единице и не го­ воря о ней, что она является удвоенным числом для единицы. То же самое можно сказать и обо всех иных числах. Во втором случае рассматриваемое число бе­ рется в отношении к какому-либо иному числу, которое послужит для него единицей измерения. Так, напри­ мер, один будет единицей измерения по отношению к двум, а также и для других чисел» [85, л. 22 об.; 86,

стр. 72].

Таким образом, по концепции аль-Фараби, единица

служит равноправным числом, и он фактически рас­

тя сматривает положительные числа вида — .

Аль-Фараби, как и Никомах, считает, что отноше­ ние чисел может быть двояким, отношением равенства и отношением неравенства. Он пишет: «Если сопостав­ ляются два числа между собой, то они могут быть рав­ ными или неравными. Отношение двух равных чисел называется отношением равенства. Если числа нерав­ ны, то отношение между ними может быть двух видов: либо самое малое из них сопоставляется с самым боль­ шим, как 1 и 2, либо самое большое сопоставляется с самым малым, как 2 к 1» [85, л. 22 об.; 86, стр. 72].

Таким образом, отношение неравенства распадается

148

1) кратное получается, когда большее число вдвое, втрое, вчетверо и т. д. [до бесконечности] превышает взятое меньшее число;

2) превышающее на долю получается, когда боль­ шее число превышает меньшее на величину, равную части меньшего числа (3 по отношению к 2, оно же превышает 2 на половину 2);

3)превышающее на доли получается, когда боль­ шее число превышает меньшее число на величину, рав­ ную нескольким частям меньшего числа (7 по отноше­ нию к 5; оно превышает 5 на % от 5);

4)относительно остальных двух видов он пишет: «Отношение двойного плюс одна или несколько час­ тей, или отношение несколько раз взятой единицы плюс одна или несколько частей, вытекает из выше­ сказанного об отношениях».

Таким образом, аль-Фараби рассматривает следую­ щие виды отношений между числами:

А = к В , А = В + ~ , А —В-\- ~^В,

А = кВ - f — , А = к В + — В .

Аль-Фараби подразделений «меньшего» неравенст­ ва не приводит, так как они для теории музыки не нужны. Он предпочитает приведение любого отношения по возможности к простейшему виду, который соответ­ ствует сокращению сопоставляемых чисел на их наи­ больший общий делитель. Он пишет: «Числа, выра­ жающие указанные отношения, не всегда являются про­ стейшим арифметическим выражением этих отноше­ ний. Таким образом, отношения 4 к 2 и 6 к 4 могут быть выражены меньшими и более простыми числами,

например, 2,1 и 3,2» [85, л. 23; 86, стр. 73].

Указанная классификация отношений почти в та­ кой же форме встречается у Абу-л-Вафы [31, стр. 122— 123].

В этом трактате более подробно аль-Фараби рас­ сматривает действия над числовыми отношениями, ко­ торые находили широкое применение в теории музыки. Об этом аль-Фараби пишет: «Когда мы объясним, ка­ ким образом решаются три следующие задачи, то смо­

149

жем сказать, что показали все то, что музыка позаим­ ствовала из арифметики:

1.Ряд чисел находится в определенном отношении друг с другом. Нам нужно найти таких два числа, от­ ношение которых содержало бы в себе эти отношения.

2.Два числа находятся в известном отношении друг

кдругу. Нам нужно найти такие средние числа, нахо­ дящиеся в отношениях, при которых эти отношения содержались бы исходным отношением.

3.Два числа в данном отношении имеют между со­ бой средние члены, отношение которых таково, что их сумму можно вывести из исходного отношения. Нам нужно найти число, которое дало бы нам остаточное отношение, т. е. излишки исходного отношения по сравнению с этой суммой.

Решить первую задачу — значит сделать сложение обоих отношений. Решение второй задачи состоит в том, чтобы разделить одно отношение на несколько других отношений, а третья задача решается путем вы­ читания одного отношения из другого» [85, л. 23; 86,

стр. 73—74].

Таким образом, аль-Фараби устанавливает три дей­ ствия над числовыми отношениями — сложение, деле­ ние (разложение) и вычитание отношений. Он тут же предлагает очень простой, как он сам замечает, способ решения указанных трех задач, возникших из запро­ сов теории музыки. При этом аль-Фараби, естествен­ но, ограничивается рассмотрением преимущественно тех видов числовых отношений, которые пригодны для этой цели.

Здесь под сложением, делением и вычитанием он по традиции понимает соответственно операции умноже­ ния, разложения и деления.

Аль-Фараби приводит правила сложения, деления (разложения) и вычитания отношений без доказа­ тельств, что было вызвано вспомогательным характе­ ром этих сведений для построения теории музыки.

Правило сложения распадается у него на два слу­ чая: 1) слагаемые отношения равны между собой; 2) слагаемые отношения не равны между собой. Относи­ тельно первого случая он пишет: «Если речь идет о сложении одного отношения с другим, когда оба эти