книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби

180

ли А, В, С — интервалы кварты и А наибольший из них, такой, что А > В + С , то комбинации ВАС и САВ дают «мягкие неупорядоченные» роды, а комбинации АВС и ВСА — «мягкие упорядоченные» роды. Если из оставшихся двух интервалов В я С В > С , то АВС дает «мягкий последовательный и упорядоченный» род, а ВСА — «мягкий упорядоченный непоследовательный» род и т. д.

Таким образом, в зависимости от той или иной ком­ бинации интервалов — компонентов получаются раз­ личные виды родов. Подсчитывая число таких комби­ наций, а также исследуя изменение качеств звука в зависимости от различных сочетаний модулирующих интервалов, аль-Фараби фактически решает задачи комбинаторного анализа и исследует своеобразные функциональные зависимости. Об этих достижениях аль-Фараби по математическому естествознанию мы будем говорить более подробно в следующей главе на­ шей работы.

После этого аль-Фараби переходит непосредственно к арифметическому методу деления кварты, который основан на приведенных выше арифметических дейст­ виях, проводимых над отношениями. По этому методу мягкие роды получаются путем вычитания из кварты интервала, отношение которого больше половины квар­ ты. По этому поводу аль-Фараби пишет: «Вышеизло­ женные правила касательно деления и вычитания ин­ тервалов позволят нам найти отношения интервалов всех видов сильных и мягких родов. Деление интерва­ лов можно осуществить многими способами, но мы бу­ дем пользоваться только одним из них. Этот способ при­ менительно для мягких родов состоит в том, что всякий раз мы снимаем из кварты такой интервал, после вы­ читания которого оставался бы остаток, у которого от­ ношение меньше этого интервала. После этого остаток делится на два интервала» [85, л. 31; 86, стр. 103].

Применение этого метода аль-Фараби иллюстрирует наиболее характерными примерами. Так, он следую­ щим образом получает «ослабленный вид» мягкого упорядоченного непоследовательного рода: «прежде всего вычтем из кварты интервал, отношение которого

181

равно 1+ - j - . Остаточный интервал будет иметь отно­

шение 1+ . Поделим этот последний интервал на

два и получим три интервала, составляющие искомый род».

Таким образом, получается:

Аль-Фараби четырем ступеням этих интервалов ставит в соответствие следующие числа: 40, 32, 31, 30, последовательные отношения которых представляют собой полученные интервалы.

Аналогично он получает и другие разновидности мягкого рода, после чего демонстрирует арифметиче­ ский метод получения сильных родов, в частности «род с удвоением»: «Мы располагаем рядом способов для получения сильных родов. Но из них мы воспользуемся лишь одним. Сначала вычтем из кварты интервал,

имеющий отношение 1+ -у- . Затем из остатка вычтем

другой интервал с таким же отношением. Серия полу­ ченных таким образом трех интервалов образует иско­ мый вид».

Таким образом, получается:

4 =(1+~r)(i+ 4 )(1+4г) •

Аль-Фараби четырем ступеням этих интервалов ставит в соответствия следующие числа: 64, 56, 49, 48, последовательные отношения которых представляют собой найденные интервалы. Аналогичным образом по­ лучаются и другие разновидности сильного рода.

Далее он подробно останавливается на созвучности и несозвучности указанных выше родов.

Аль-Фараби составлял таблицы, содержащие все данные обо всех этих родах; причем он для облегчения их понимания в качестве основы исчисления берет чис­ ло 12 (иногда 60), которое выражает длину полной стру­ ны. В комментариях к таблице 1 объяснялся и принцип ее составления. Из этой серии таблиц мы приводим еще две (табл. 2 и 3).

ГЛАВА УП

КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ И ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ИДЕИ АЛЬ-ФАРАБИ В «БОЛЬШОЙ КНИГЕ МУЗЫКИ»

§1. Комбинаторные задачи

Втрактате «Большая книга музыки» в связи с ре­ шением различных вопросов музыкальной науки ста­

вятся и решаются многочисленные задачи на элемен­ тарную комбинаторику. Это и естественно, так как ко­ нечной целью музыкальной теории является компози­ ция мелодий с помощью комбинаций различных тонов, интервалов, групп и др. Аль-Фараби с такими задача­ ми сталкивается нередко, когда ему приходится делить кварту на роды, ту или иную группу на созвучные ин­ тервалы и др. Так, например, в двенадцатиполутоно­ вой шкале, предложенной аль-Фараби, тон содержит два полутона, кварта — пять, квинта — семь, октава — двенадцать и т. д. На этой основе он производит подсчет различных комбинаций трех интервалов, сумма кото­ рых дает кварту.

Аль-Фараби сначала выводит экспериментально сле­ дующие четыре вида:

(кварта),

(кварта) .

Далее аль-Фараби пишет: «Помимо перечисленных категорий рода можно построить и другие, для чего до-

184

статочно разделить тон на четверти, на восьмые, на треть, на полутреть, на четверть трети, а потом комби­ нировать эти интервалы различными способами. Каж­ дая комбинация дает нам какую-нибудь категорию ро­ да. Вот несколько подобных примеров: 1) два тона, четверть тона и еще раз четверть тона; 2) один тон плюс пять шестых тона, треть тона и еще раз треть тона; 3) один тон плюс три четверти тона, три восьмых тона; 4) три четверти тона плюс четверть трети, три чет­ верти тона плюс четверть трети. Таким образом, полу­ чим восемь родов» [85, л. 18 об.; 86, стр. 58].

Последние четыре вида можно записать следующим образом:

(кварта).

Фараби выражает интервалы этих родов через число­ вые отношения:

П 24_ , 24_ , 12_ _ 6 0 _ 144 "г 144 “г 144 — 144 ’

185

Задачу нахождений подразделений этих видов альФараби решает с помощью комбинаторных рассужде­ ний, а именно: приводит к перестановке с повторяю­ щимися или неповторяющимися элементами. По это­ му поводу он пишет: «Таким образом, мы получили сейчас такие роды, среди которых некоторые имеют ин­ тервалы, равные между собой, как, например, восьмой категории. В других же родах интервалы оказываются неравными, как, например, интервалы остальных семи перечисленных категорий. Когда в одном и том же жанре все интервалы имеют одинаковые значения, из них можно составить лишь один вид комбинации» [85,

л. 18 об.; 86, стр. 59].

Эта задача не что иное, как задача нахождения числа перестановок с повторениями (все три элемента повторяющиеся).

Далее аль-Фараби рассматривает случаи, когда два интервала равны между собой. Он рассуждает следую­ щим образом: «Среди видов с различными, неодинако­ выми интервалами имеются такие, в которых все ин­ тервалы отличаются друг от друга, в других же — два интервала равны между собой, а третий отличается от двух предыдущих. В случае, когда два интервала како­ го-нибудь вида сходны между собой, а третий от них отличается, мы можем комбинировать эти интервалы только двумя способами в зависимости от того, куда мы помещаем наибольший из интервалов, в конце или посередине. В каждой из этих комбинаций интервалы можно переставить с низкой на высокую и, наоборот, с высокой на низкую» [85, л. 19; 86, стр. 59].

Пусть А, А, В — интервалы вида, причем В > А . Из них можно, по аль-Фараби, образовать две ос­

новные комбинации — ABA, ААВ, а также одну про­

186

изводную комбинацию — BAA. Эта задача не что иное, как задача нахождения числа перестановок с повторе­ нием (два из трех элементов повторяющиеся).

Аналогичным образом аль-Фараби рассматривает случай, когда все три интервала не равны между собой. По этому поводу он пишет: «В случае, когда все интер­ валы какого-нибудь вида неодинаковы между собой, мы можем сделать из них три типа комбинаций: пер­ вая — когда самый большой из интервалов помещает­ ся в одном конце кварты, а самый малый — в одном конце — в другом. Вторая — самый большой из интер­ валов находится в одном конце вида, самый малый — посередине. Третий — самый большой из интервалов находится в центре. В каждой из перечисленных ком­ бинаций интервалы можно переставить с низкой на высокую и, наоборот, с высокой на низкую» [85, л. 19; 86, стр. 59, 60].

Если обозначим самый большой интервал через А, самый малый — через С, то, по аль-Фараби, образуют­ ся следующие три основные и три производные комби­ нации:

АВС, АСВ, ВАС и СВА, CAB, ВСА.

Это не что иное, как задача нахождения числа пе­

рестановок из различных элементов (все три элемента разные).

В данном случае Р3= 3 ! = 1 -2 -3= 6 .

Задачи и рассуждения комбинаторного содержания встречаются у аль-Фараби и там, где он говорит о структуре групп, больших октавы. Например, совершен­ ная группа (двойная октава) может иметь одну из сле­ дующих трех комбинаций основных интервалов:

187

У аль-Фараби это выглядит следующим образом: «Мы имеем возможность комбинировать различными способами интервалы, включенные в совершенную группу. Мы можем, например, начать с интервала то­ на, затем поставить следом за ним интервалы какоголибо вида и достигнуть до первой октавы, после нее вновь поставить один тон, затем интервалы заданного жанра до получения полной второй октавы. Но можно также начать с интервалов заданного вида и составить двойную кварту, затем дополнить октаву с помощью тона, за которым последуют вновь двойная кварта и тон, и таким образом будет получена двойная октава. И наконец, мы можем сперва определить три интервала одного вида, поставить за ним интервал тона, а затем три интервала вышеназванного вида, и таким путем образуем первую октаву, за которой последует другая, построенная таким же образом, вследствие чего и бу­ дет получена двойная октава» [85, л. 35 об.: 86, стр. 118].

Аль-Фараби отчетливо понимает, что из этих интер­ валов можно комбинировать и другие группы (их всего 15), однако он ограничивается теми комбинациями, ко­ торые наиболее применимы в музыке.

После этого он классифицирует группы в зависи­ мости от взаимного расположения в ней больших, сред­ них интервалов. Дело в том, что интервалы октавы, квинты и кварты, которые могут комбинироваться не­ сколько раз внутри совершенной группы, в свою оче­ редь, сами могут различным образом комбинироваться из малых интервалов, отсюда получаются различные формы самой группы. Это также предполагает решение отдельных задач комбинаторики. По этому поводу альФараби пишет: «Если созвучный интервал повторяется внутри группы, то малые интервалы, которые в него входят, могут иметь различное расположение внутри этой группы. Таким образом, если кварта помещается внутри какой-либо группы с определенной комбинаци­ ей ее малых интервалов, то в эту же группу можно ввести и другие кварты, у которых малые интервалы расположены иным образом. Так, например, первый интервал, который мы увидим в первой комбинации, может оказаться последним в другой комбинации дру­ гой группы» [85, л. 37; 86, стр. 127].

189

Затем, останавливаясь и на перечислении других возможных и приемлемых в музыке вариантов образо­ вания ритмов, например, при подсчете числа четверт­ ных ритмов, он рассуждает следующим образом: «Три времени, составляющие каждую четвертную группу, равны в некоторых группах, в других они не равны...

Те, у которых группы состоят из двух равных ритмов и одного времени, отличающегося от них, также име­ ются двух видов, в зависимости от того, является ли разнородным время большее или меньшее по сравне­ нию с равными двумя временами. И каждая из этих двух форм может дать три разные комбинации, в зави­ симости от того находится ли изолированное время у одного из концов группы или между двумя равными временами. Еще для каждой из этих трех комбинаций имеются многочисленные подразновидности, которыми вполне можно было бы пользоваться на практике. Чи­ татель может самостоятельно и без особого труда най­ ти эти подразновидности» [85, л. 48 об.; 86, стр. 156].

Указанные два ритма, у которых равны два време­ ни, можно записать так:

ААВ, если В > А ,

ВАА, если В<СА,

а каждая из этих форм дает три комбинации

ААВ ВАА

АВА и АВА

ВАА ААВ.

Это не что иное, как подсчет числа перестановок из трех элементов, из которых два элемента равны между собой.

Аль-Фараби, подчеркивая универсальность своего метода для указанных типов задач теории музыки, пи­ шет: «Тот, кто пожелал бы определить все эти ритмы, легко мог бы это сделать, используя для этого метод, который служил нам для приведенных здесь определе­ ний».