книги из ГПНТБ / Кубесов, А. К. Математическое наследие аль-Фараби

110

сочинять специальную книгу по «Географии» Птоле­ мея [54, стр. 34], но осуществилось ли это намере­ ние — нам не известно. Однако сам этот факт дает ос­ нование полагать, что аль-Фараби был крупным спе­ циалистом в области математической географии.

Комментарии аль-Фараби к «Алмагесту» составле­ ны на основе сокращения и переработки текста Птоле­ мея, в них авторский текст не выделен из слов тол­ кователя и содержание сочинения вольно и порой чре­ звычайно сжато излагается комментатором. Поэтому свои комментарии аль-Фараби называет иногда «Со­ кращенным Алмагестом» (Мухтасар ал-меджисти), свои добавления и примечания он особо оговаривает.

В предисловии «Комментариев к „Алмагесту” » о своих планах и намерениях по обработке «Алмагеста» он пишет: «Уже нам пора разъяснить содержание со­ чинения «Алмагест» великого Птолемея, написанного по астрономии. При этом мы будем строго следовать его словам и приведем что-нибудь из методов наших современников, отличающихся чем-либо от его мето­ дов, только в очень редких и незначительных случаях. Наше дальнейшее исследование будет приведено в «Книге приложений». Мы старались, чтобы содержание этого сочинения было по возможности понятным. С этой целью мы пропустили в предложениях расчеты и объяснили эти предложения путем [общего] доказа­ тельства. Кто желает проверить это, может вычислить, но советуем не слишком углубляться в исследование истории наблюдений, а ограничиться указанием того, что было между одним и другим наблюдениями.

Что касается таблиц, то кто хочет поместить их в нашей книге, пусть так и сделает; а если хочет сокра­ тить, то можно и так поступить. А мы со своей сторо­ ны рекомендуем, что не стоит особенно много повто­ ряться, чтобы не получилось слишком много таблиц. Потому что имеется [много] общего между светилами как в математическом, так и в астрономическом отно­ шениях и поэтому следует повторять вещи по мере их различия» [54, стр. 1].

Из этого вытекает, что «Комментарии к „Алмаге­ сту” » написаны аль-Фараби прежде всего как учебно­ педагогическое сочинение, построенное на основе,

Ill

принципиально отличающейся от установки Птолемея в составлении «Алмагеста».

Птолемей в своем «Алмагесте» в каждом случае стремится дать численные характеристики исследуе­ мых астрономических явлений на основе применения теоретических математических методов к числовым данным, полученным эмпирически, т. е. путем наблю­ дений. Птолемей начинает с определенной геометриче­ ской предпосылки, из которой затем выводит арифме­ тические следствия. Тем самым он делает принципи­ альный шаг вперед по пути теоретизации (геометриза­ ции) по сравнению со своими восточными предшест­ венниками и современниками, применявшими в астро­ номии исключительно арифметические методы без ка­ ких-либо геометрических моделей.

Аль-Фараби в этом направлении ушел еще дальше, исключительно оперируя только геометрическими мо­ делями и предпосылками в исследовании астрономиче­ ских соотношений. У него числовые данные либо совсем отсутствуют, либо встречаются как редкий рудимент, пережиток метода изложения «Алмагеста». Его интере­ сует в основном известна или не известна искомая ве­ личина; при этом аль-Фараби доводит до ранга терми­ нов слова «известная» (ма’лум) и «неизвестная» (маджхул), у него метод изложения алгебраический, что до­ стигается с помощью широкого введения тригономе­ трических функций (линий) и расширения понятия числа до положительного действительного числа. АльФараби при этом явно вводит термины «число отноше­ ния» (’адад ал-нисба) и «число линии АВ» (’адад хат АВ) [54, стр. 17 и 97], которые явились важным шагом в предыстории формирования теории действительных чисел; об учении аль-Фараби о тригонометрических линиях мы говорили выше, а о его попытках расшире­ ния понятия числа в связи с определением предмета ал­ гебры подробно остановимся в следующей главе.

Благодаря этому теоретико-методическому приему не только значительно сокращается объем комменти­ руемого сочинения, но, что особенно важно, сам пре­ подносимый, излагаемый материал становится намно­ го понятнее и доступнее для читателей.

112

Следуя своему принципу изложения, аль-Фараби в комментариях объясняет по Птолемею принципы со­ ставления многочисленных астрономических таблиц, встречающихся в «Алмагесте», но самих таблиц не приводит. Хотя аль-Фараби в своих комментариях не ■задается целью сделать какие-либо существенные от­ клонения от содержания «Алмагеста» Птолемея, тем не менее здесь мы встречаем ряд новых добавлений и примечаний астрономического и математического ха­ рактера, отражающих результаты своих исследований, а также достижений арабских предшественников и сов­ ременников — например, ученых Академии аль-Маму- на. Чтобы более или менее ясно представить структуру и особенности изложения комментариев, необходимо вкратце остановиться на содержании этого сочинения аль-Фараби.

Первая книга «Комментариев к „Алмагесту” » [54, стр. 1— 17] посвящена изложению содержания первой книги «Алмагеста» Птолемея. Она начинается с по­ дробного изложения общих положений Птолемея, пред­ посланных указанному сочинению, а именно: положе­ ния о том, что небо имеет сферическую форму и сфери­ ческое движение; что Земля имеет вид сферы и что она расположена в центре всего неба; что величина Земли по сравнению с небом неощутимо мала; что Земля не имеет никакого движения; что в небе существуют два различных вида первых движений.

Относительно положения Птолемея о том, что Зем­ ля не совершает никакого поступательного движения, аль-Фараби замечает, что он в своей «Физике» дал дру­ гое доказательство невозможности движения Земли [54, стр. 5]. После этого аль-Фараби подробно излагает спо­ соб определения хорд в круге. При этом, следуя своему принципу, в отличие от Птолемея, он не приводит чис­ ловых данных и числовых вычислений и таблиц хорд Птолемея, однако объясняет способ построения этих таблиц. Далее аль-Фараби, следуя Птолемею, останав­ ливается на измерении дуги, заключенной между тро­ пиками с помощью особого инструмента, аналогичного астролябии (армиллярная сфера). Затем аль-Фараби, как и Птолемей, дает сведения из сферической тригоно­ метрии. При этом он замечает, что это является про­

114

Мамуновской обсерватории) об изменении долготы апо­ гея Солнца: «По утверждению Гиппарха, апогей Солн­ ца неподвижный и постоянный. Что касается современ­ ников, то они, когда наблюдали при Мамуне, нашли, что он смещен относительно неподвижных звезд от того места, на которое указал Гиппарх. То же самое обна­ ружено и при нашем наблюдении, произведенном после сочинения нами этой книги» [54, стр. 46—47].

Последнее свидетельство аль-Фараби показывает, что он был не только крупным теоретиком астрономии, но и превосходным практиком-наблюдателем.

После изложения принципа составления таблиц не­ равенства Солнца на отдельных участках эклиптики аль-Фараби комментирует рассуждения Птолемея об эпохе среднего движения Солнца, о неравенстве суток.

В комментариях к четвертой книге «Алмагеста» [54, стр. 53—72] аль-Фараби излагает содержание глав о том, на каких наблюдениях следует строить теорию движения Луны, о периодах лунных движений, о ча­ стных значениях средних движений Луны. Затем, сле­ дуя за Птолемеем, он доказывает, что при простой ги­ потезе о движении Луны — будет ли она гипотезой эксцентрика или эпицикла — видимые явления бу­ дут одинаковыми. Перед определением первого и про­ стого лунного неравенства аль-Фараби вносит важное дополнение к Птолемею. Он указывает на третье нера­ венство Луны, которое возникает за счет движения Луны не по эклиптике, а по собственной орбите. АльФараби правильно полагает, что Птолемей не учиты­ вал его из-за малой широты Луны.

После этого аль-Фараби, следуя Птолемею, подроб­ но объясняет способ определения первого и простого лунного неравенства и вкратце излагает содержание глав, посвященных исправлению движений Луны по долготе и аномалии и об их эпохе, исправлению движе­ ний Луны по широте и об их эпохе; затем останавли­ вается на том, что разница в принятой Гиппархом и другими исследователями величине лунного неравенст­ ва получается не от различия сделанных предположе­ ний, а вследствие вычисления.

Комментарии к пятой книге [54, стр. 72—97] аль-Фараби, как и Птолемей, начинает с описания

115

устройства армиллярной сферы (астролябии), затем из­ лагает гипотезу для объяснения двойного неравенства Луны. После этого он переходит к определению величи­ ны неравенства Луны, зависящего от положения отно­ сительно Солнца, и величины отношения для эксцентритета лунного круга. Аль-Фараби более подробно ком­ ментировал главы, посвященные наклонности эпици­ кла Луны. Затем он объясняет принцип составления таблиц для полных неравенств Луны, а самих таблиц по своей установке не приводит; .после этого объясняет способ вычисления движения Луны в целом.

После доказательства положения Птолемея о том, что эксцентрический круг не производит никакой за­ метной разницы в сизигиях, аль-Фараби объясняет па­ раллаксы Луны и переходит к определению расстояний Луны и величин видимых диаметров Солнца, Луны и земной тени в сизигиях. При определении расстояния Солнца он доказывает предпосылку о том, что длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее ос­ нований, которой нет у «Алмагеста», но на эту теорему Птолемей ссылается, считая ее известной; в «Началах» Евклида это предложение отсутствует.

После объяснения содержания главы о частных зна­ чениях параллаксов Солнца и Луны аль-Фараби оста­ навливается на составлении таблиц параллаксов и оп­ ределении величины параллактического смещения Лу­ ны для любого ее положения. Здесь он делает Птолемею существенное дополнение методического характера [54,

стр. 91—93].

В комментариях к шестой книге [54, стр. 97—116] аль-Фараби сначала останавливается на описании таб­ лиц средних сизигий и определении периодических и истинных сизигий, после чего излагает содержание глав, посвященных затмениям Солнца и Луны, проме­ жуткам между ними, а также составлению таблиц зат­ мений. Он дает разъяснения методам вычисления лун­ ных и солнечных затмений. В последнем случае вно­ сит добавление к Птолемею, рассматривая случай, когда Луна расположена на небесном экваторе [54,

стр. 113].

В комментариях к седьмой книге «Алмагеста» [54, стр. 116— 118] аль-Фараби в очень сжатой форме из­

115

лагает сведения Птолемея о том, что неподвижные звезды всегда сохраняют одно и то же положение по отношению друг к другу, о движении сферы неподвиж­ ных звезд и его направлении, а также о способе состав­ ления каталога неподвижных звезд.

В комментариях к восьмой книге [54, стр. 118— 122] аль-Фараби весьма кратко объясняет главы «Алмагеста» Птолемея о положении Млечного пути, об осо­ бых положениях неподвижных звезд, об одновремен­ ных восходах, прохождениях через меридианы и захо­ дах неподвижных звезд, о гелиактических восходах и заходах неподвижных звезд.

В девятой книге своих комментариев [54„ стр. 122— 152] аль-Фараби в отличие от Птолемея, рассмотревше­ го в отдельности теорию движения каждой из пяти планет — Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера и Са­ турна, излагает их аналогичные свойства по возможно­ сти параллельно (суммарно). Таким образом, в этой книге помещено содержание девятой, десятой и один­ надцатой книг «Алмагеста» Птолемея.

Аль-Фараби сначала излагает последовательность расположения сфер Солнца, Луны и пяти планет, пе­ риодическое возвращение этих планет. Затем он оста­ навливается на основных положениях относительно гипотез о пяти планетах и на характере различия этих гипотез. После этого приводит способы определения апогеев Меркурия, Венеры и их перемещения. Здесь же изложены способы определения величин отношения эксцентритетов и эпициклов Меркурия и Венеры, а затем разъясняются рассуждения Птолемея о том, что планета Меркурий в течение одного оборота дважды становится в ближайшем к Земле положении. Здесь же излагаются методы исправлений периодических дви­ жений Меркурия и Венеры.

Далее аль-Фараби переходит к рассмотрению тео­ рии движений остальных трех планет на основе эксцен­ трической гипотезы. Он дает метод определения трех верхних планет — Марса, Юпитера и Сатурна, а также находит величины их эпициклов, после чего переходит к изложению способа исправлений периодических дви­ жений указанных планет.

117

Затем останавливается на том, каким образом по периодическим движениям определяются геометриче­ ски истинные положения планет, а также на принци­ пах составления таблиц их аномалий. Книга заканчи­ вается кратким изложением способа вычисления дол­ готы пяти планет.

В комментариях к двенадцатой книге «Алмагеста» [54, стр. 152— 166] аль-Фараби, следуя за Птолемеем, сначала рассматривает предварительные положения, касающиеся прямых и попятных движений каждой из пяти планет — Сатурна, Юпитера, Марса, Венеры и Меркурия. Далее останавливается на построении таб­ лиц стояний планет и приводит метод определения наи­ больших отклонений Венеры и Меркурия от Солнца.

потезы относительно движения пяти планет по широ­ те; о характере изменений и величине инклинаций и обликваций для каждой планеты; о составлении таб­ лицы для отдельных движений по широте пяти планет; о гелиактических восходах и заходах пяти планет; о том, что особенности восходов Венеры и Меркурия со­ гласуются с принятыми гипотезами; метод определе­ ния расстояний планет от Солнца.

Комментарии аль-Фараби к «Алмагесту» сыграли важную роль в освоении восточными учеными наследия Птолемея. Свидетельством этого является тот факт, что в астрономический раздел своей энциклопедии «Книга исцеления» Ибн-Сина целиком включил эти коммента­ рии аль-Фараби.

Нами исследован еще один трактат аль-Фараби, по­ священный обработке «Алмагеста», который называет­ ся «Книга приложений к „Алмагесту” ». Здесь еще бо­ лее математизировано содержание «Алмагеста», все за­ дачи решаются с помощью чисто геометро-алгебраиче­ ских средств, почти без привлечения числовых данных и арифметических вычислений. Как указано во введе­ нии к комментариям к «Алмагесту» самим автором, этот труд основан на его собственных исследованиях.

«Книга приложений» содержит более 59 глав, каж­ дая из которых, как правило, состоит только из одного

118

конкретного вопроса, посвященного решению той или иной задачи математики, математической астрономии и географии. Каждая глава оформлена в виде геометрических предложений в манере «Начал» Ев­ клида.

В рукописи этого весьма важного для истории фи­ зико-математических наук сочинения встречаются зна­ чительные пропуски и трудночитаемые места. Судя по ссылкам аль-Фараби, сделанным им в ходе изложения, среди отсутствующих предложений оказались весьма важные сведения по тригонометрии и математической астрономии. Отсутствуют целиком 22— 26 главы, со­ держащие частные случаи «предложения, освобож­ дающего от секущих», под которым в середине века по­ нимали сферическую теорему синусов, а иногда и сфе­ рическую теорему тангенсов. Полностью пропущены 41—47 главы, где, по-видимому, также имелись реше­ ния весьма важных задач сферической астрономии, требующих значительных математических познаний. Рукопись обрывается на 59 главе, что затрудняет окон­ чательно установить число глав и тем самым опреде­ лить полное содержание этого трактата.

Однако изученные нами главы «Книги приложений» дополняют облик аль-Фараби как выдающегося мате­ матика и крупного теоретика математического естество­ знания своего времени.

В сохранившихся главах «Книги приложений» кро­ ме чисто тригонометрических вопросов (первые 14 глав) рассматривается ряд основных вопросов матема­ тической астрономии и математической географии, та­ кие, как определение уравнения Солнца; первого и вто­ рого уравнения Луны; изменения видимого радиуса эпицикла Луны и планет; определение пропорциональ­ ных минут для таблиц движения небесных светил; пер­ вого уравнения Меркурия; первых уравнений других планет; широты Луны; первого склонения; прямого восхождения; второго склонения; небесного склонения светил; широты местности; расстояния (азимута) вос­ тока ; высоты светил по данному азимуту и азимута по высоте; уравнения дня; восхождения в данной местно­ сти; предела высоты Солнца и других светил; полови­ ны дуги дня для Солнца; затмений Луны и Солнца,

119

времени затмения; параллакса Луны; расстояния Лу­ ны от Земли и др.

Аль-Фараби в этом труде свои тригонометрические достижения применяет для решения конкретных задач астрономии в основном через решения различных плоских и сферических прямоугольных треугольников.

§2. Применение аль-Фараби тригонометрии

вописании движения небесных светил

Одной из центральных задач математической астро­ номии является геометрическое описание движения не­ бесных тел. Аль-Фараби в своих астрономических ис­ следованиях исходит из кинематических моделей дви­ жения светил, приведенных в «Алмагесте», по которым Птолемей вычислял таблицы, характеризующие эти движения. Усовершенствуя математический аппарат Птолемея на основе расширения понятия числа и вве­ денных им тригонометрических линий (функций) в круге, аль-Фараби еще более алгебраизировал методы Птолемея. По существу, он решает ряд простейших ал­ гебраических и тригонометрических уравнений, полу­ ченных на основе геометрических и тригонометриче­ ских отношений между линиями и углами в круге, при этом фактически оперирует различными сложными функциями сферической астрономии, которые выража­ ются в виде комбинаций основных тригонометрических функций. Приводим примеры.

В пятнадцатой главе «Книги приложения» аль-Фа­ раби излагает математический метод описания нерав­ номерного движения Солнца по эклиптике. Он по это­ му поводу пишет: «Пусть АВС — круг эксцентра с цен­