книги из ГПНТБ / Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах

При перемене числа оборотов и неизменном положении дрос­ селя может меняться левая часть этого неравенства, а в правой части будет принимать другие значения только величина к (так как полагаем F <С 1 и рк « ро), Но, как известно, величина на­ пора пропорциональна л2, а расхода — пропорциональна л, т. е.

„2

Далее

F2(Qk2) — <P(Qk2)-

30

Определяя значение расхода, соответствующее равновесному режиму, получаем

о

Выясним теперь,, как будет изменяться величина k. 1 Пусть ре = aQ l , тогда

k = _d£§_ _ 2aQK. dQK

Если п = п\, то

Qk— Qki» k — — 2aQKi .

При п = П.2

Qk2 = Qki — ;

следовательно,

k = k2 = 2aQKl^ - , «I

t . e. с возрастанием n возрастает и k.

Это обстоятельство, как легко видеть, имеет место в общем

случае характеристики дросселя, если только производная dpe dQк

возрастает с увеличением QK (поскольку увеличение числа обо­ ротов влечет за собой возрастание расхода QK).

Итак, если рабочая точка лежит на восходящем участке ха­ рактеристики, то с повышением числа оборотов и при неизмен­ ном положении дросселя левая часть неравенства (1.27) моно­ тонно возрастает, а правая, вследствие увеличения в знаменате-

31

Для определения равновесного режима приравниваем значе­ ния ркI и pel и получаем

!^ ( 0 к ) = ^ ф ( < ? к ) 101 *01

32

или

^ ( Q k) = < P ( Q k)-

Отсюда следует, что значение Q* , соответствующее равно­

весному режиму, не меняется при изменении Го. Далее имеем

d-Рб _ T0d<?(QK)

dQK T0idQK

Наконец, так как скорость звука c — YkgRT, то

Подставляя измененные значения в условие, определяющее границу устойчивости, находим

Отсюда следует, что при изменении Г0 граничное значение тангенса угла наклона касательной к характеристике вентиля­ тора не меняется. Однако при понижении температуры крутизна характеристики вентилятора, как показано на рис. 1.1, б, растет, так как

dFH _ dF T0

dQK dQK T01

Учитывая, что величина Q* при этом сохраняется неизмен­

ной, заключаем, что при понижении температуры и при неизмен­ ном положении дросселя устойчивость системы теряется и в ней должен возникнуть помпаж. Поэтому для сохранения устойчиво­ сти при понижении температуры объемный расход за компрес­ сором, соответствующий границе области устойчивости, должен увеличиваться, а область устойчивости, отнесенная к неприведенным значениям объемного расхода, будет уменьшаться.

Влияние изменения давления наружного воздуха. Пусть дав­ ление наружного воздуха изменилось от р0 до poi. Тогда при не­ изменном положении дросселя будем иметь

давлении ро определяется выражением

т) = ф(0*к).

Так как уравнения одинаковы, то и корни их должны быть одинаковы. Поэтому Q^i — Qk •

Следовательно, объемный расход при перемене давления на

наклон характеристики вентилятора убывает, как показано вы­ ше, по такому же закону:

Следовательно, значение неприведенного объемного расхода, соответствующее границе устойчивости, не меняется, и область устойчивости сохраняется неизменной.

34

Разумеется, если перейти к приведенным расходам, то гра­ ница устойчивости будет сдвигаться влево, т. е. область устой­ чивости будет возрастать. Отсюда следует, что с подъемом на высоту область устойчивости, отнесенная к параметрам на выхо­ де, будет меняться только при изменении температуры.

Полученные выше выводы о влиянии изменения числа оборо­ тов вентилятора, температуры и давления наружного воздуха на величину области устойчивого режима вентилятора подтверж­ даются всеми экспериментальными данными, ранее не имевши­ ми теоретического обоснования.

После публикации наших исследований появились статьи, в которых утверждалось, что диапазон устойчивой работы не за­ висит от атмосферных условий. В работе [22], например, говорит­ ся: «В ряде работ, посвященных анализу устойчивости компрес­ сорных систем, материал излагается таким образом, что соз­ дается ложное представление, что диапазон устойчивой работы компрессора должен зависеть от параметров воздуха перед входом в систему, например от температуры Тн.

Вместе с тем, из соображений размерности ясно, что при представлении характеристик компрессора в параметрах подо­ бия n * = n * ( q ) или я* = л * (р ,п р и в ) точка на характеристике, соответствующая режиму самовозбуждения, не должна зависеть от величин давления, температуры, плотности газа в системе».

Рассмотрим идею приводимого доказательства и установим, в чем заключается допущенная там ошибка.

Автор развивает приближенный энергетический метод иссле­ дования, основывающийся на предположении, что среднее за период колебаний изменение потока механической энергии в. компрессоре должно быть равно изменению потока механичес­ кой энергии на дросселе. Он пишет: «Рассмотрим теперь работу системы при различных значениях рн и Тн, однако при физиче­ ских оборотах ротора компрессора, устанавливаемых в каждом

■Мпр.др = ф ( л др)>

где Л4пр.др — величина расхода через дроссель, приведенная по

параметрам окружающего систему воздуха, а ядр — Р д р

Рн

В результате исследования автор получает для границы ди­ намической устойчивости выражение

L

Ф'Спр ’

где F' — крутизна характеристики компрессора; L — акустическая масса;

Ф' — крутизна характеристики дросселя; Сп'р — приведенная акустическая гибкость.

Это условие совпадает с ранее найденным нами, но записано в приведенных параметрах подобия.

Далее автор говорит: «Итак, граница устойчивости может

ф Сар

вне зависимости от параметров газа в окружающей среде». Теперь ясно, что ошибка автора заключается в требовании

постоянства приведенных параметров, в том числе параметра

^пр— ^физ УЪ- Но при изменении Тн и постоянном Пф„3 ме­

няется Лдр, а это, как мы видели, приводит к изменению границы области устойчивости.

Пусть температура Тн стала иной, тогда иной будет ппр. Мы видели, что с уменьшением числа оборотов область устойчивости возрастает и наоборот —- с увеличением параметра пф„3 — умень­ шается. Если Тн уменьшается, то для сохранения ппр = const должно уменьшаться Лфиз. Итак, для того чтобы при уменьше­ нии температуры граница устойчивости сохранялась, нужно уменьшать физическое число оборотов. Значит, если не умень­ шать Лфиз, то устойчивость потеряется. Следовательно, уменьше­ ние Та ведет к снижению устойчивости, поскольку для сохране­ ния рабочей точки на границе устойчивости пришлось уменьшать число оборотов, что привело к повышению устойчивости, ском­ пенсировавшему ее снижение, вызванное понижением Тн- Анало­ гичным образом можно показать, что увеличение Тн ведет к увеличению области устойчивости.

Далее в работе [22] рассматривается граница статической устойчивости, определяющаяся соотношением F' = Ф', и делает­ ся вывод о независимости ее от рн, Тн, рн- Этот вывод является справедливым и легко вытекает из проведенного выше анализа.

1.5.ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ В ОБЛАСТИ САМОВОЗБУЖДЕНИЯ

ИСТАТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ («В МАЛОМ»)

Рассмотрим поведение колебательной системы и характер самовозбуждения в ней при изменении ее параметров. Для этого

построим плоскость параметров k и dp линеаризованной сиdQ*K

36

стемы, получаемой из уравнения (1.15), если положить dF dQ

dF

dQ*

. Характеристическое уравнение такой линеаризованной

системы, описывающей поведение колебательной системы «в ма­ лом», будет иметь вид

Здесь мы обозначили

\ dQK JQK-QK

Корни характеристического уравнения (1.35) будут

Условие существования комплексных корней имеет вид

Последнее неравенство можно записать в виде

ось F'\ другой асимптотой для первой кривой является прямая

а для второй — прямая

областях невозможно самовозбуждение. Области распростране­ ния фокусов и узлов, расположенные выше гиперболы 5, будут соответствовать самовозбуждению помпажных колебаний.

Область статической устойчивости соответствует положитель­ ному свободному члену характеристического уравнения, т. е. оп­ ределяется условием (1.17) A > F'. Граница области статичес­ кой устойчивости определяется условием F' — А, представляю­ щим собой уравнение прямой 6. Эта прямая касается гиперболы

(1.39) в точке, где ___

Над прямой 6 расположена область распространения седел. Она соответствует статически неустойчивым точкам пересечения Л и С характеристики вентилятора и сети (см. рис. 0.4).

Таким образом, рис. 1.2 дает полную картину поведения сис­ темы «в малом» в зависимости от изменения параметров F' и А.

38

1.6.АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

АМПЛИТУДЫ И ПЕРИОДА ПОМПАЖНЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ

Произведем в уравнении (1.16) замену независимой перемен­ ной.

Пусть

I

Мы получили уравнение вида Ван дер Поля.

Для его исследования применим разработанный нами при­ ближенный метод [21], позволяющий найти ряд величин при лю­ бом значении нелинейности (см. приложение III).

Прецизируем вид функции F. Предположим, что она аппрок­ симируется кубической параболой

F(Q* + Q) = F(Q*) + b Q - c Q \

тогда

+= b -3cQ2.

dQ

Следовательно, уравнение примет вид

« " - / ^ [ ( 6- ^ ) - 3cQ2] Q' + Q - 0' <‘ -46)

Из изложенного в приложении III метода следует, что вели­ чина периода колебания уравнения

приближенно может быть представлена выражением

где а — амплитуда автоколебаний расхода Q.

39