книги из ГПНТБ / Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах

Учитывая, что k\ < 0, можно условие (3.32) записать в виде

Условие статической устойчивости примет вид

Здесь ki < 0, a F[ может принимать и отрицательные и по­

ложительные значения.

Рассмотрим вначале случай F' < 0; тогда неравенство (3.34) запишется в виде

^ -” / 1■ + 1 > 0 или |F[ |< |kx|.

—I«i I

Если же F > 0, то

~I + 1 > 0 или - ^ - Н > 0 .

-|*.1 |*.1

Последнее неравенство выполняется всегда.

Следовательно, условие статической устойчивости полностью эквивалентно таковому для случая дросселя в нагнетательном трубопроводе.

Рассмотрим более подробно условия динамической устойчи­ вости (3.32).

Найдем

Рассмотрим случай адиабатического процесса в системе.

100

Для сравнения областей устойчивости при обоих вариантах установки дросселя одновременно будем учитывать условия ус­ тойчивости, когда дроссель установлен на выходе,

F'< А .

АСа

и когда он установлен на входе,

Abi .

л Ч AiCai

здесь

La = Po [ А + А М ; Са = ^ ^ ~ .

L s, S2 J р«С*

При адиабатическом процессе связь между параметрами да­ ется выражениями

Определим теперь величины к\ и к. Для случая малых я при­ ближенно имеем:

при дросселе на выходе

Рб Ро ~ ®дрРоСо»

при дросселе на входе

Ро— P i= s wp,Qi.

где 5др— эквивалентная площадь проходного сечения дросселя;

Qi — Qo — Q-

Следовательно,

* = - ^ г = 2s*PPoQ; dQ

Q,

dQ

101

1*1 = ^ .

Подставляя в выражение (3.33) значения отдельных членов, получаем:

для случая дросселя на выходе

тогда A' = AN.

Если дробь N в правой части больше единицы, то система с дросселем на входе будет устойчивее системы с дросселем на выходе; если N < 1, то менее устойчивой. Легко видеть, что всег­ да можно указать такие значения /. и 12, при которых система с дросселем на входе будет устойчивее, чем с дросселем на вы­ ходе. В частности, всегда можно указать такое, достаточно боль­ шое 12/1и чтобы обеспечить (при данном я) большую устойчи­ вость системы с дросселем на входе. С другой стороны, при достаточно малом l2/h система с дросселем на входе будет ме­ нее устойчивой, чем система с дросселем на выходе.

Если задано N > 1 при данном я = я., то, увеличивая я, мож­ но сделать N < 1, т. е. с увеличением степени сжатия при дан­

102

ных геометрических размерах системы, систему, более устойчи­ вую при дросселе на входе, чем на выходе, можно сделать менее устойчивой.

3.8. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ ПРИ РАЗМЕЩЕНИИ ВОЗДУШНОГО ОБЪЕМА НЕ В КОНЦАХ ТРУБОПРОВОДА

Рассмотрим случай, когда емкость объемом V расположена в середине нагнетательного трубопровода.

Обозначим через ро, Р" , Рк >Рв и Р д — абсолютные давле­ ния на входе в трубопровод, перед и за компрессором, в емкости и перед дросселем. Длины и сечения участков трубопроводов — соответственно 1и /2, /з, Sj, s2, s3. Объемные расходы через на­ гнетатель и выходной дроссель — QK и Qa. ' Эти расходы, отне­ сенные к давлению ро, будем обозначать через Qо и Qaо- Тогда уравнения для каждого из участков воздушного тракта будут:

^alQo=-Po— Рй

Pk= PM Q0);

Рб ~ Р к L a2Q.K, С аРб = Qk Qx>

^а<2д = Рб— Рд, Рд— РО = ф(Одо)-

Если учесть уравнения неразрывности

PoQo= PkQk'i PoQAo= PkQa>

то, имея в виду, что

получаем систему трех нелинейных дифференциальных уравне­ ний 1-го порядка:

Пусть Q о , о *0, р *— значения, соответствующие стационар­ ному режиму и определяемые из условий

F{Q0) — рб = 0; Q0— (2ДО= 0; рб— ф1(РдО) = 0-

103

Положим,

Qo = Qo+x', Рб — рб + у, Qao — Qflo + z.

Тогда получаем, в линейном приближении, систему трех уравнений 1 -го порядка:

Lax = F’x — y,

Cty = x — z\

La%z = у — kz,

dQ*о

Характеристическое уравнение этой системы будет

LaLa3Cav3 + Ca(Lak— La3F')v2 + {La + La3— CaF'k)v + (k— F') = 0.

Условия устойчивости Гурвица для данной системы будут иметь вид

Система будет устойчивой, если выполняются одновременно все эти неравенства. Она отличается от рассмотренных ранее наличием трубопровода между емкостью и выходным дросселем. Нетрудно видеть, что добавление этого трубопровода уменьшает устойчивость при больших La3 и увеличивает ее при малых La3.

3.9. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ В СИСТЕМАХ ПРИ НАЛИЧИИ ГИСТЕРЕЗИСНЫХ И РАЗРЫВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК КОМПРЕССОРА

Опыт показывает, что в высоконапорных компрессорах ха­ рактеристики часто бывают разрывными и неоднозначными на некоторых участках. На рис. 3.6 приведен пример такой характеристики, представленной уча­ стками FB и СЕ. Здесь в полосе,

104

давление описывается участком ED характеристики. Если теперь начать уменьшать расход от значений, больших Q" , то давление

будет меняться по закону, определяемому ветвью CD вплоть до достижения расхода Q ^ . Затем происходит переброс давления

в точку F, и в дальнейшем оно изменяется по кривой FA.

Таким образом, при очень медленном колебательном измене­ нии расхода, охватывающем интервал Q ' — Q " , точка, харак­

теризующая состояние системы, будет описывать петлю гистере­ зиса FBEC.

Если характеристика сети имеет две точки пересечения с ха­ рактеристикой компрессора (на рис. 3.6 точки Ау и Л2), то обе эти точки могут соответствовать устойчивым состояниям равно­ весия. При этом будет поддерживаться тот расход, который оп­ ределяется предысторией явления. Если непосредственно предшествовавшими точками пересечения были точки, принадле­ жащие участку ED, то будет поддерживаться расход, соответст­ вующий точке А2; если же предшествовавшие точки пересечения лежали на участке AF, то будет поддерживаться расход, соот­ ветствующий точке А у. Для того чтобы с ветви CD перейти на ветвь АВ, необходимо обязательно предварительно уменьшить расход до величины, меньшей Q ^. А чтобы перейти на ветвь CD

с ветви АВ, необходимо предварительно увеличить расход до значения, превышающего Qк •

Наличие подобного типа характеристик можно объяснить существенными перестройками структуры потока при прохожде­ нии точки В, если режим соответствовал точкам участка АВ, и при прохождении точки С, если режим соответствовал точкам участка CD.

В работе [1], например, появление многозначных характерис­ тик компрессора, когда одному значению объемного расхода соответствует несколько значений давления за компрессором, объясняется следующим образом: предполагается, что происхо­ дит перестройка потока, вызванная тем, что ударные волны вбли­ зи передних кромок лопаток либо уменьшаются, либо сохраня­ ются неизменными, позволяя относительному потоку воздуха течь с меньшими или большими потерями.

Не будем останавливаться на, по нашему мнению, ошибочном предположении, что сам помпаж вызывается ударной волной. Перейдем к вопросу об исследовании движений в подобных сис­ темах.

Очевидно, что использование обычной фазовой плоскости в этом случае невозможно, так как в пределах вертикальной поло­ сы, ограниченной абсциссами QK' и Q" , нарушается свойство

однозначности.

Такие системы относятся к введенному нами [19] классу дина­ мических систем, движения в которых могут быть описаны под­ становками дифференциальных уравнений. Они были названы

105

нами многократными динамическими системами. Этот класс сис­ тем очень распространен. К нему относятся все типы часов и спусковых регуляторов, типы систем автоматического регулиро­ вания, в которых имеются элементы с гистерезисными свойства­ ми, а также другие системы, описываемые дифференциальными уравнениями с неоднозначными правыми частями.

Рассмотрим общий случай. Пусть дано уравнение

в котором f(x, х) = fi = (х, х) в области Gt(x, х), (i = 1, 2, ..., т),

причем ни одна из областей G,- не заполняет всей плоскости х, х и каждая из них перекрывается не менее, чем одной из осталь­ ных областей.

Уравнение (3.35) можно записать в виде совокупности урав­ нений

Пусть функции fi в областях G,- непрерывны и удовлетворяют

условиям Липшица по х и х. Будем считать, что по меньшей ме­ ре для одной из функций fi вид ее или область определения от­ личны от таковых для других функций fi.

Рассмотрим теперь динамическую систему, движения в кото­ рой поочередно описываются уравнениями (3.36). Пусть в на­ чальный момент движение описывается t-м уравнением, причем

для подобласти Q,- начальных значений Хоь Х о через некоторый

промежуток времени, зависящий от х0,-, х0,-, точка (х, х) выходит из области G, (через участок границы этой области, являющийся дугой без контакта семейства траекторий t-го уравнения), и пусть дальнейшее движение требует для своего описания k-ro урав­

нения. Далее, для области Q„ начальных значений хок, х01( через

некоторый-промежуток времени, зависящий от хок, хок движение начинает описываться р-м из уравнений (3.36), затем ^-м и т. д.

Характер движений в данной динамической системе опреде­ ляется, с одной стороны, видом и областями существования функций fi, а с другой — порядком замены уравнений совокуп­ ности (3.36). Не рассматривая общего случая, ограничимся предположением, что замена дифференциальных уравнений ди­ намической системы при всех начальных значениях циклическая

нозначное соответствие между точками фазового пространства

106

и состояниями системы, легко построить следующим образом. Отобразим каждое из уравнений (3.36) на свой кусок фазовой плоскости, скрепим получившиеся т кусков фазовых плоскостей в соответствии с подстановкой Т вдоль тех участков границ об­ ластей G, которые являются дугами без контакта для соответст­ вующих семейств траекторий и через которые изображающие точки выходят за границы областей, и доопределим систему уравнений (3.36) на линии скрепления. Такое доопределение можно сделать, условившись, например, что поведение изобра­ жающей точки на линии раз'ветвления характеризуется тем кус­ ком фазовой плоскости, на который переходит изображающая точка. Таким образом, начальные условия в многократной сис­ теме 2-го порядка должны быть заданы тремя числами: значе­

ниями в начальный момент координаты х, скорости х и номера листа многолистной фазовой поверхности.

При количественном исследовании многократных систем це­ лесообразно применять метод точечных преобразований, причем выбирать отрезки или дуги без контакта, порождающие функции соответствия, имеет смысл в связи с конкретными особенностя­ ми задачи. В некоторых случаях целесообразно ввести специаль­ ный вид функции соответствия, при котором устанавливается соответствие между границами каждого из квадрантов много­ листной поверхности. Нумеруя квадранты m-листной поверхно­ сти (от 1-го до 4т-го) по направлению часовой стрелки, будем обозначать величину полуамплитуд через а , а соответствующие значения скорости прохождения через положение равновесия через V i ( a ) (i = 1, 2, ..., 4m). Тогда процесс установления во­ круг начала координат может быть задан циклической подста­ новкой 4т функций fi:

Если задано начальное значение а\, то процесс установления можно определить из последовательности уравнений:

Уl(al)—У2(а2)> Уз{а2) —1Маз)»

•* ■у У 4т—1(^2т) “ ^4m(^2m+l)>

У\(a2m+l) = V2(a2m+2);

Уз(а2т+2) = ^(Огт+з), • • •'.

У4т—1(^4т) = ^4m(^4m+l)>

Периодические движения могут быть выделены следующим образом. Наложим на систему условие периодичности ai = а2т.н. Тогда число периодических движений будет определяться числом

107

действительных решений системы 2т уравнений с 2т неизвест­ ными Щ, (Z2 , <Х2т-

V , ( a , ) = 1^2 ( а 2) ; У з ( а 2 ) = 1 М а з ) | . .

V i m - l ( a 2 m ) = ^ 4 m ( a l ) >

причем значения корней в каждом решении определяют величину полуамплитуд соответствующего периодического движения. Очевидно, что 2т корней каждого s-ro решения au, a2s......агms

Если имеются устойчивые периодические движения, которым на многолистной поверхности соответствуют замкнутые траекто­ рии, охватывающие начало координат, и начальное значение а\ взято в области притяжения какого-нибудь из них, то ряд (3.37) будет периодически сходящимся (в смысле Кенигса) с периодом сходимости 2т.

Если в Системе имеется несколько участков с многозначными характеристиками, то количество различных уравнений, описы­ вающих систему, значительно возрастет. Для исследования та­ кой динамической системы целесообразно поступить следующим образом:

1. Разделить дифференциальное уравнение системы, имею­ щее многозначную правую часть, на ряд дифференциальных уравнений, имеющих однозначную правую часть, и определить области существования этих однозначных правых частей.

2. Установить характер взаимосвязи между этими уравнени­ ями, т. е. определить порядок перехода от одного уравнения

кдругому.

3.Отобразить каждое из уравнений на свой кусок фазовой

плоскости.

4. Скрепить получившиеся листы фазовых плоскостей между собой в соответствии с исходным дифференциальным уравнением вдоль тех участков границ отдельных листов, через которые изо­ бражающие точки выходят за границы листов.

Полученная таким образом многолистная фазовая поверх­ ность дает взаимно-однозначное соответствие между состоянием системы и положением изображающей точки на многолистной фазовой поверхности.

Рассмотрим случай, когда характеристика компрессора име­ ет участки с многозначными характеристиками.

Движения в системе, определяемые участком АВ характери­ стики компрессора, отображаются на лист I фазовой поверхности (рис. 3.7), а движения, определяемые участком CD,— на лист II.

Скрепляем оба листа фазовой поверхности вдоль тех участ­ ков границ листов, которые являются отрезками без контакта

10»

Рис. 3.7

для соответствующих семейств траекторий и через которые изо­ бражающие точки выходят за границы отдельных листов. Полу­ ченная фазовая поверхность отображает все процессы, происхо­ дящие в нашей системе, причем дает взаимно-однозначное соответствие между состоянием системы и положением изобра­ жающей точки на многолистной фазовой поверхности. Двулист­ ная фазовая поверхность показывает, что в соответствующей ей системе имеются два устойчивых положения равновесия. Однако вероятность установления режима, соответствующего большему расходу, сравнительно мала, так как даже небольшие отклоне­ ния Q0 и ре от значений, соответствующих точке Е листа I, могут вызвать сваливание режима на меньший расход, соответствую­ щий точке F листа II.

Более сложные случаи установления могут быть описаны аналогичным способом. При большем числе гистерезисных уча­ стков фазовая поверхность будет образовываться большим чис­ лом листов.

3.10. К ТЕОРИИ ПОМПАЖА В ДВУХСТУПЕНЧАТОМ КОМПРЕССОРЕ

Рассмотрим помпаж в системе, включающей двухступенчатый компрессор (рис. 3.8) при тех же исходных предположениях по идеализации системы, что и ранее [30]. Особенностью этой сис­ темы является наличие двух ступеней компрессора и участка

109