книги из ГПНТБ / Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах
.pdfПо осциллограммам рк и QK, снятым во время помпажа (для чего достаточно одного-двух колебаний), можно непосредст венно построить характеристику рк = F(QK). Величины La и Са можно найти из осциллограмм рк = pK(t), Q« = QK(t) и харак теристики сети. Однако более точно и более просто их можно определить, если снять осциллограммы не только рк и QK, но и
давления рб перед дросселем.
Имея осциллограммы рк, QK и ре, можно легко построить фазовую плоскость для исследуемого вентилятора и затем опре делить La и Са.
выводы
На основании изложенного можно сделать следующие вы воды;
1. Частота малых помпажных колебаний увеличивается при уменьшений длин всасывающего и напорного трубопроводов.
2. С увеличением числа оборотов возрастает степень сжатия, что вызывает уменьшение частоты из-за увеличения скорости звука.
3. При отсутствии ресивера область устойчивости системы с вентилятором возрастает с увеличением длины всасывающего и уменьшением длины напорного трубопровода и при снижении площади их поперечного сечения. При наличии ресивера и пре небрежении инерционностью напорного трубопровода с увеличе нием его длины устойчивость растет.
4.Характер помпажа (мягкий или жесткий) зависит от вида характеристики вентилятора и может быть установлен по спо собу, указанному в тексте.
5.Жесткий помпаж будет происходить при работе, соответ ствующей устойчивой (ниспадающей) ветви характеристики вентилятора, если спад характеристики слева от точки максиму ма будет более крутым, нежели спад справа.
6.Интенсивность помпажа возрастает при увеличении длины всасывающего и уменьшении длины напорного трубопро водов.
7.Пульсации давления более интенсивны вблизи дросселя, нежели вблизи вентилятора.
8. С ростом отношения |
увеличивается область устойчи |
в а
вости системы.
9. Теоретическое исследование показывает, что возможно подавление помпажных колебаний путем введения обратных связей, воздействующих на положение всасывающего или на гнетающего дросселя или на угол поворота направляющего ап парата.
10. Незначительное дросселирование на входе увеличивает устойчивость системы. При высокой степени сжатия и значи-
14* |
211 |
тельном дросселировании на входе область устойчивости умень
шается.
11. При не очень длинных трубопроводах результаты теоре тического исследования, полученные анализом систем с сосре доточенными параметрами, полностью подтверждаются экспе риментами. Если длина воздушного пути велика, то начинают сказываться акустические явления, вызывающие скачкообраз ное изменение частоты, давления и появление полигармонических режимов; качественные закономерности при этом для ряда параметров сохраняются, но полное изучение явления требует исследования распределенных систем.
12.При уменьшении числа оборотов устойчивость системы растет; при повышении температуры устойчивость также воз растает; изменение давления воздуха на входе не отражается на границе области устойчивости.
13.Характеристику компрессора в неустойчивой области его работы можно построить, если осциллографировать во время испытания давления рк и объемный расход QK. Из полученных характеристик можно найти параметры La и Са, определяющие поведение системы.
Эксперименты, проведенные для проверки такой методики,
подтвердили ее правильность.
I
ПРИЛОЖЕНИЕ I
МЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ С КОМПРЕССОРОМ
Для пояснения физического смысла уравнений, определяю щих помпажные колебания, может оказаться целесообразной приводимая ниже механическая аналогия.
Как известно, давлению р [дин/см2] в акустике соответствует
крутящий момент Л4[дин•см] в механической |
(вращательной) |
|||
системе. Аналогичным образом секундному расходу Q [см3/с] со |
||||
ответствует угловая |
скорость о [рад/с], |
акустической массе L& |
||
[г-см4] соответствует |
момент инерции / а [г/см2], |
акустической |
||
гибкости Са [смб/дин] — эластичность пружины |
Cr [рад/дин ■см] |
|||
(табл. П1.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а П1.1 |
|
Механическая система |
|
|
|
Величина |
Единица |
Символ |
Размерность |
|
измерения |
||||
Крутящий м о м е н т ......................... |
|
Угловая скорость............................ |
•. . |
Момент инерции............................ |
|
Эластичность пружины........................ |
|
Угловое перемещение............................ |
|
дн-см
рад/с
Г-СМ2 '
рад/дн-см
рад
|
Акустическая система |
Величина |
Единица |
измерения |
м . |
ML2T~ 2 |
V |
T- l |
и |
ML2 |
tR |
M ~ lL ~ 2T2 |
|
|
ф, j* vdt |
1 |
Символ |
Размерность |
Давление................................................... |
дн/см2 |
р |
Секундный расход ................................ |
см3/с |
Q |
Акустическая масса................................ |
г/см4 |
и |
Акустическая гибкость ........................ |
см5/дн |
Са |
Приращение объема................................ |
см3 |
X, JQdt |
|
|
и |
M L ~lT~2 L3T ~ 1 M L -*
M~ lL*T2 L3
213
Рис. ПИ
9 8 7 б 5
Механическая модель показана на рис. OI.1. Корпус гидрав лической муфты вращается от двигателя с некоторой постоянной угловой скоростью. При своем вращении он увлекает ротор 2, связанный с помощью вала 3 с массой 4. Вал 3 при помощи зуб чатых колес 7 и 8 связан с массой 9, а масса 4 с пружиной 6 — с нагрузочным тормозом 5.
Пусть момент инерции массы 4 равен /г, а массы 9—/ 1; элас тичность пружины 6 — cR\ у1 ловая скорость вала 3 — о„, а тор моза 5 — vr. Предположим также, что зависимость передаваемо го от муфты 1 на вал 3 момента Мк от числа оборотов выража ется уравнением
MK= FK(v)
а зависимость нагрузочного момента — уравнением
Мб = Ф(£>«)•
Тогда система уравнений, описывающих движение в механи ческой модели, будет иметь следующий вид:
1. Величина момента Мб, приложенного слева к пружине 6:
Мб = Мк— (J \12+ /2)НК>
где I — передаточное число от вала с массой 9 к валу 3, а член
(/it2 + / 2)ок представляет собой долю вращающего момента, идущую на разгон вращающихся масс.
2. Момент Мб, передаваемый пружине со стороны нагрузоч ного устройства 5, будет уравновешиваться с моментом силы уп ругости пружины. А он, в свою очередь, равен разности углов поворота обоих концов пружины, деленной на ее эластичность:
НО
следовательно,
Мд= -^-|(ок—vR)dt\
или
^д = Т ~ К — ^ ).
ся
3. Третье уравнение дается зависимостью
м д= фЫ .
Обозначим
J ^ + J2 = Ja.
Таким образом, движение механической системы описывает ся уравнениями
vK= - j-[F (v K) — Мб]; Мд= - Ц п к— t>*); Мд= фЫ -
J а СЯ
Если заменить Л4Д, vK, vR, / а и ся на рк, QK, Qr, La и Са, то по лучаются уравнения системы с компрессором.
Допустим теперь, что функция М = F(v) имеет вид, показан ный на рис. П1.2 , т. е. сходный, при положительных о, с характе ристикой вентилятора. Тогда динамические свойства механичес кой системы в пределах сделанных допущений будут соответст вовать свойствам системы с компрессором, и явление помпажа можно изучать на механической системе.
Зависимость MK= F(vK) у однофазного асинхронного двига теля близка по форме к соответствующей зависимости ръ = F(Q) компрессора (рис. П1.3). Поэтому для получения довольно близ кого соответствия поведения системы можно вместо гидромуфты с мотором использовать асинхронный однофазный двигатель.
Для изменения •вида характеристики F можно использовать гидромуфту, у которой исполнительный орган, определяющий ве личину передаваемого момента, связан с тахометром, измеряю щим число оборотов вала 3 (см. рис. П1.1 ).
215
ПРИЛОЖЕНИЕ II
ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Среди методов анализа нелинейных систем метод, основан ный на понятии фазового пространства, отличается своей геомет рической наглядностью и возможностью получения полного пред ставления о характере возможных движений в системе. Несмот ря на то, что область его применения ограничена системами не выше 3-го порядка, он иногда полезен и для проверки различ ных приближенных методов, применимых к системам более вы сокого порядка. Сущность давно введенного способа описания поведения динамических систем при помощи геометрических представлений заключается в следующем.
Состояние системы, имеющей п степеней свободы, т. е. опи сываемой дифференциальным уравнением (или системой диффе ренциальных уравнений) порядка 2 п, задается 2п числами. Эти 2 п чисел можно рассматривать как задание некоторой точки в 2л-мерном пространстве, причем каждой точке пространства бу дет соответствовать одно определенное состояние (определен ная фаза) системы. Поэтому такое пространство называется фа зовым пространством. Для систем, описываемых дифференциаль ным уравнением 2 -го порядка, фазовое пространство является двумерным и в частном случае превращается в фазовую плос кость [3, 19].
1. ПОНЯТИЕ О ФАЗОВОЙ п л о с к о сти
Рассмотрим сначала для пояснения идеи фазового представ ления процесса регулирования пример линейного уравнения 2 -го порядка. Это уравнение легко проинтегрировать.
Для обозрения движений, возможных в системе, будем рас сматривать переходный процесс на плоскости, в которой по оси абсцисс отложено отклонение х, а по оси ординат — скорость у =
=х. Такая плоскость называется фазовой плоскостью.
Вслучае, когда трение равно нулю, уравнение движения
X+ (HqX—0. |
(ПП.1) |
Решение этого уравнения имеет вид |
|
х = A sin(G>0< + а); |
(ПП.2) |
х = у = A<o0cos(a>0t + а). |
(ПИ.З) |
Для того чтобы получить изображение переходного процесса на плоскости х, у, необходимо исключить время из уравнений (ПП.2) и (П.П.З). Получаем
X |
I/ |
sin(©0^ + а) = — |
; cos(©o* + а) = — —. |
А |
Ло)0 |
216
Возводим в квадрат и складываем обе части последних выра жений:-
х*_ |
У 2 1 . |
(ПН.4) |
А2 |
а 2<4 |
|
На плоскости х, у уравнение (ПП.4) представляет собой се мейство подобных эллипсов с полуосями А и Лю (рис. ПП.1).
Пусть в момент t = 0 состояние системы характеризуется от клонением х и скоростью у. Эти значения однозначно определя ют на фазовой плоскости точку (х, у), которая называется изоб ражающей (или представляющей). Каждой точке (х, у) фазовой плоскости соответствует одно определенное состояние системы, характеризуемое отклонением х и скоростью у. Если с течением времени состояние системы, т. е. ее отклонение и скорость меня ются, то изображающая точка перемещается по некоторой кри вой, называемой фазовой траекторией системы. Фазовая плос кость с нанесенными на ней траекториями называется фазовой диаграммой. Для системы, имеющей уравнение движения (ПП.1), фазовыми траекториями являются эллипсы уравнения
(ПП.4).
Движение изображающей точки М с возрастанием времени будет происходить в направлении часовой стрелки. Действитель но, пока скорость положительная, т. е. изображающая точка на ходится в верхней полуплоскости, отклонение возрастает. Следо вательно, изображающая точка движется слева направо. Если у < 0, т. е. изображающая точка находится в нижней полуплос кости, то х уменьшается, т. е. точка перемещается справа налево.
Из рис. ПИ.1 легко сделать выводы о поведении системы ре гулирования, описываемой уравнением (ПИ.1). Вся фазовая плоскость заполнена вложенными одна в другую замкнутыми
кривыми — эллипсами. Каждой замкнутой кривой |
на фазовой |
плоскости соответствует некоторое периодическое |
движение в |
регулируемой системе. |
|
Действительно, пусть в некоторый момент t\ система имеет отклонение х и скорость у. С возрастанием времени изображаю щая точка будет перемещаться по фазовой траектории и через некоторый конечный промежуток времени снова придет в точку с координатами х, у. Начиная с момен
та t = t\ + т, движение точки будет в точности повторять предыдущее дви жение, через промежуток времени т с момента / = t\ + 2т движение снова будет повторяться и т. д. до бесконеч ности.
Так как фазовая плоскость уравне ния (ПП.1) заполнена бесчисленным множеством замкнутых кривых, то в
217
системе, описываемой исходным уравнением (ПП.1), возможно бесчисленное множество различных периодических движений.
Системы, в которых возможно бесчисленное множество пери одических движений, непрерывно переходящих одно в другое, называются консервативными. В таких системах характер дви жения зависит от начальных условий, и однажды начавшиеся ко лебания уже не прекращаются, хотя и не нарастают. Поэтому практически система, для которой фазовая диаграмма имеет вид, графически показанный на рис. ПП.1, является неустойчивой. Подобный характер движения получился потому, что мы поло жили трение равным нулю. Рассмотрим теперь фазовую диаг рамму динамической системы при трении, не равном нулю.
Решение уравнения
х + 2bx + coo* = О |
(ПН. 5) |
в этом случае при м\ > Ъ2 имеет вид
x = /4e_<'icos((B1/ + а), |
(ПИ. 6) |
где а»! = V^"оэ§— Ь2 ■
Дифференцируя уравнение (ПП.6), получаем
х = у = — Ab e~btcos^ J + а) —
— Ло)1 е“ ь' sin(a>^ + а). |
(ПН.7) |
Уравнения (ПП.5) — (ПП.7) представляют собой параметри ческие уравнения фазовых траекторий с параметром /. Исклю чим время из этих уравнений. Умножая уравнение (ПИ.6) на b и складывая с уравнением (ПП.7), имеем
у + Ь х = — Лю, е_Ь| sin((o^ + |
а). |
(ПН.8) |
||||
Далее, из уравнения (ПП.6) |
|
|
|
|
|
|
<йхх = Л©! e_ft'cos((o1< + |
а). |
|
(ПН. 9) |
|||
Возводя в квадрат и складывая обе части уравнений (ПП.8 ) |
||||||
и (ПП.9), получаем |
|
|2 2 |
—2Ы |
|
||
(у + Ьх)2 + оцх |
(ПИЛО) |
|||||
= A cof е |
|
|
||||
В этом уравнении необходимо выразить |
время |
через х н у . |
||||
Для этого делим уравнение (ПП.8) на (ПП.9): |
|
|||||
у + Ьх |
t g ^ f - fa ), |
|
|
|||
|
|
|
||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
t = — ( а + arctg у+ Ьх \ |
со, |
. |
(ПН. 11) |
|||
V |
|
сй|Дс ) |
|
|
||
218
Подставляя уравнение (ПН.11) в (ПП.10), получаем
26 |
у+6* |
(ПН. 12) |
(у +■ bxf + й2х2 = С е |
гс “•* , |
где
2 6 а
С = Л 2й?е~“ ^.
Мы получили искомое уравнение фазовых траекторий. Это се мейство спиралей, навертывающихся на начало координат. Для большей очевидности произведем в уравнении (ПН. 12) линейное преобразование координат:
U —й!*; V = Ьх + у,
тогда получаем
26 |
. V |
— arctg-77- |
|
V2 + U2 = Ce «I |
U |
Перейдем теперь к полярной системе координат г, ф:
U = rсоэф; V = — гэшф.
Получаем
26
a rc tg (—tg Ф)
г2 = С е
И Л И
- ± Ф |
(ПП.13) |
г = Схе 0)1 . |
Это уравнение является уравнением логарифмической спира ли в полярных координатах. Угол ф возрастает с увеличением t, так как
tg Ф = — -JT = |
= tg(©i* + а), |
U |
to,* |
т. е.
ф = ©!/+ а,
поэтому
|
6(И |< + а) |
г = С, е~ |
. |
Следовательно, с увеличением t длина г радиус-вектора, вра щающегося по часовой стрелке, убывает и изображающая точка неограниченно приближается к началу координат. Указанное об стоятельство легко увидеть также из уравнения (ПП.10): е воз растанием t правая, а следовательно, и левая части должны не ограниченно стремиться к нулю, что может иметь место лишь при неограниченном убывании абсолютных величин х н у .
219