книги из ГПНТБ / Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах

У

У с т о й ч и В ы и

узел

Рис. П11.3

Если в момент t заданы отклонение х и скорость у, то им на фазовой плоскости соответствует вполне определенная точка М (см. рис. ПН.2). При возрастании времени изображающая точ­ ка М, двигаясь по фазовой траектории, неограниченно прибли­ жается к началу координат х = у = 0, которое соответствует рав­ новесному режиму системы регулирования.

Из фазовой диаграммы с очевидностью следует, что в рас­ сматриваемой динамической системе, представляемой уравнени­ ем (ПН.5), все возникающие отклонения от равновесного режи­ ма с течением времени затухают. Следовательно, система регу­ лирования является асимптотически устойчивой. Мы рассмотре­ ли случай е >о > 62. В этом случае, как видно из рис. ПП.2, за­

тухающее движение носит колебательный характер. Если ©§ <

< Ь2, затухание будет апериодическим. На рис. ПП.З показана фазовая диаграмма для этого случая. Из диаграммы видно, что любое отклонение системы от равновесного режима делается равным нулю не более чем за полтора полуколебания. Таким об­ разом, фазовая плоскость позволяет с одного взгляда определить характер возможных движений в рассматриваемой нами систе­ ме.

2. УРАВНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ. КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК

Мы получили уравнение фазовых траекторий, исходя из ре­ шений (ПП.6) и (ПП.7) уравнения (ПП.5). Сделано это с тем, чтобы наиболее просто и понятно ввести в анализ понятие о фа­ зовой плоскости, исходя из известного решения дифференциаль­ ного уравнения 2-го порядка. Если бы этот способ построения фазовой плоскости был единственным, т. е. если бы для построе­ ния фазовой плоскости необходимо было обязательно знать ре­ шение исходного уравнения 2 -го порядка, иными словами, знать его 2 -й интеграл, то вряд ли метод фазового изображения полу-

220

чил бы широкое распространение. Это связано с тем, что полу­ чение решения нелинейного уравнения 2 -го порядка является сложной и в общем случае нерешенной задачей.

Однако для построения фазовой плоскости нет необходимости решать исходное дифференциальное уравнение 2 -го порядка. Можно найти уравнения фазовых траекторий, интегрируя диф­ ференциальное уравнение 1-го порядка, что является более прос­ той задачей. Смысл введения фазовой плоскости в значительной мере в том и заключается, что она позволяет выяснить вопрос

овозможных движениях в динамических системах, в частности

всистемах регулирования, не решая полностью исходного урав­ нения, а ограничиваясь его первым интегралом.

Посмотрим, как это сделать, иллюстрируя способ вначале на

том же простом примере, что и раньше. Обозначая х = у, можно уравнение (ПП.5) записать в виде системы двух уравнений 1-го порядка

Поделив 2-е уравнение на 1-е, получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка, в котором исключено время:

Это — дифференциальное уравнение интегральных кривых на фазовой плоскости. Проинтегрировав уравнение (ПН.15), будем иметь уравнение интегральных кривых в конечной форме. В слут чае 6 = 0 интегральные кривые совпадают с фазовыми траекто­ риями. Однако такое совпадение не является обязательным: ин­ тегральная кривая может определять не одну, а несколько фа­ зовых траекторий. Это объясняется тем, что под фазовой траек­ торией мы понимаем дугу кривой, по которой изображающая точка перемещается в интервале времени — сю < / < оо, и эта дуга может, вообще говоря, составлять лишь часть интеграль­ ной кривой. Уравнение (ПП.15) определяет тангенс угла накло­ на касательной к интегральной кривой. Из него следует, что в каждой точке фазовой плоскости (за исключением точки х = О,

у = 0, в которой-^- = т. е. значение производной неоп­

ределенно) имеется единственная касательная к интегральной кривой, так как каждой паре значений х и у соответствует толь-

221

тория. Через точку, где = — , т. е. где одновременно обраща­

ются в нуль х и у, может проходить одновременно несколько кри­ вых, следовательно в этих точках фазовые кривые будут пересе­ каться.

Точки, в которых = -jj-, называются особыми точками диф­

ференциального уравнения интегральных кривых. Как мы толь­

новременно обращаются в нуль скорость и ускорение. Но если

в системе 2 -го порядка х = у = 0, то система находится в равно­ весии. Следовательно, особым точкам на фазовой плоскости со­ ответствуют состояния равновесия в реальной системе регулиро­ вания. Посмотрим теперь, какие особые точки и какие фазовые траектории возможны на фазовой плоскости, а также выясним, каким движением исходной системы они соответствуют.

В случае b = 0, как мы видели, фазовая плоскость заполне­ на вложенными одна в другую замкнутыми траекториями. Каж­ дой кривой на фазовой плоскости соответствует периодическое движение исходной системы. Следовательно, в этом случае в ис­ ходной системе имеется бесчисленное множество периодических движений, причем переход от одного периодического движения к другому совершается при изменении начальных условий (точ­ нее, при таком изменении начальных условий, при котором из­ меняется полная энергия системы). Мы уже указывали, что та­ кие системы называются консервативными.

В случае уравнения (ПП.5) дифференциальное уравнение (ПИ.15) имеет единственную особую точку х = у = 0. Если b = = 0, то эта особая точка является отдельной интегральной кри­ вой. Такая изолированная особая точка, охватываемая замкну­ тыми, вложенными друг в друга фазовыми траекториями, назы­ вается центром.

Далее мы рассмотрим случай, когда в системе имеется тре­ ние, т. е. ЬФ 0 (фазовая диаграмма показана на рис. ПП.2). Здесь также имеется одна особая точка х = у = 0. Однако ха­ рактер фазовых траекторий существенно отличен от предыдуще­ го случая. На фазовой плоскости нет ни одной замкнутой траек­ тории. Вся плоскость заполнена семейством спиралей, наверты­ вающихся на особую точку и неограниченно к ней приближаю­ щихся. Иными словами, особая точка является асимптотической точкой семейства фазовых траекторий. Такая особая точка на­ зывается фокусом. В случае, если b > 0, все фазовые траектории навертываются на особую точку, с увеличением t неограниченно приближаясь к ней.

В этом случае фокус называется устойчивым, все отклонения от равновесного режима с течением времени затухают, при этом

222

в системе регулирования будут иметь место затухающие колеба­ ния. Таким образом, система, положению равновесия которой на фазовой плоскости соответствует устойчивый фокус, является асимптотически устойчивой.

Мы рассмотрели случай, когда трение положительно. Посмот­ рим, какова будет картина при отрицательном трении (Ь < 0). Тогда и показатель степени в уравнении (ПП.13) положителен. Поэтому при возрастании t радиус-вектор будет возрастать, и изображающая точка, двигаясь по фазовой траектории, неогра­ ниченно удалится от начала координат. Фазовая плоскость при­ мет вид, показанный на рис. ПП.4. В данном случае начало ко­ ординат, как и раньше, является особой точкой дифференциаль­ ного уравнения (ПН.15). Эта особая точка также служит асим­ птотической точкой семейства фазовых траекторий, представляю­ щих опирали, которые, однако, уже не накручиваются на особую точку, а свертываются с нее.

Такая особая точка называется неустойчивым фокусом. Если в начальный момент система находится в равновесном режиме, т. е. х = у = 0, то С[ = 0, и система будет находиться в равнове­ сии сколь угодно долго, если на систему не действуют никакие возмущающие силы. Однако достаточно любого малого возму­ щения, чтобы Ci ф 0, и в системе начнется колебательное дви­ жение, амплитуда которого будет неограниченно возрастать. Та­

мы видели, движения в системе будут уже не колебательными, а апериодическими. Фазовая плоскость при Ь2>ч>1 имеет вид,

показанный на рис. ПН.5. В этом случае она заполнена семейст­ вом интегральных кривых параболического типа. Каждая интег­ ральная кривая состоит из трех фазовых траекторий. Одной из них является состояние равновесия, а двум остальным, представ­ ляющим полуветви парабол за вычетом нулевой точки, соответ­ ствуют движения, неограниченно приближающиеся к состоянию равновесия.

У

Неустойчивый

узел

223

Все интегральные кривые касаются в начале координат пря­

мой у = ( — b— b2—©о) х. Таким образом, через особую точ­ ку проходят все интегральные кривые, каждая из которых пред­ ставляет собой три фазовые траектории. Все изображающие точки с течением времени неограниченно приближаются к нача­ лу координат.

Особая точка такого типа называется устойчивым узлом. Слу­ чаю устойчивого узла соответствует апериодическая устойчи­ вость реальной системы. Тогда, как видно на рис. ПП.З, при лю­ бых начальных отклонениях система не более чем за 1,5 полуколебания достигнет равновесного режима. Необходимо подчерк­ нуть, что, так же как и в случае фокуса, время движения изоб­ ражающей точки по фазовой траектории, или, что то же самое, время прихода системы к равновесию, равно бесконечности. Если Ь2> ©о и b < 0, то характер фазовой плоскости принима­

ет вид, показанный на рис. ПП.5. Особая точка в этом случае яв­ ляется неустойчивым узлом. Легко видеть, что динамическая си­ стема при этом будет неустойчивой.

Рассмотрим последний случай. Пусть уравнение движения имеет вид

тогда уравнение интегральных кривых получаем в виде

Получаем уравнение семейства равносторонних гипербол, от­ несенное к главным осям. Полагая /4 = 0, находим уравнения двух прямых: у = ©ох, у = —©ох, которые являются асимптотами семейства гипербол. Фазовая плоскость для этого случая пока­ зана на рис. ПН.6. Из этого рисунка видно, что через особую точку х = у = 0 проходят две интегральные кривые — асимпто­ ты. Каждая из асимптот состоит из трех фазовых траекторий. Все остальные интегральные кривые составляют одну фазовую траекторию. Особая точка такого вида называется особой точкой типа седла. Из рассмотрения фазовой плоскости легко устано­ вить характер возможных движений в системе.

224

Если начальные условия таковы, что изо­ бражающая точка лежит точно на асимпто­ те, то эта точка с убывающей скоростью

ка времени она на сколь угодно далекое расстояние отойдет от положения равно­ весия.

Особая точка типа седла соответствует положению неустойчивого равновесия. До­

статочно малейшего толчка, чтобы началось удаление от него. Так как в реальной системе всегда имеются случайные малые возмущения (флуктуации), то система, имеющая такую особую

Мы рассмотрели случаи линейной динамической системы. Од­ нако если система описывается и нелинейным дифференциаль­ ным уравнением с аналитической правой частью, то изложенная классификация особых точек сохраняет силу.

Действительно, рассмотрим нелинейную систему, описывае­

равновесия являются особыми точками дифференциального урав­ нения интегральных кривых (П11.23).

Пусть особая точка имеет координаты хо, уоРассмотрим со­ седнюю точку х = хо + е, у = уо + tj. Предполагая, что Q и Р — аналитические функции, получаем

X t) + Qi(e, т]).

но Р (х0, Уо) = Q (хо, уо) = 0, так как Хо и у0— координаты осо­ бой точки. Здесь через Pi и Qi обозначены все члены степени выше первой относительно е и т]. Если е и rj малы, то во многих случаях можно пренебречь по малости выражениями Pi и Qi. Замечая при этом, что

dx de dy dr\ ~dT~~dT' ~dT~~dT

и обозначая

Px(xо, уо) = a; Py(xo, Уо) = b\

Qx(xо, Уо) = c; Qy(x0, y0) = d,

получаем

Исключим из этой системы уравнений одну из переменных, например т);

1

= ae + Ьсг + bd — (e— ae) = ae + bcz + de— adz b

или

e— (a + d)z+ (ad— bc)z = 0 .

Обозначая (a + d) = —2b; ad — be = toq, получаем

e + 2b&+ cooe = 0.

Аналогичное выражение получается относительно т). Мы по­ лучили уравнение точно такого же вида, что и уравнение (ПН,5). Отличие заключается лишь в том, что переменная обо­ значена через е (это, разумеется, не существенно). Поэтому все полученные ранее выводы относительно характера особых точек остаются в силе, и, следовательно, особые точки системы урав­ нений (ПП.26) принадлежат к уже рассмотренным типам: цен­ тру, фокусу, узлу и седлу.

226

к предельному циклу. Такой предельный цикл называется устой­ чивым. В реальной системе ему соответствует асимптотически устойчивое периодическое движение, т. е. определенный колеба­ тельный режим, причем если вывести систему из этого режима, возникающие колебания будут с течением времени неограничен­ но приближаться к устойчивому периодическому движению.

Можно сказать, что в подобной системе имеются периодичес­ кие колебания, не зависящие от начальных условий. Такие пери­ одические колебания называются автоколебаниями, а сами сис­ темы— автоколебательными системами. На рис. ПИ.8 показана фазовая диаграмма системы, имеющей неустойчивый предель­ ный цикл, т. е. замкнутую траекторию, с которой все соседние траектории как изнутри, так и снаружи сматываются. До тех пор пока изображающая точка находится на предельном цикле, она с него сойти не может, и, следовательно, в системе будут проис­ ходить периодические колебания.

Однако достаточно сколь угодно малого случайного толчка, чтобы изображающая точка сошла с предельного цикла и начала от него удаляться. Поскольку в системе всегда имеются флюк­ туации (случайные возмущения), а также ввиду того что веро­ ятность поместить изображающую точку на предельный цикл бесконечно мала, периодические движения в системе, имеющей один неустойчивый предельный цикл, невозможны. Часто быва­ ют случаи, когда в системе имеется несколько предельных цик­ лов. Например, на рис. ПП.9 приведен случай, когда имеются два предельных цикла — внутренний неустойчивый и внешний устойчивый. Если соседние траектории навертываются на пре­ дельный цикл с одной стороны и свертываются с другой, то пре­ дельный цикл называется полуустойчивым (рис. П11.10). Харак­ тер нелинейности, при которой в системе могут возникнуть авто­ колебания, может, быть самым различным. Так, например, неус­ тойчивый фокус (или узел) и устойчивый предельный цикл име­ ют место в системах, описываемых уравнениями

228

где р,— коэффициент, больший нуля.

Это можно установить следующим образом. Если амплитуда х < 1 , то / — х2 > 0, и поэтому в системе при х < 1 действует от­ рицательное вязкое трение. Вследствие этого при х < 1 амплиту­ да колебаний возрастает, а в системе происходит накопление энергии. Если же х > \ , то 1— х2 < 0, и трение делается поло­ жительным. Поэтому колебания большой амплитуды будут за­ тухать, а малой нарастать. В системе должны установиться не­ затухающие колебания, к которым будут стремиться при t-*-oo все соседние движения. На фазовой плоскости будем иметь изо­ лированную замкнутую траекторию — устойчивый предельный цикл, на который будут наматываться остальные траектории.

Аналогичная картина имеет место для уравнения (ПН.28). Действительно, если амплитуда х достаточно мала, то скорость

х < 1 , поэтому х2<х. Следовательно, при малых х в системе дей­

219