книги из ГПНТБ / Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах

Преобразуем это выражение, подставив в него значения ве­ личин Ац, h\2i h2l:

-*■ оо) труб последний множитель правой части уравнения (4.153) становится равным единице, поэтому получаем

выводов о влиянии распределенного затухания на величину де­ кремента.

При отличном от нуля коэффициенте распределенного сопро­

ких условиях не обращается в нуль, т. е. система не становится абсолютно неустойчивой. Поскольку коэффициенты П\ и п2 про­

порциональны множителю —2^ 2 , который при и -> -0 и со-»-оо

обращается в нуль и имеет наибольшее значение при <в = б, то, по-видимому, при прочих равных условиях имеется тенденция к увеличению запаса устойчивости системы на средних частотах.

Таким образом, распределенное сопротивление в присоеди­ ненных к компрессору трубопроводах оказывает положительное влияние на увеличение запаса устойчивости компрессора.

4.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ

При исследовании автоколебаний в распределенных системах используется метод периодических решений Пуанкаре в форме, Витта [11] или метод Линдштедта — Ляпунова в форме Гвоздовера [12]. Однако эти методы сложны.

Ставя целью получить первое приближение, можно пойти значительно более простым путем, воспользовавшись идеей ме­ тода гармонического баланса [3], видоизмененного надлежащим образом.

160

Ранее мы показали, что колебательная граница устойчивости определяется условием 6 = 0, где 6 — декремент затухания ко­ лебаний. В частности, для случая 1\ = 0 получены условия дина­

F'(Q*) = 6, + 2 b2Q* + 3b3Q*2+ ... = Cl;

F"'(Q*) = 663 + ... = C';

Следовательно,

F(Q* + q) = C0+ C[q + -£|-q2+ ~ q3+ ...

Рассматривается приращение давления

где

Положим q = a cos at и разложим Fi (<7) в ряд Фурье:

Fi(acos(ol) = ao + aIcoso)^ + a2cos2(Di + ... + a Acos^(o^ +- . . . +

+ a\ sin at + a2sin 2 a t + . . . + a* sin k a t + . . . ;

здесь

а0 = —— Г Fi(acosu)du;

2л J

о

2л

а,= ——Г F^acos u)cos udu;

яJ

бы эквивалентно смещению центра колебаний. Будем полагать,

•ф(асовц) — периодическая по и с тем же периодом.

162

гармонического баланса. Мы предполагаем, что амплитуда ко­ лебаний мала и значение D\ при колебаниях равно значению Dx на равновесном режиме. Иными словами, считаем, что при коле­ баниях величины активного и реактивного сопротивлений не меняются. Тогда амплитуда автоколебаний найдется из урав­ нения

Ficp(a)==T>i. (4.160)

Найдем теперь выражение для коэффициента h в явном ви­ де. Для случая полинома 5-й степени аналитическое выражение для характеристики имеет вид

Тогда

h — —— Г [Cya cos и + C2a2 cos2 и + C3a3 cos3и + C4a4cos4и +

+ C5as ( - ^ - + -^ -c o s 2u + —^-cos4u + —— cos5iAl du.

Все члены, пропорциональные косинусам кратных дуг после интегрирования в пределах от 0 до 2 я, в силу периодичности да­ дут нуль. В результате имеем

Как видно из полученного выражения, члены с четными сте­ пенями q при интегрировании выпадают и их в дальнейшем мо­ жно не выписывать.

4.9.МЯГКИЙ И ЖЕСТКИЙ РЕЖИМЫ ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ,

ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ

Если взять с1 > Du то это соответствует случаю мягкого воз­ буждения колебаний, которое характеризуется самовозбуждени­ ем колебательного процесса, то есть неустойчивостью положения равновесия; если С\ < D u то возможно жесткое возбуждение ко­ лебаний.

и периодическое движение невозможно (случай, показанный кривой 2).

164

Поэтому

Докажем теперь, что рассматриваемый режим, характеризу­ ющийся устойчивыми автоколебаниями, действительно имеет мягкое, возбуждение. Для этого нужно показать, что положение равновесия неустойчиво и имеется одно орбитально устойчивое периодическое движение. Имеем

F[(q)=C i— 3Czq2.

На равновесном режиме q — 0; тогда

'F[(Q) = Ci.

Вто же время амплитуда автоколебаний разыскивается из условия

.Fcp=Ci — —+■С3аст= Di.

4

165

Следовательно,

С, — D\ н—— Сга2 > D],

4

т. е.

F [(0 )> D .

Итак, условия устойчивости равновесия не выполняются, рав­ новесие неустойчиво и режим возбуждения — жесткий.

Далее, из выражения

следует, что при Cj > D 1 существует только одна стационарная амплитуда (при С\ < Dx— корень мнимый, что подтверждает невозможность периодических движений в этом случае).

Выскажем теперь качественные соображения об устойчивости периодических движений. Если а < аст, то h(a) < Du и ампли­ туда колебаний растет; если же а > аст, то А (а) > Dь и ампли­ туда убывает. Следовательно, периодическое движение устойчи­ во по амплитуде (орбитально-устойчиво). Поэтому можно считать доказанным, что рассматриваемый режим возбуждения колебаний является мягким, а в системе имеется одно устойчи­ вое периодическое движение. В системе с компрессором будут происходить помпажные колебания с амплитудой, возрастающей от нуля при прикрытии дросселя.

Сравним теперь выражение для стационарной амплитуды, полученное в частном случае Х2 = 0, с выражением, найденным в предположении, что система описывается уравнением с сосре­ доточенными параметрами и 1\ = 0. Мы получили выше

Учитывая принятые обозначения, имеем b = Ci, с == Сз,

Следовательно,

т. е. оба выражения совпадают.

Рассмотрим теперь случай жесткого режима возбуждения при наличии устойчивых колебаний. Он имеет место, как будет показано ниже, если Ci < D\ и С5 < 0.

166

167

Подставляем значения а4 и а2 в выражение (4.167):

л ( К < £ ,— a )< D ,.

Следовательно, амплитуды, большие aCTi. убывают, а мень­

25eg

+" Г - “| _ А _ Л - ^ Г >^ 9С|— 40( D, — С,) СБ} .

168

Отсюда

h { V «Its + А) = D, —4 - C5A2 + — A V 9Сз— 40(D,— C]) C5.

Поэтому амплитуда будет убывать, стремясь к нулю.

Таким образом показано, что в рассматриваемом случае са­ мовозбуждение отсутствует, а в системе имеются неустойчивые периодические движения меньшей амплитуды и устойчивые — большей. Следовательно, система имеет жесткий режим возбуж­ дения.

кривой 2. При этом существует только одно устойчивое периоди­ ческое движение со стационарной амплитудой а ^ при мягком

режиме возбуждения.

Нетрудно установить характер устойчивости стационарных амплитуд. Если кривая F'lCp (а) пересекает при возрастании а

прямую D! снизу вверх, то стационарная амплитуда, соответст­

прямую D\ сверху вниз, то стационарная амплитуда устойчива (точка пересечения В)‘,

Вслучае точки А соседние значения -амплитуд будут удалять­ ся от аст2, что условно показано стрелками, исходящими из точки А.

Вслучае устойчивой амплитуды aCTi соседние амплитуды бу­ дут приближаться к точке В, что также отмечено направлением стрелок.

Если кривая FJcp (а) касается прямой D\ == const (кривая 3),

то имеется полуустойчивое периодическое движение с амплиту­ дой а "т. Здесь амплитуды, большие а"т, убывают, стремясь к

а"т, а амплитуды, меньшие а "т, убывают до нуля. В этом слу­

169