книги из ГПНТБ / Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах

Если р < 1, то Тн « 2я + ... Если же р > 1,то Тн = 2р +....

При промежуточных значениях р период подсчитывается по об­ щей формуле.

Для случая кубической аппроксимации функции F, сравни­ вая уравнения (1.46) и '(1.48), имеем

Тн~ 2| /^ я2 + - ^ - (2 а — уа2)2.

Для численного подсчета необходимо определить амплиту­

ду а.

Для уравнения вида Ван дер Поля приближенно стационар­ ная амплитуда равна удвоенному значению отклонения Q, при котором обращается в нуль круглая скобка, стоящая множите­ лем перед xl.

Следовательно, при кубической аппроксимации получим

Таким образом, период оказался не зависящим от у. Объяс­ няется это тем, что с изменением у соответственно меняется ам­ плитуда колебаний.

Подставляя вместо а и р их значения, находим

Определив период в приведенном времени, переходим к вре­ мени t.

Тогда

Если р •< 1, то

kC aLa

7 = 2л

~ k T '

40

Легко показать обычным способом, что в рассмотренном слу­ чае аппроксимации функции F кубической параболой возбужде­ ние колебаний будет мягким. В случае аппроксимации полино­ мом 5-й степени возбуждение может оказаться жестким.

Нужно подчеркнуть, что приведенное рассмотрение имеет силу для случая характеристики, симметричной относительно рабочей точки. Если рабочая точка расположена иначе, то коле­ бания делаются несимметричными. В этом случае требуется спе­ циальное рассмотрение.

Далее будут приведены более подробно геометрические спо­ собы, позволяющие произвести строгий анализ системы уравне­ ний движения (1.7) и (1.8).

1.7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ К ВИДУ РЕЛЕЯ

Определим периодические движения в системе и рассмотрим процесс установления. Для этого целесообразно несколько пре­ образовать уравнение (1.16), приведя его к такому виду, чтобы в член, зависящий от скорости, входила функция F(Q), а не ее производная.

41

Введем функцию, определяемую соотношением Q = ——.

В физическом смысле функция У представляет собой изменение количества воздуха, поданного вентилятором, начиная с некото­ рого момента, относительно произвольной постоянной величины. Тогда уравнение (1.45) можно переписать в виде

dx = V"(x) — У"(0);

|У'с?т = У(х)— 1/(0).

о

Прибавим и вычтем член pF(Q *), где

кСа kxLa

Тогда уравнение (1.54) можно записать в виде

v " — р [f (v ' + q D - f (q :) — j ± - У'] + У =

В этом уравнении правая часть — величина_постоянная. Обо­

значим ее через С и введем переменную У = У — С. Тогда диф­ ференциальное уравнение движения примет вид

У " - р |F (У' + Q :) - F (Q 'k) - ^ ~ У'] + У = 0. (1.56)

Таким образом, получено уравнение движения в форме Релея. Запишем его в виде системы двух уравнений 1-го порядка:

42

Деля почленно 1-е уравнение на 2-е, исключаем время и на­ ходим дифференциальное уравнение интегральных кривых сис­ темы (1.57):

Обозначим через <£i(Q) выражение, стоящее в квадратных скобках и представляющее собой длину вертикального отрезка

между кривой F(Q„) и прямой —— , проходящей через рабочую kCa

точку (кривая 1 и прямая 2 на рис. 1.3), а произведение p,0i(Q) обозначим через 0 (Q ); получим

Это уравнение удобно для исследования, причем ввиду того, что функция F(QK) обычно задается графически, целесообразно для анализа использовать метод графического интегрирования.

Для построения графика функции Ф(С}) необходимо вычер­

43

стояние системы характеризуется на фазовой плоскости точкой

радиуса АВ, проходящей через А, и продолжая указанное по­ строение далее, строим искомую фазовую траекторию. Фазо­ вые траектории показывают, как в процессе колебания изме­ няются количество воздуха V и соответственно его объемный расход Q.

По виду фазовых траекторий легко определить, какие движе­ ния происходят в рассматриваемой системе. Если все фазовые траектории наматываются на рабочую точку характеристики (так называемую особую точку фазовой плоскости, соответст­ вующую равновесному режиму), то могут иметь место только затухающие колебания, система устойчива и помпаж невозмо­ жен. В этом случае особая точка называется устойчивым фоку­ сом. Если фазовые траектории сматываются с особой точки, то происходят нарастающие колебания и особая точка называется неустойчивым фокусом.

Если же на фазовой плоскости есть замкнутая фазовая тра­ ектория, на которую наматываются извне и изнутри все соседние траектории, то в системе могут про­ исходить устойчивые периодические колебания, т. е. возможен помпаж.

Такая замкнутая траектория называ­ ется устойчивым предельным циклом. Если все соседние траектории сматы­ ваются с замкнутой кривой, то она называется неустойчивым предельным циклом.

44

Из первого уравнения системы (1.57) следует, что в правой

времени соответствует перемещение изображающей точки по фа­ зовой траектории в направлении против часовой стрелки.

Приведенное на рис. 1.4 построение показывает, что системе соответствует один устойчивый предельный цикл, т. е. такая изо­ лированная замкнутая кривая, на которую наматываются все соседние интегральные кривые как изнутри, так и снаружи. Это­ му предельному циклу соответствует устойчивый периодический колебательный процесс в исходной реальной системе.

Построение, приведенное на рис. 1.5, показывает, что в том

в системе с течением времени затухают, так как все фазовые траектории, близкие к началу координат, наматываются на осо­ бую точку.

1.8. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ «В БОЛЬШОМ». МЯГКОЕ И ЖЕСТКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ

трения нет, то на плоскости V, Q получается семейство вложен­ ных одна в другую окружностей, каждая из которых представля­ ет собой отдельную фазовую траекторию. Следовательно, в этом случае система является консервативной, и в ней могут происхо­ дить колебания с любой амплитудой.

Предположим теперь, что 0(Q)' ф 0.

Если кривая Ф((?) проходит во втором и четвертом квадран­ тах (как на рис. 1.6), то движения в системе будут затухаю­ щими. На фазовой плоскости V, Q ее траектории будут неогра­ ниченно приближаться к началу координат, соответствующему единственной особой точке (устойчивому фокусу). В частности для линейной системы 2-го порядка с положительным затуха­

нием, описываемой уравнением V + 2bV + V = 0, уравнение кривой <P(Q) будет иметь вид V = —2bQ и изображаться пря­ мой линией (см. рис. 1.6). При изменении коэффициента зату­ хания b прямая <P(Q) поворачивается вокруг начала коорди­ нат, причем при увеличении b наклон прямой возрастает и она

45

также приближается к оси ординат. В этом случае происходит нарастание колебаний.

Вообще, если кривая Ф(<2) проходит в первом и третьем квадрантах фазовой плоскости V, Q, как на рис. 1.7,6, то будет происходить нарастание колебаний. С энергетической точки зрения это означает, что на тех участках кривой колебания, которым соответствует участок кривой <P(Q), на котором знак Ф(<2) совпадает со знаком Q, происходит накопление энергии,

ана тех участках, где знак Ф(С?) противоположен знаку Q,—

еерассеяние.

Отсюда следует, что характер интегральных кривых в ок­ рестностях особой точки будет следующим образом зависеть от вида функции Ф(<2) в конечной окрестности начала координат:

1. Если в рассматриваемом интервале значений Q выпол няется условие signФ(Q) = —sign Q, то происходит затухание колебаний (см. рис. 1.5, 1.6).

Здесь используется символ Кронекера sign, определенный

—1 при х < 0.

2.Если в рассматриваемом интервале выполняется условие sign Ф(С?) = sign Q, то происходит нарастание колебаний, что соответствует рис. 1.7.

Предположим теперь, что угловой коэффициент —— пря- kCа

мой Ь такой, что она превращается из секущей в касательную. Функцию Ф(<2) в таком случае будем иногда для удобства от­

мечать индексом k и обозначать Ф,(. Если указанная касатель-

46

ная не лежит в точке перегиба кривой F(Q), то функция Ф(<3) вблизи начала координат имеет один знак.

47

дущим, устанавливаем, что при таких условиях за каждое

теперь к рассмотрению системы «в большом», причем будем ис­ следовать случаи, происходящие в реальных системах. В неко­ торых из рассмотренных выше случаев происходит нарастание колебаний. Обычно неограниченного нарастания колебаний не бывает, а в системе устанавливается некоторый автоколеба­ тельный режим.

48

В случае (3, а), которому соответствует рис. 1,8, а, б, выпол­ няется условие 0 < Ф(—Q) < 0 ( Q ) . При этом для прекраще­ ния нарастания колебаний и для установления автоколебатель­ ного режима достаточно, если характеристика Ф(<2) в области значений Q > Qa > 0 перестает удовлетворять условию Ф(С?) >

Если амплитуда колебания достаточно велика, то очевидно, что накопление энергии в интервале 0 < Q < Q6 будет меньше, чем рассеяние ее на полупрямых Q < —Qa и Q > Qs- Поэтому ко­ лебания большой амплитуды будут затухать, а малой нарастать, причем в системе установится одно устойчивое периодическое движение. На фазовой плоскости этому движению будет соот­ ветствовать состояние равновесия типа неустойчивого фокуса или узла и один устойчивый предельный цикл, на который из­ нутри и извне наматываются все соседние траектории

(рис. 1.13, б).

Посмотрим теперь, как будет изменяться характер колеба­ ний, если начало координат, которому соответствует особая точка уравнения (1.61), будет перемещаться вдоль кри­ вой Ф(<2).

Если точка О (рис. 1.13, а) будет смещаться вправо по кри­ вой Ф(<3), то при незначительном смещении характер новой кривой 0(Q) будет таким, как показано на рис. 1.14, а.

Ввиду того, что в окрестностях особой точки О функция Ф(<Э) удовлетворяет условию sign 0(Q ) = sign(Q), в системе будут самовозбуждаться колебания. Вначале они будут возрас­ тать, однако после того, как амплитуда их станет больше Qa, нарастание ее замедлится, и, в конце концов, установится устой­ чивый предельный цикл при мягком возбуждении. Получится картина, качественно сходная с рис. 1.13, б.

Сместим теперь точку О влево по кривой 0(Q ). Если сме­

»ис. 1.13