книги из ГПНТБ / Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах

ся от я. 2я... до —- , л, - у я, принимая все промежуточные

значения. В частности, основная частота будет меняться от я

до . Отметим, что при нагружении трубы на волновое сопро­

тивление частоты ее принимают промежуточное значение между частотами открытой и закрытой труб, что, впрочем, естествен­ но, в связи с только что отмеченным монотонным изменением ча­ стот при переходе от открытой к закрытой трубе.

Рассмотрим влияние параметров на величину декремента за­ тухания системы, для чего обратимся к выражению (4.70). Если подставить в это выражение значения коэффициентов Ац, h\2, А21, то оно примет вид

Рассмотрим зависимость декремента от параметров системы, оцениваемую множителем

и от параметров и характеристик компрессора, оцениваемую мно­ жителем

\Z22—Ра\Р' )

Впредельных случаях открытой (|Z2|->-0) и закрытой (|Z2|-»-°o) труб множитель yi принимает максимальное воз­

можное значение yi = 1. В обоих этих случаях имеет место пол­ ное отражение волн от конца трубы. При этом случай |Z2|-»-0 реализовать трудно из-за излучения открытого конца. Реализа­ ция |Z2 1— 0 получается достаточно точной только на низких ча­ стотах, когда сопротивление излучения мало.

Множитель yi принимает минимальное значение при

Очевидно, что если Хг = 0 и /?2 = Z22, т. е. труба на конце на­ гружена на волновое сопротивление Z22, множитель yi обраща­ ется в нуль. В этом случае декремент затухания 6-»-оо. Это со­ ответствует тому факту, что при нагружении трубы на волновое сопротивление отраженные от конца волны отсутствуют и в си­ стеме не устанавливаются стоячие волны.

140

Влияние параметров компрессора на декремент затухания оценим множителем у2- Этот множитель становится равным еди­ нице при F'-*- 0 и F ' - у о о . Первый случай соответствует отсут­ ствию компрессора или нахождению рабочей точки на характе­ ристике в ее максимуме, второй — относится к характеристике компрессора, в которой положительный наклон приближается к вертикальному.

Для более детального исследования выражения (4.78) вве­ дем в нем следующие обозначения:

Поскольку устойчивость системы определяется знаком декре­ мента, то для оценки устойчивости можно использовать выра­ жение (4.82). Если правая часть этого выражения изменяется от нуля до единицы, т. е. если

то система устойчива. При этом очевидно, что неравенству (4.83) соответствует неравенство оо > б > 0.

чему соответствует 6 = 0, то система находится на границе ус­ тойчивости. Наконец, если

видно, что последние условия являются условиями самовозбуж­

дения.

Оценим характер устойчивости и неустойчивости системы и найдем уравнения границ областей устойчивости для случая, ког­

141

проводе начинает уско­ ренно двигаться в ту или иную сторону.

Область динамиче­ ской неустойчивости со­ ответствует неустойчи­ вым равновесным поло­ жениям системы типа фо­ куса. При нарушении ус­ тойчивости в этом случае возникают нарастающие колебания, которые при учете нелинейности при­ водят к возникновению автоколебаний. В обла­ сти статической и дина­ мической неустойчивости отклонения системы от неустойчивого положения равновесия происходят лимихангиенно (т. е. без колебаний) и колеба­ тельно. Очевидно, что

при ср < 0 система устойчива при любых положительных зна­ чениях х.

На рис. 4.3 в тех же координатах нанесены линии постоян­ ных значений декремента затухания (нарастания) системы. От­ метим наиболее характерные линии на этой фигуре. Линия 6 = 0

состоит из отрезка прямой ф = х и дуги АВ гиперболы ф = — .

Линия 6 = сю параллельна оси ординат и отстоит от нее на еди­ ницу. Очевидно, что на линии 6 = оо система абсолютно устойчи­ ва. Эта линия, как легко видеть, соответствует нагружению трубы на волновое сопротивление. Линия 6 = —°° параллельна оси абсцисс и отстоит от нее на единицу. На этой линии система аб­ солютно неустойчива.

личины Po\F' волновому сопротивлению Z22, а вторая — равенст­ ву сопротивления нагрузки R2 волновому сопротивлению Z22Эти линии совместно с линиями ф = х и фх = 1 определяют то­ пологическую структуру разбиения области параметров системы.

Для построения линий постоянных значений декремента си­ стемы поступим следующим образом. Предположим, что левая часть уравнения (4.82) постоянна, т. е.

е~16Ра_ £2 = COnSt.

143

Придавая величине k (или, что все равно, величинам декре­ мента б) различные численные значения, получим семейство кри­ вых (см. рис. 4.3), проходящих через точку <р = 1, х = 1.

Рассмотрим более детально влияние активного и реактивно­ го сопротивлений выхода трубопровода на поведение системы. Для этого обратимся к выражению (4.78). Если принять напор и скорость потока в компрессоре малыми и считать, что труба на конце снабжена достаточно широким фланцем, сравнимым по величине с длиной волны, то можно приближенно принять излучение трубы за излучение круглого отверстия в бесконечной стенке [13]. При этом

144

если труба полностью открыта, то при больших значениях ар­ гумента она нагружена на сопротивление излучения, равное волновому сопротивлению.

Использованные выражения для Во и хо получены в предполо­ жении, что действительна так называемая «поршневая» гипо­ теза.

Р. А. Шиповым [36] получено точное решение для случая круглой полубесконечной трубы с бесконечно тонкими стенками при наличии во всем пространстве равномерного однородного потока газа в направлении оси трубы, с числом Маха равным М.

На графиках, построенных Р. А. Шиповым (рис. 4.5 и 4.6), даны найденные зависимости для различных значений числа Ма­ ха (сплошные кривые) и для случая трубы с фланцем на выхо­ де (пунктирные линии).

Аналитические выражения для трубы без фланца имеют вид

Значком минус обозначены случаи, когда кривые обрывают­ ся в связи с тем, что в канале начинает распространяться не только плоская волна, но и первая радиальная мода.

Условие существования только плоских волн имеет вид

kr < 3,83 / 1 — М2.

После возникновения двумерных (асимметричных, а затем и неасимметричных) волн полученные выражения оказываются не­ справедливыми.

Рассмотрим вопрос о возбуждении колебаний. На границе устойчивости декремент бг равен нулю и

В этом уравнении член F' зависит от характеристики ком­ прессора. Решая его относительно F', получаем, учитывая дву­ значность квадратного корня, два выражения:

— определяет границу области динамической устойчивости сис­ темы;

Р°1 1/(^22 + Я2)2 + *2 + ^ { Z22~^2f + Х2

— определяет границу статической устойчивости.

146

Введем обозначения

т. е. область, где самовозбуждение колебаний невозможно. Нера­

Рассмотрим характер возбуждения колебаний при возраста­ нии р' от р ' —0 (при сохранении остальных параметров). Оче­ видно, что (при выполнении условия F' < D) при возрастании F' от F' —0 первой будет возбуждаться та частота [из определя­ емых выражением (4.77)], при которой

F' = Di(Kr)= ^ ~ ~ ) -

Отсюда следует, что первыми возбуждаются колебания более высоких частот, а затем, по мере возрастания F' — и низших по­ рядков при тех значениях F', которые определяют частоты, сле­ дуемые из выражения (4.77). При этом частоты более высоких порядков сохраняются.

Мы пока не рассматриваем вопроса об амплитуде этих коле­ баний, который может быть решен при анализе нелинейных свойств системы. Данный случай — изменение F' при сохране­ нии остальных параметров — практически неосуществим.

Если же возбуждение помпажа вызывается изменением поло­ жения дросселя, например его прикрытием, то одновременно ме­ няются Хо, а0, эквивалентная величина sap и форма кривой D\ = = D\{nr). В связи с этим ранее возникшие колебания различных частот могут становиться неустойчивыми и исчезать по мере при­ крытия дросселя.

л Ро1

148

Здесь необходимо отметить следующее. Из графика Di = = D 2(Kr) следует, что при малых F' не обеспечивается условие статической устойчивости F' < D 2. Указанное обстоятельство вы­ звано тем, что мы не учли потерь на дросселе, вызванных сно­ сящим потоком воздуха. Если охарактеризовать эти потери не­ которым коэффициентом Ro, то примерный вид кривых Ь\{кг) и D 2{nr) будет таким, как показано на рис. 4.7 кривыми 2. При этом указанная трудность отпадает.

Осциллограммы Пфляйдерера и Вейнриха, зафиксировавшие развитие помпажа, позволяют проследить за его характером. Из рис. 0,15 для 12 = 1,5 м видно, что в процессе прикрытия дроссе­ ля в момент начала колебаний при расходе V « 0,59 м3/с начи­ наются высокочастотные колебания. При дальнейшем прикры­ тии дросселя (при возрастающем F') появляются колебания при­ мерно вдвое низкой частоты и большей амплитуды. При продол­ жающемся прикрытии дросселя амплитуда низкочастотных ко­ лебаний уменьшается и они переходят в высокочастотные коле­ бания.

На рис. 0.16, а отчетливо видна форма полигармонических ко­ лебаний с большей амплитудой низкочастотной составляющей.

Интересны осциллограммы, приведенные на рис. 0.16,6, по­ казывающие протекание помпажа при различных, но фиксиро­ ванных числах оборотов и при постепенном прикрытии дроссе­ ля. Для п = 14 300 об/мин, ясно видны высокочастотные колеба­ ния малой амплитуды, которые при закрывании дросселя допол­ няются низкочастотными с постепенно возрастающей амплиту­ дой. При большом прикрытии дросселя остаются низкочастот­ ные колебания, в малой степени искажаемые высокочастотной составляющей.

При п — 16 300 об/мин влияние высших гармоник проявляет­ ся более сильно, а при п = 17220 об/мин они играют основную роль в колебательном процессе.

Предположим теперь, что на входе в компрессор подключено

Если положить здесь Z\ = R\ + jXi; Z2 = R2 + jX2 и учесть,

что x2 — jx2— 602, то после преобразований, аналогичных изло­ женным выше, получим выражения:

для декремента

149